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    離散型和連續(xù)型改進(jìn)Karnik-Mendel算法在高階模糊系統(tǒng)降型中的關(guān)系研究*

    2021-11-22 08:54:20陽(yáng),王
    關(guān)鍵詞:模糊化模糊集質(zhì)心

    陳 陽(yáng),王 濤

    (遼寧工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,遼寧 錦州 121001)

    1 引言

    當(dāng)前,計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單的區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)被成功應(yīng)用于如智能控制[1]、預(yù)測(cè)[2]、永磁驅(qū)動(dòng)[3]、故障診斷[4]和醫(yī)療系統(tǒng)[5]等諸多領(lǐng)域,它們是應(yīng)用最廣泛的一類模糊系統(tǒng)。盡管如此,自從廣義二型模糊集的α-平面(或稱z切片)[6 - 8]表達(dá)理論被幾個(gè)不同研究小組提出,許多研究者的關(guān)注點(diǎn)逐漸從區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)逐漸轉(zhuǎn)向了廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)[9]。廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)理論及其應(yīng)用研究[10 - 13]在近年來(lái)得到了較充分的發(fā)展。由于廣義二型模糊集的次隸屬度介于[0,1],因此,它們可看成比區(qū)間二型模糊集更高階的參數(shù)模型。隨著設(shè)計(jì)自由度增加,廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)在處理不確定性上比區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)更具潛力。

    一般來(lái)說(shuō),二型模糊邏輯系統(tǒng)是由模糊器、推理機(jī)[14]、規(guī)則庫(kù)、降型器[15,16]和解模糊器5個(gè)模塊組成。首先,在推理機(jī)的指導(dǎo)下,二型模糊輸入集被轉(zhuǎn)化成二型模糊輸出集。接著,降型模塊把二型模糊集映射成一型模糊集。最終解模糊化把一型模糊集變成明確輸出。當(dāng)前,最流行的降型算法是源于計(jì)算區(qū)間二型模糊集質(zhì)心的KM(Karnik-Mendel)算法或改進(jìn)EKM(Enhanced Karnik-Mendel)算法[17,18],這類計(jì)算密集的算法具有保持不確定性在上下級(jí)隸屬函數(shù)之間流動(dòng)的優(yōu)勢(shì)。國(guó)內(nèi)東南大學(xué)劉新旺教授等人[19]給出了EKM算法初始化的理論解釋,以連續(xù)CEKM(Continuous EKM)算法為計(jì)算基準(zhǔn),擴(kuò)展EKM為3種不同形式的加權(quán)WEKM(Weighted EKM)來(lái)計(jì)算出更準(zhǔn)確的區(qū)間二型模糊集質(zhì)心左端點(diǎn)。但是,WEKM算法的計(jì)算速度稍稍慢于EKM算法的。

    本文擴(kuò)展基準(zhǔn)的CEKM算法計(jì)算來(lái)完成廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)質(zhì)心降型,主要目標(biāo)是提高離散EKM算法的計(jì)算精度。在研究中發(fā)現(xiàn),不必對(duì)EKM算法進(jìn)行加權(quán),當(dāng)適當(dāng)改變系統(tǒng)質(zhì)心輸出廣義二型模糊集主變量采樣個(gè)數(shù)時(shí),離散EKM算法計(jì)算出的廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)質(zhì)心降型集和解模糊化值結(jié)果就可以精確地逼近CEKM算法。

    2 廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)

    (1)

    其中,主變量x∈X,X為論域,次變量u∈[0,1],式(1)為點(diǎn)-值表達(dá)式,其緊式如式(2)所示:

    (2)

    (3)

    其中,x′表示任意主變量。

    (4)

    (5)

    (6)

    (7)

    定義4Ae表示一個(gè)嵌入式一型模糊集,如式(8)所示:

    Ae={(x,u(x)|?x∈X,u∈Jx}

    (8)

    (9)

    式(7)可重新被表達(dá)為:

    (10)

    (11)

    (12)

    從推理結(jié)構(gòu)的角度看,廣義二型模糊邏輯可被分成2類:Mamdani型[10]和TSK(Takagi Sugeno Kang)型[20]。不失一般性,考慮一個(gè)Mamdani型廣義二型模糊邏輯系統(tǒng),假設(shè)它有n個(gè)輸入x1∈X1,…,xn∈Xn和一個(gè)輸出y∈Y,其中,xi表示第i個(gè)變量,Xi為xi的論域,Y為y的論域。系統(tǒng)由M模糊規(guī)則描述,其中第s條規(guī)則為:

    (13)

    (14)

    對(duì)于每條模糊規(guī)則,其相關(guān)的α水平下的激發(fā)區(qū)間如式(15)所示:

    (15)

    (16)

    (17)

    (18)

    (19)

    (20)

    (21)

    3 基于離散EKM和CEKM算法的廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)質(zhì)心降型

    對(duì)于離散EKM算法,聚合所有的α-平面YEKM,α(x′)構(gòu)成一型模糊集YEKM,即:

    (22)

    步驟1取k=[N/2.4](最接近N/2.4的整數(shù))且計(jì)算:

    c′=a/b

    步驟2找到k′∈[1,N-1]滿足yk′≤c′≤yk′+1;

    步驟3核對(duì)是否k′=k,若滿足,終止且設(shè)置c′=cl,k=L;否則,進(jìn)入步驟4;

    步驟4計(jì)算:

    s=sign(k′-k)

    c″(k′)=a′/b′

    步驟5設(shè)置c′=c″(k),a=a′ 且b=b′并返回步驟2。

    步驟1取k=[N/1.7](最接近N/1.7的整數(shù))且計(jì)算:

    c′=a/b

    步驟2同(1)中的步驟2。

    步驟3除了設(shè)置c′=cr,k=R,其它同(1)中的步驟3。

    步驟4計(jì)算:

    s=sign(k′-k)

    c″(k′)=a′/b′

    步驟5同(1)中的步驟5。

    (23)

    (24)

    步驟1取c=a+(b-a)/2.4且計(jì)算:

    c′=α/β

    步驟2核對(duì)是否 |c′-c|<ε(ε為給定的邊界誤差),若滿足,終止且設(shè)置c′=cl;否則,進(jìn)入步驟3。

    步驟3計(jì)算:

    s=sign(c′-c),

    步驟4設(shè)置c=c′,c′=c″,α=α′,β=β′ 且返回步驟2。

    步驟1取c=a+(b-a)/1.7且計(jì)算:

    c′=α/β

    步驟2核對(duì)是否 |c′-c|<ε(ε為給定的邊界誤差),若滿足,終止且設(shè)置c′=cr;否則,進(jìn)入步驟3;

    步驟3計(jì)算:

    s=sign(c′-c)

    步驟4同(3)的步驟4。

    (25)

    最終的解模糊化輸出可由端點(diǎn)平均解模糊化方法計(jì)算,如式(26)所示:

    (26)

    觀察(1)~(4),可總結(jié)出離散EKM算法和連續(xù)EKM算法的內(nèi)在聯(lián)系為:

    (1) 離散EKM算法是基于離散點(diǎn)的求和運(yùn)算計(jì)算完成廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)質(zhì)心降型。當(dāng)?shù)K止時(shí),取得的優(yōu)化轉(zhuǎn)折點(diǎn)可近似估計(jì)質(zhì)心。連續(xù)EKM算法采用積分運(yùn)算完成廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)質(zhì)心降型。從理論上說(shuō),當(dāng)主變量離散,采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)趨于無(wú)窮時(shí),離散EKM算法解就趨于連續(xù)EKM算法。

    (2) 對(duì)于離散EKM算法,增加主變量采樣個(gè)數(shù)可能會(huì)取得更準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。對(duì)于連續(xù)EKM算法,控制相鄰2次迭代的邊界誤差可提高算法的計(jì)算精度。

    (3) 離散EKM算法用求和運(yùn)算法完成數(shù)值計(jì)算。連續(xù)EKM算法用求積分運(yùn)算完成象征性的計(jì)算。總結(jié)起來(lái),離散EKM算法可看成在數(shù)值積分方法下CEKM算法的數(shù)值實(shí)現(xiàn)。

    4 仿真實(shí)驗(yàn)

    本節(jié)給出2個(gè)仿真例子。在例1中,輸出廣義二型模糊集的FOU為分段線性函數(shù),相關(guān)次隸屬函數(shù)(或稱垂直切片)為梯形函數(shù)。在例2中,輸出廣義二型模糊集的FOU是由高斯型函數(shù)和分段線性函數(shù)組成,相關(guān)次隸屬函數(shù)為三角形函數(shù)。這里假設(shè)廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)的質(zhì)心輸出廣義二型模糊集已通過(guò)加權(quán)或聚合所有的激發(fā)模糊規(guī)則得出。此外,主變量用字母x表示。表1和圖1給出了所定義的FOU,而表2和圖2又給出了所定義的相關(guān)次隸屬函數(shù)。

    Table 1 Membership function expressions for FOU of example 1 and example 2表1 例1和例2的FOU隸屬函數(shù)表達(dá)式

    Figure 1 Graphs of FOU圖1 FOU圖

    Table 2 Secondary membership function expressions of example 1 and example 2

    Figure 2 Shape graphs of secondary membership functions圖2 次隸屬函數(shù)形狀圖

    當(dāng)Δ取最大值100時(shí),由基準(zhǔn)的CEKM算法計(jì)算出的質(zhì)心降型集如圖3所示。當(dāng)Δ以1為步長(zhǎng)從1到100變化時(shí),基準(zhǔn)的CEKM算法計(jì)算出的質(zhì)心解模糊化值如圖4所示。

    Figure 3 Centroid type-reduced sets computed by the CEKM algorithm圖3 CEKM算法計(jì)算出的質(zhì)心降型集

    為了研究算法的計(jì)算精度,這里定義離散EKM算法和連續(xù)EKM算法在計(jì)算質(zhì)心降型集和質(zhì)心解模糊化值時(shí)的絕對(duì)誤差。當(dāng)取輸出廣義二型模糊集主變量采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為20,50,100,200,3 000 和17 000時(shí),2個(gè)算法計(jì)算的質(zhì)心降型集左側(cè)隸屬函數(shù)和質(zhì)心解模糊化值絕對(duì)誤差分別如圖5和圖6所示。

    為了進(jìn)一步定量研究誤差指標(biāo),表3和表4又分別給出了在上述采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)下離散EKM算法和連續(xù)EKM算法在計(jì)算質(zhì)心降型集左側(cè)隸屬函數(shù)和質(zhì)心解模糊化值時(shí)的絕對(duì)誤差的平均值。

    觀察圖5、圖6、表3和表4,可以得出如下結(jié)論:

    (1) 隨著主變量采樣個(gè)數(shù)的增加,無(wú)論是計(jì)算廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)的質(zhì)心降型集還是質(zhì)心解模糊化值,離散EKM算法的計(jì)算結(jié)果都會(huì)越來(lái)越接近連續(xù)EKM算法,如圖5和圖6所示。

    Figure 4 Centroid defuzzified values computed by the CEKM algorithm圖4 CEKM算法計(jì)算出的質(zhì)心解模糊化值

    (2) 在例1中,當(dāng)取主變量采樣個(gè)數(shù)為200時(shí),離散EKM算法計(jì)算質(zhì)心降型集的結(jié)果就與連續(xù)EKM算法的相同了;但在例2中(主隸屬函數(shù)是非線性函數(shù)),需要取采樣個(gè)數(shù)為17 000才能使離散EKM算法計(jì)算質(zhì)心降型集的結(jié)果與連續(xù)EKM算法的相同,如表3所示。

    (3) 在計(jì)算質(zhì)心解模糊化值時(shí),當(dāng)取主變量采樣個(gè)數(shù)為17 000時(shí),例2中離散EKM算法的計(jì)算結(jié)果就與連續(xù)EKM算法的相同了,而例1中離散EKM算法的計(jì)算結(jié)果仍然不能完全與連續(xù)EKM算法的相同,但誤差(0.002 6)已經(jīng)很小了(如表4所示),可適當(dāng)再增加采樣個(gè)數(shù)使離散EKM計(jì)算結(jié)果與連續(xù)EKM算法的相同。

    Table 3 Mean absolute errors of left membership functions on centroid type-reduced set表3 質(zhì)心降型集左側(cè)隸屬函數(shù)的平均絕對(duì)誤差

    Table 4 Average mean absolute errors of centroid defuzzified values表4 質(zhì)心解模糊化值平均值

    Figure 5 Absolute errors of left centroid membership functions computed by two algorithms圖5 2個(gè)算法計(jì)算的質(zhì)心降型集左側(cè)隸屬函數(shù)絕對(duì)誤差值

    Figure 6 Absolute errors of centroid defuzzified values computed by two algorithms圖6 2個(gè)算法計(jì)算的質(zhì)心解模糊化值絕對(duì)誤差值

    5 結(jié)束語(yǔ)

    本文比較并給出了離散EKM算法和連續(xù)EKM算法之間的內(nèi)在聯(lián)系。基于α-平面表達(dá)理論,對(duì)于推理輸出具有不同足跡不確定性和次隸屬函數(shù)的廣義二型模糊集,2個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)表明了當(dāng)適當(dāng)增加主變量采樣個(gè)數(shù)時(shí),離散EKM算法在計(jì)算質(zhì)心降型集和質(zhì)心解模糊化值時(shí)可以較好地逼近連續(xù)EKM算法。

    在以后的工作中,作者將基于各類迭代和非迭代降型算法[25,26]研究二型模糊邏輯系統(tǒng)的中心集降型[27],以及基于智能優(yōu)化算法的二型模糊邏輯系統(tǒng)在預(yù)測(cè)、模糊控制[28,29]和模糊系統(tǒng)辨識(shí)中的應(yīng)用等。

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