介觀平行板電容器間帶電微粒的透射問題*

吳仍來

(惠州學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院 廣東 惠州 516007)

肖世發(fā)

(嶺南師范學(xué)院物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 廣東 湛江 524048)

楊昌彪

(嶺南師范學(xué)院附屬中學(xué) 廣東 湛江 524048)

1 引言

平行板電容器模型如圖1所示.平行板電容器作為通交流阻直流的元器件，在電子線路以及生產(chǎn)和生活中應(yīng)用非常普遍.在高中物理中，也經(jīng)常碰到帶電粒子在平行板電容器間運(yùn)動(dòng)的問題.平行板電容器之間充滿均勻電場(chǎng)，處于其間的帶電粒子可以認(rèn)為受到一個(gè)穩(wěn)恒力的作用，因此帶電粒子的運(yùn)動(dòng)問題往往簡(jiǎn)化為勻加速和勻減速的運(yùn)動(dòng).從經(jīng)典力學(xué)的角度，當(dāng)帶電粒子的初始動(dòng)能小于兩極板間的電勢(shì)差所帶來的電勢(shì)能U0，則帶電粒子不能到達(dá)右邊極板.但是經(jīng)典力學(xué)只適用于宏觀粒子低速運(yùn)動(dòng)問題的求解.隨著進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，我們會(huì)逐漸接觸到納米器件，電容器作為基本元器件，其尺寸小到納米量級(jí)時(shí)，帶電粒子在其中的運(yùn)動(dòng)問題該如何求解，此時(shí)我們就需要引入量子力學(xué)方法[1,2].本文通過構(gòu)建模型、構(gòu)造勢(shì)壘、量子理論求解的方法分析了帶電粒子克服反向電場(chǎng)，穿透介觀平行板電容器問題，探究了平行板電容器通交流阻直流的特性受量子隧穿效應(yīng)的影響.

圖1 平行板電容器模型

2 理論模型和求解

如圖1所示，電容器的兩平行板之間的距離為a，電壓為V.考慮帶電量為+q的粒子從電容器的左極板入射，U0=qV為入射粒子在電容器兩極板上的電勢(shì)能差值.兩極板會(huì)給帶電粒子施加與運(yùn)動(dòng)方向相反的電場(chǎng)力，阻礙帶電粒子到達(dá)右極板.將粒子在整個(gè)一維空間的電勢(shì)能分為3個(gè)區(qū)域：Ⅰ區(qū)(x<0)，Ⅱ區(qū)(0≤x≤a)，Ⅲ區(qū)(x>a)，根據(jù)圖2所示的勢(shì)壘分布圖，電勢(shì)能的空間分布函數(shù)可表示為

圖2 平行板電容器勢(shì)壘分布圖

(1)

(2)

式中m為帶電粒子的有效質(zhì)量，?為普朗克常量，E為帶電粒子的本征能量，Ψ(x)為本征波函數(shù).

在Ⅰ區(qū)和Ⅲ區(qū)，帶電粒子的波函數(shù)均滿足

(3)

(4)

則Ⅰ區(qū)波函數(shù)的通解可表示為

ΨⅠ(x)=AⅠeikx+BⅠe-ikx

(5)

其中，AⅠ和BⅠ為待定系數(shù)，AⅠeikx表示帶電粒子的入射波函數(shù)，B1e-ikx表示帶電粒子的反射波函數(shù).同理，Ⅲ區(qū)帶電粒子的波函數(shù)可表示為

ΨⅢ(x)=AⅢeikx

(6)

上式中AⅢ為Ⅲ區(qū)波函數(shù)的待定系數(shù)，波函數(shù)只包含AⅢeikx表示穿透平行板電容器后，帶電粒子在Ⅲ區(qū)不會(huì)再有反射，只能向右運(yùn)動(dòng).

在Ⅱ區(qū)，帶電粒子的波函數(shù)滿足

(7)

(8)

上式為Airy方程[3,4]，其解為第一類艾里函數(shù)Ai(ξ)和第二類艾里函數(shù)Bi(ξ)的線性組合

ΨⅡ(ξ)=AⅡAi(ξ)+BⅡBi(ξ)

(9)

式中AⅡ和BⅡ?yàn)棰騾^(qū)帶電粒子波函數(shù)的待定系數(shù).

隨后根據(jù)邊界條件求待定系數(shù)間的關(guān)系.波函數(shù)有兩個(gè)邊界，分別在x=0，x=a處.在x=0處，根據(jù)波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，有

AⅠ+BⅠ=AⅡAi(ξⅠ)+BⅡBi(ξⅠ)

(10)

ikAⅠ-ikBⅠ=κAⅡAi′(ξⅠ)+κBⅡBi′(ξⅠ)

(11)

AⅢeika=AⅡAi(ξⅡ)+BⅡBi(ξⅡ)

(12)

ikAⅢeika=κAⅡAi′(ξⅡ)+κBⅡBi′(ξⅡ)

(13)

AⅠ+BⅠ=uAⅡ+σBⅡ

(14)

(15)

AⅢeika=cAⅡ+dBⅡ

(16)

(17)

利用ik乘以式(16)再減去式(17)得

(18)

上式中α=κc′-ikc，β=κc′-ikd.將式(18)代入式(17)得

(19)

上式中利用了艾里函數(shù)滿足的朗斯基行列式

2ikAⅠ=(iku+κu′)AⅡ+(ikσ+κσ′)BⅡ

(20)

式(18)代入式(20)得

(21)

將式(19)代入式(21)得

(22)

整理式(22)可得

(23)

由式(23)可得帶電粒子穿透電容器的透射系數(shù)

(24)

3 數(shù)值計(jì)算與分析

基于式(24)，下面通過數(shù)值求解畫出透射系數(shù)隨各種參數(shù)的變化情況.圖3(a)給出透射系數(shù)隨帶電粒子能量的變化，其中兩極板間電勢(shì)能的差值為U0=1.0 eV固定不變，板間距離a=1 nm.從左到右4條曲線對(duì)應(yīng)的粒子質(zhì)量分別為me,10me,100me,1 000me，me表示電子的靜止質(zhì)量.各條曲線均表明即使帶電粒子的入射能量小于兩極板間的電勢(shì)能，帶電粒子也能克服反向電場(chǎng)力，穿透平行板電容器，平行板電容器通交流阻直流的效果在納米尺度是不成立的.隨著帶電粒子的入射能量的增強(qiáng)，其透射系數(shù)會(huì)不斷增加，當(dāng)帶電粒子的能量E大于U0的3倍，透射系數(shù)接近1，對(duì)應(yīng)基本所有的帶電粒子都能完全穿透平行板電容器.同時(shí)這里沒有共振隧穿現(xiàn)象，這是因?yàn)殡娙萜鲃?shì)壘不具有空間對(duì)稱性.對(duì)比4條曲線，還可發(fā)現(xiàn)在同一個(gè)橫坐標(biāo)下，4條曲線的透射率大小不一樣，說明即使帶電粒子的動(dòng)能不變，帶電粒子的透射系數(shù)還是會(huì)受到粒子質(zhì)量的影響.

圖3 透射系數(shù)隨各量的變化

圖3(b)給出透射系數(shù)隨粒子質(zhì)量的變化，其中板間距離a=1 nm，粒子的能量E0=1.0 eV固定不變，從上到下6條曲線分別對(duì)應(yīng)U0=0.4E0，0.6E0，0.8E0，E0，1.1E0，1.2E0.圖中各條曲線顯示，隨著帶電粒子的質(zhì)量變大，粒子的透射系數(shù)會(huì)不斷減小，直到趨近一個(gè)穩(wěn)定的常數(shù).該結(jié)果表明帶電粒子的動(dòng)量大小會(huì)影響其透射系數(shù)，粒子動(dòng)能不變的情況下，隨著粒子質(zhì)量增加，其動(dòng)量會(huì)減小，進(jìn)而降低其透射幾率.同時(shí)發(fā)現(xiàn)U0≥E0的粒子的透射系數(shù)會(huì)趨近于零，U0

圖3(c)給出透射系數(shù)隨兩極板間勢(shì)能差值U0的變化，其中帶電粒子質(zhì)量為me，粒子的入射能量E0=1.0 eV保持不變，從右到左4條曲線對(duì)應(yīng)的電容器兩極板間的距離分別為1 nm，2 nm，10 nm，100 nm.每條曲線均表明隨著勢(shì)能差值的增加，透射系數(shù)會(huì)不斷減小，當(dāng)勢(shì)能差值大于帶電粒子能量的3倍，透射系數(shù)接近零，對(duì)應(yīng)基本沒有帶電粒子都能穿透平行板電容器.對(duì)比4條曲線，還可發(fā)現(xiàn)即使兩極板間電勢(shì)能的差值不變，當(dāng)電容器兩極板間的距離增加，帶電粒子的透射系數(shù)還是會(huì)不斷減小，此時(shí)對(duì)應(yīng)電容器勢(shì)壘的寬度變寬了，更難被跨越.當(dāng)兩極板間的距離非常大，達(dá)到100 nm，此時(shí)小于勢(shì)壘能量的帶電粒子基本不會(huì)發(fā)生透射.

圖3(d)給出透射系數(shù)隨兩極板間距離a的變化，其中帶電粒子質(zhì)量為me，E0=1.0 eV，從上到下6條曲線分別對(duì)應(yīng)U0=0.4E0，0.6E0，0.8E0，E0，1.1E0，1.2E0，每條曲線都顯示隨著兩極板間的距離的變大，透射系數(shù)有減小的趨勢(shì).在透射系數(shù)減小的過程中，其實(shí)不是單調(diào)遞減，而是會(huì)出現(xiàn)波浪形振蕩的減小，這體現(xiàn)了微觀粒子的波粒二象性.更具體的，可發(fā)現(xiàn)隨著兩極板間的距離的變大，U0≥E0的粒子的透射系數(shù)會(huì)趨近于零，U0

4結(jié)論

本文探討帶電粒子克服勢(shì)壘穿透單個(gè)介觀平行板電容器的問題，發(fā)現(xiàn)即使帶電粒子的入射能量小于兩極板間的電勢(shì)能，帶電粒子也能克服反向電場(chǎng)力，穿透平行板電容器.隨著帶電粒子的入射能量的增強(qiáng)，其透射系數(shù)會(huì)不斷增加.在入射能量不變的情況下，增加反向電壓、增加粒子質(zhì)量、增加兩極板間的距離等因素都會(huì)降低帶電粒子的透射系數(shù).上述結(jié)果表明量子隧穿效應(yīng)對(duì)納米元器件的性能影響很大,平行板電容器通交流阻直流的效果在納米尺度是難以實(shí)現(xiàn)的，就算帶電粒子的入射能量小于兩極板間的電勢(shì)能,也需電容器兩極板的距離大于100 nm以上，此時(shí)其阻直流的效果才會(huì)比較明顯.