基于Cubic映射的灰狼優(yōu)化算法及應(yīng)用*

張孟健，張 浩，陳 曦，楊 靖

(貴州大學(xué)電氣工程學(xué)院,貴州 貴陽 550025)

1 引言

灰狼優(yōu)化GWO(Grey Wolf Optimization)算法是澳大利亞學(xué)者Mirjalili等[1]在2014年提出的一種新的群體智能優(yōu)化算法。GWO算法以灰狼的等級制度為特征，以求解連續(xù)變量的優(yōu)化問題為背景，其思想是受灰狼群的捕食行為啟發(fā)，進而模擬灰狼的群體狩獵等級制度并進行理論化研究。

標(biāo)準GWO 算法也存在易陷入局部最優(yōu)、后期收斂速度慢和求解精度不高等問題。GWO算法中，收斂因子a起到平衡算法全局和局部搜索能力的作用，但是，收斂因子a采用線性方式減小并不能很好地平衡算法的全局和局部搜索能力。因此，很多研究人員對GWO算法進行了一系列的優(yōu)化改進。針對收斂因子a，魏政磊等[2]提出基于余弦函數(shù)和二次函數(shù)的非線性動態(tài)變化收斂因子更新方法；胡小平等[3]提出一種基于指數(shù)變化的參數(shù)調(diào)整策略，并運用在二維平面的無線傳感器網(wǎng)絡(luò)節(jié)點部署中；崔明朗等[4]通過添加“觀察”策略以及對控制參數(shù)a的調(diào)整策略進行改進，提出了一種用于解決多目標(biāo)問題的改進GWO算法。針對初始化策略的研究中，滕志軍等[5]引入Tent映射來初始化種群，并將粒子群優(yōu)化PSO(Particle Swarm Optimization)算法與GWO算法相結(jié)合構(gòu)成新的混合算法；談發(fā)明等[6]提出改進非線性收斂方式的GWO算法，從混沌初始化和非線性控制策略2個角度改進了GWO算法；王志華等[7]提出了基于混沌的GWO算法，并用于提高SVM(Support Vector Machine)分類器的分類精度；Ibrahim等[8]提出了一種基于差分進化和擾動算子的混沌對立的GWO算法；Saxena等[9]提出了一種基于β-混沌序列的自適應(yīng)橋接機制來調(diào)節(jié)控制參數(shù)a，用于改進GWO算法，提高算法的全局和局部搜索能力；此外，莫艷紅等[10]提出一種基于萊維飛行的GWO算法，一定程度上提高了算法尋優(yōu)的精度，加快了收斂速度；Dhargupta等[11]提出一種基于反向?qū)W習(xí)的GWO算法來進行特征選取，增強了算法特征選取的性能。但是，上述改進策略還有可提升空間，因為目前許多智能算法均屬于隨機算法，采用了蒙特卡洛思想，不能完全保證對任何問題都能達到最優(yōu)。

從上述2個角度對GWO算法的改進研究中，均在一定程度上提高了算法的搜索能力，但并不能解決算法在尋優(yōu)過程中固有的不足。本文針對上述2個角度，提出了基于Cubic映射和反向?qū)W習(xí)策略的灰狼優(yōu)化COGWO (Grey Wolf Optimization based on Cubic mapping and Opposition-based learning)算法，增強算法種群的多樣性，從而提高其尋優(yōu)能力和收斂速度。

2 標(biāo)準灰狼優(yōu)化算法

GWO算法模擬了狼群的社會等級制度和群體的狩獵行為[1]，算法中每匹灰狼代表一個候選尋優(yōu)解，將最優(yōu)解設(shè)為α狼；次優(yōu)解設(shè)為β狼；第3優(yōu)解設(shè)為δ狼，剩余的解為ω狼。

灰狼群狩獵過程包括接近和包圍獵物，其數(shù)學(xué)表達式[1]如式(1)和式(2)所示：

D=|C·XP(t)-X(t)|

(1)

X(t+1)=XP(t)-A·D

(2)

其中，D為個體與目標(biāo)之間的距離；t為當(dāng)前的迭代次數(shù)；C和A為系數(shù)向量；XP為目標(biāo)的位置向量；X為單匹灰狼的位置向量。其中，A和C的計算公式如式(3)和式(4)所示：

A=2a·r1-a

(3)

C=2r2

(4)

其中，C為1×1向量C的值，A為1×1向量A的值，r1,r2為[0,1]的隨機數(shù)；a為收斂因子，其值隨迭代次數(shù)的增加從2線性遞減至0，如式(5)所示：

a=2-2t/Tmax

(5)

其中，Tmax為最大的迭代次數(shù)，t=1,2,…,Tmax。

灰狼個體跟蹤獵物位置的公式表述如式(6)所示：

(6)

其中，Dα,Dβ和Dδ分別表示α,β和δ與其他個體之間的距離；Xα,Xβ和Xδ分別表示α,β和δ當(dāng)前的位置；C1,C2和C3為隨機系數(shù)向量；X為單匹灰狼的當(dāng)前位置向量。

在獵捕階段中，剩余的ω狼個體向著α,β和δ狼的前進步長和方向如式(7)所示：

(7)

灰狼個體位置的更新公式如式(8)所示：

X(t+1)=(X1+X2+X3)/3

(8)

3 對GWO算法的改進

GWO算法雖然具有較好的尋優(yōu)能力，但對于高維問題存在易陷入局部最優(yōu)等問題。本文主要針對算法種群的初始化與收斂因子a2個方面，通過增強算法種群的多樣性和動態(tài)選擇收斂因子的值對GWO算法進行改進。

3.1 Cubic映射

標(biāo)準的Cubic映射[12]函數(shù)可以表示為式(9)所示：

(9)

其中，b,c為混沌影響因子，不同的b,c值Cubic映射的范圍也不同。一般在c∈(2.3,3)時，Cubic映射產(chǎn)生的序列為混沌狀態(tài)。此外，當(dāng)b=1時，xn∈(-2,2)；當(dāng)b=4時，xn∈(-1,1)。

文獻[13]對常用的16種一維混沌映射的最大Lyapunov指數(shù)進行了計算分析，Cubic映射表達式如式(10)所示：

(10)

其中，xn∈(0,1)；ρ為控制參數(shù)，Cubic映射的混沌性與參數(shù)ρ的取值有著很大的關(guān)系。由文獻[13]可知，Cubic映射的混沌性與Logistic映射、Tent映射的最大Lyapunov指數(shù)相近，且優(yōu)于Sine映射、Circle映射、Singer映射和Kent映射等一維映射。文獻[14]提出了一種改進的Cubic映射，其最大Lyapunov指數(shù)為1.098 4，優(yōu)于Logistic映射的Lyapunov指數(shù)0.693 0。

本文中，參數(shù)ρ的取值為(1.5,3)，根據(jù)式(10)進行仿真，其結(jié)果如圖1a所示。xn的初值為(0,1)，取x0=0.3，ρ=2.595時，Cubic映射具有較好的混沌遍歷性，仿真結(jié)果如圖1b所示。

Figure 1 Cubic mapping圖1 Cubic映射

3.2 非線性收斂因子

針對收斂因子a的調(diào)節(jié)，文獻[1]采用的是線性控制策略，可表示如式(11)所示：

a0(t)=afirst-afirst·(t/Tmax)

(11)

其中，afirst為控制參數(shù)的初值。

從式(1)～式(8)可知，算法初期，較大的a值可保證全局搜索能力，隨著迭代次數(shù)的增加，a的值逐漸減小，可加強算法的局部搜索能力。而式(11)中，a的值線性減小，不能很好地平衡算法的全局和局部搜索能力。為了提升算法搜索精度和速度，本文將使收斂因子隨迭代次數(shù)的增加而呈非線性變化。

文獻[15]對多種調(diào)整參數(shù)a的策略進行對比分析，并提出一種基于正弦函數(shù)的參數(shù)調(diào)整控制策略：

(12)

其中，afirst,afinal分別為控制參數(shù)的初值和終值；μ和k為調(diào)節(jié)參數(shù)，Tmax為最大迭代次數(shù)。

文獻[15]對式(12)的參數(shù)進行了實驗測試，當(dāng)μ=k= 2時，改進策略的尋優(yōu)效果優(yōu)于其他改進策略(線性函數(shù)、二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù))，故本文中設(shè)置μ= 2，k= 2，Tmax= 500。

各控制策略的仿真如圖2所示。從圖2中可以看出，不同的控制策略對算法的尋優(yōu)過程有不同的影響，曲線的斜率表示算法尋優(yōu)過程中的速度。本文的控制策略在前期的變化速度較慢，便于全局搜索；中期變化速度較快，便于提高搜索速度及跳出局部最優(yōu)搜索；后期變化速度減緩，便于進入局部搜素，尋找最優(yōu)解。

Figure 2 a vs. t in different control strategies圖2 不同控制策略的控制參數(shù)隨迭代次數(shù)的變化曲線

3.3 反向?qū)W習(xí)策略

反向?qū)W習(xí)策略[16]主要是對問題的可行解與反向解進行評價，選擇較優(yōu)的解作為下一代的優(yōu)化個體，從而提高獲得最優(yōu)解的概率。其定義如下：

(13)

3.4 COGWO算法流程

本文提出的COGWO算法的實現(xiàn)步驟如算法1所示：

算法1COGWO算法

步驟1設(shè)置種群的規(guī)模N,維度dim，初始化a,A和C；采用Cubic映射式(10)初始化Xα,Xβ和Xδ的值。

步驟2根據(jù)尋優(yōu)函數(shù)計算每個智能體的適應(yīng)度值。

步驟3比較各智能體的適應(yīng)度值以及Xα,Xβ和Xδ的適應(yīng)度值，確定當(dāng)前的最優(yōu)解Xα,次優(yōu)解Xβ和第3優(yōu)解Xδ的值。

步驟4根據(jù)提出的非線性參數(shù)控制策略，由式(12)計算控制參數(shù)a的值，以及根據(jù)式(3)和式(4)分別計算A和C的值。

步驟5根據(jù)式(6)～式(8)更新種群個體的位置，再重新計算適應(yīng)度值，并更新α,β和δ狼的值。

步驟6判斷t是否達到Tmax，如果達到則結(jié)束，輸出最優(yōu)解；否則返回步驟2繼續(xù)執(zhí)行。

4 實驗仿真與結(jié)果分析

4.1 實驗設(shè)計與參數(shù)設(shè)置

為了驗證COGWO算法的尋優(yōu)性能及其有效性，本文設(shè)計了2組對比實驗。(1)與經(jīng)典的智能優(yōu)化PSO算法[17]、較新的群體智能優(yōu)化算法WOA (Whale Optimization Algorithm)[18]、改進的GWO算法(β-GWO(β-Chaotic map enabled Grey Wolf Optimizer)算法[9]和SOGWO(Selective Opposition based Grey Wolf Optimization)算法[11])進行對比實驗； (2)與其他改進的GWO算法進行比較。

為了驗證改進GWO算法的有效性，實驗采用的基準測試函數(shù)如表1所示。其中，F(xiàn)1～F3為單峰函數(shù)，F(xiàn)4～F6為多峰函數(shù)。此外，本文尋優(yōu)測試的實驗環(huán)境為：Windows 7操作系統(tǒng)，Intel(R) Core(TM) i5-4210U CPU @2.4 GB，4 GB內(nèi)存，Matlab 2018a。

本文的算法尋優(yōu)中，各算法的參數(shù)設(shè)置如表2所示。種群規(guī)模N為30，最大迭代次數(shù)Tmax為500，維度dim為30。定義尋優(yōu)成功率(Success rate)為ε=10-10，當(dāng)尋優(yōu)結(jié)果小于ε時，則認為尋優(yōu)成功，反之為失敗。

4.2 與標(biāo)準的4種優(yōu)化算法的比較

為驗證本文提出的COGWO算法的性能，針對同一測試函數(shù)，每一種算法獨立運行30次，并統(tǒng)計6種算法對6種基準測試函數(shù)尋優(yōu)結(jié)果的平均值(Mean)、方差(Std)、尋優(yōu)時間(Time)和尋優(yōu)成功率(Success rate)，結(jié)果如表3所示。

Table 1 Benchmark functions表1 基準測試函數(shù)

Table 2 Parameter settings表2 參數(shù)設(shè)置

從表3中可以看出，對于單峰測試函數(shù)F1～F3的尋優(yōu)，除函數(shù)F1外，COGWO算法的尋優(yōu)結(jié)果均優(yōu)于其他5種群體智能優(yōu)化算法的；對于多峰測試函數(shù)F4～F6的尋優(yōu)，COGWO算法均優(yōu)于PSO算法、GWO算法和改進GWO算法。對于測試函數(shù)F5的尋優(yōu)，COGWO算法與WOA的結(jié)果相近；對于測試函數(shù)F6的尋優(yōu)，本文提出的COGWO算法與β-GWO算法、SOGWO算法的結(jié)果相近，但COGWO算法的尋優(yōu)時間較短。

從測試函數(shù)的尋優(yōu)時間來看，COGWO算法均優(yōu)于標(biāo)準的GWO算法；從尋優(yōu)成功率來看，COGWO算法的尋優(yōu)成功率均為100%；從尋優(yōu)的標(biāo)準差來看，COGWO算法的標(biāo)準差與尋優(yōu)均值的數(shù)量級相差不大。這說明COGWO算法具有較好的尋優(yōu)能力和穩(wěn)定性，其收斂精度也比較高。

COGWO算法與5種群體智能優(yōu)化算法對6種測試函數(shù)的尋優(yōu)過程，如圖3所示，圖3a～圖3f分別表示不同算法對6種測試函數(shù)的尋優(yōu)曲線趨勢。從圖3中可以看出,COGWO算法明顯優(yōu)于GWO算法，且收斂速度更快，收斂精度更高。

4.3 與其他改進的GWO算法的比較

為進一步驗證本文提出的COGWO算法的有效性，與文獻[10]提出的LGWO (Grey Wolf Optimization algorithm based on Levy flight) 算法和文獻[6]提出的CGWO (Grey Wolf Optimization based on nonlinear Convergence) 算法進行對比，結(jié)果如表4所示。其中“/”表示改進的算法未對該測試函數(shù)進行尋優(yōu)測試。

Table 3 Comparison of optimization results with standard optimization algorithms表3 與標(biāo)準優(yōu)化算法的尋優(yōu)結(jié)果對比

Figure 3 Fitness value curves of different algorithms圖3 不同算法的尋優(yōu)測試結(jié)果

Table 4 Optimization comparison of optimized GWO algorithms

從表4中可以看出，對于函數(shù)F1的尋優(yōu)，CGWO算法的尋優(yōu)精度最佳，COGWO算法優(yōu)于LGWO算法；對于函數(shù)F2的尋優(yōu)，COGWO算法的尋優(yōu)結(jié)果比LGWO算法的尋優(yōu)結(jié)果高出5個數(shù)量級；對于函數(shù)F3和F5的尋優(yōu)，COGWO算法與CGWO算法的均值結(jié)果相差不大，但從標(biāo)準差來看，COGWO算法的穩(wěn)定性更好；對于函數(shù)F6的尋優(yōu)，COGWO算法和LGWO算法均優(yōu)于CGWO算法。

5 工程優(yōu)化問題應(yīng)用

為了驗證COGWO算法的性能，本節(jié)將其應(yīng)用在拉壓彈簧設(shè)計的工程問題中，并與GWO算法、PSO算法和WOA進行對比分析。

拉壓彈簧設(shè)計問題是工程領(lǐng)域的一個經(jīng)典的優(yōu)化設(shè)計問題，在滿足條件的前提下，要求彈簧的質(zhì)量最小。此外，該設(shè)計問題主要包括3個變量：即彈簧的橫截面的直徑(d)、平均線圈的直徑(Diam)和有源線圈的數(shù)量(Q)。

該問題的具體表述如式(14)所示：

X=[x1,x2,x3]=[d,Diam,Q]

(14)

目標(biāo)函數(shù)如式(15)所示：

(15)

約束條件如式(16)所示：

(16)

其中，變量的取值范圍如下所示：

4種算法對拉壓彈簧設(shè)計問題的實驗結(jié)果如表5所示。

Table 5 Results of spring design problem by four optimization algorithms表5 4種優(yōu)化算法的彈簧設(shè)計問題結(jié)果

從表5中可以看出，對于拉壓彈簧設(shè)計問題，COGWO算法要略優(yōu)于其他群體智能算法。此外，COGWO算法對于其他實際工程優(yōu)化問題的應(yīng)用效果的驗證，還需要針對具體問題進行優(yōu)化計算和實驗。

6 結(jié)束語

本文針對標(biāo)準的GWO算法對復(fù)雜優(yōu)化問題的求解易陷入局部最優(yōu)的缺點，從混沌初始化和非線性控制策略2個角度改進GWO算法，提出了一種基于Cubic映射和反向?qū)W習(xí)的GWO算法COGWO。通過混沌映射來增加初始種群的多樣性，反向?qū)W習(xí)策略和非線性控制參數(shù)策略用來改進算法的收斂速度，并提高算法的收斂精度。與5種群體智能算法對6種基準測試函數(shù)進行尋優(yōu)實驗，尋優(yōu)結(jié)果表明，與對比算法相比COGWO算法的尋優(yōu)能力和收斂精度得到一定的提高，且穩(wěn)定性增強。此外，本文的COGWO算法與LGWO算法和CGWO算法相比，穩(wěn)定性較好，尋優(yōu)精度也較高，在實際的工程優(yōu)化問題中也有較好的應(yīng)用。未來將COGWO算法應(yīng)用到更多的實際工程優(yōu)化問題中，且對COGWO算法的收斂性理論證明開展進一步的研究。