運(yùn)用放縮法證明數(shù)列不等式的途徑

施偉

數(shù)列不等式證明題的難度較大，側(cè)重于考查同學(xué)們的邏輯推理能力和綜合分析能力.而放縮法是證明數(shù)列不等式的重要方法之一.放縮法是指通過(guò)放大或縮小不等式的范圍，從而證明不等式的方法.在解題時(shí)，我們需合理利用數(shù)列的單調(diào)性、重要不等式、不等式的性質(zhì)等，將目標(biāo)不等式進(jìn)行合理的放縮，才能證明結(jié)論.

一、根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)行放縮

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有單調(diào)性.在解答數(shù)列不等式問(wèn)題時(shí)，我們可以充分利用數(shù)列的單調(diào)性來(lái)解題.首先將數(shù)列的通項(xiàng)公式或前 n 項(xiàng)和看作關(guān)于 n 的函數(shù)式，判斷出數(shù)列的單調(diào)性，再利用數(shù)列的單調(diào)性來(lái)求得最值，證明不等式成立.

例1.

證明：

在解答本題時(shí)，我們先用反證法證明， 并判斷出數(shù)列的單調(diào)性，然后利用數(shù)列的單調(diào)性證明.有時(shí)證明數(shù)列不等式，利用數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)行放縮較為便捷.

二、利用重要不等式進(jìn)行放縮

在運(yùn)用放縮法證明數(shù)列不等式時(shí)，我們要注意先利用一些重要的不等式或者相關(guān)結(jié)論進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，將復(fù)雜的、沒(méi)有規(guī)律的式子化為簡(jiǎn)單的、有一定規(guī)律的數(shù)列的和，然后再利用等差、等比的求和公式、錯(cuò)位相減法、分組求和法等求得數(shù)列的和.在放縮不等式

時(shí)，常用的重要不等式有糖水不等式、基本不等式等.

例2.

解析：我們由已知條件容易求得數(shù)列的通項(xiàng)公式并化簡(jiǎn)目標(biāo)式，再利用糖水不等式將數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行放縮，把目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的和，再利用等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式就可以證明結(jié)論.

證明：

解答本題，還可以利用重要不等式對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行放縮，構(gòu)造出等比數(shù)列，從而證明數(shù)列不等式成立.

可見(jiàn)，運(yùn)用放縮法證明不等式，關(guān)鍵是對(duì)不等式或者數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行合理的放縮.放縮的技巧有很多，除了上述兩種外，還有添項(xiàng)、減項(xiàng)、擴(kuò)大分子、縮小分母、借助中間值等.而放縮的關(guān)鍵在于，將已知條件和目標(biāo)式關(guān)聯(lián)起來(lái)，靈活運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性、重要不等式等，“湊”出所需要的條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的不等式或者數(shù)列問(wèn)題來(lái)求解.

（作者單位：江蘇省南通市海門(mén)第一中學(xué)）