統(tǒng)計學(xué)專業(yè)數(shù)理統(tǒng)計課程研究性教學(xué)之初探*
——非正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計

姜培華，汪曉云，朱五英

(安徽工程大學(xué)數(shù)理與金融學(xué)院, 安徽 蕪湖 241000)

引言

數(shù)理統(tǒng)計是一個有著廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，而參數(shù)估計又是數(shù)理統(tǒng)計的重要內(nèi)容之一，它包括點估計和區(qū)間估計.與未知參數(shù)的點估計相比，區(qū)間估計有著明顯的優(yōu)勢；它不僅給出了參數(shù)真值所在的范圍，還給出了該范圍包含參數(shù)的可信程度.對于正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計問題各類教材都有非常詳盡的介紹，如文獻(xiàn)[1]和[2]，但對非正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計討論較少.文獻(xiàn)[3]和[4]通過實例介紹了一般總體構(gòu)造其分布中未知參數(shù)區(qū)間估計的樞軸量法和分布函數(shù)法.文獻(xiàn)[5-7]研究了對一般總體構(gòu)造其分布中未知參數(shù)近似區(qū)間估計的方法.文獻(xiàn)[8-10]基于樞軸量法和大樣本方法研究了幾種非正態(tài)離散總體參數(shù)的精確區(qū)間估計和近似區(qū)間估計問題.本文對非正態(tài)總體構(gòu)造未知參數(shù)區(qū)間估計的常用方法進(jìn)行全面梳理和總結(jié)，并通過實例來呈現(xiàn)如何使用這些方法來分析求解未知參數(shù)的置信區(qū)間，以方便學(xué)生系統(tǒng)掌握和教師課堂講授.

1 相關(guān)知識

定義1[1]設(shè)θ∈Θ是總體的一個參數(shù)，(x1,x2,…,xn)為來自該總體的簡單隨機樣本，如果對于給定的

引理1[1]若隨機變量X服從均勻分布，即X～U(0,1)，則有

1)隨機變量Y=1-X服從均勻分布，即Y～U(0,1)；

2)隨機變量Z=-2lnX服從卡方分布，即Z～χ2(2).

定理1設(shè)總體X服從分布F(x，θ)，x1,x2,…,xn為來自該總體的簡單隨機樣本，則有

證明因x1,x2,…,xn為來自總體F(x，θ)的簡單隨機樣本，由引理2知：F(xi,θ)～U(0,1)，

1-F(xi,θ)～U(0,1)，基于引理1再利用卡方分布的可加性可知結(jié)論成立.

定理2設(shè)總體的密度函數(shù)為f(x)，xp分為其p分位數(shù)，f(x)在xp處連續(xù)且f(xp)>0，則當(dāng)

n→+∞時，樣本p分位數(shù)mp的漸近分布為

特別地，對樣本中位數(shù)，當(dāng)n→+∞時，近似地有

此定理的證明可參見文獻(xiàn)[1]，這里不再贅述.

2 區(qū)間估計的構(gòu)造方法

2.1 樞軸量法

樞軸量法是構(gòu)造非正態(tài)總體未知參數(shù)θ的置信區(qū)間的最常用方法之一，下面簡要給出通過構(gòu)造樞軸量進(jìn)行區(qū)間估計的步驟：

1)設(shè)法構(gòu)造一個樣本和參數(shù)θ的函數(shù)G=G(x1,x2,…,xn,θ)使得G的分布不依賴于未知參數(shù)，一般稱具有這種性質(zhì)的G為樞軸量.

2)適當(dāng)?shù)剡x擇兩個常數(shù)c和d，使得對給定的α∈(0,1)，有P(c≤G≤d)=1-α成立，在離散場合上式等號改為大于等于.

對未知參數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計的關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的樞軸量并確定其所服從的概率分布，然后根據(jù)相應(yīng)的分位數(shù)得到所需要的概率表達(dá)式.樞軸量的好壞不僅影響求解的速度，更重要的是對置信區(qū)間的優(yōu)良性有著直接的影響.下面通過一些具體實例說明如何選擇一個合適的量來構(gòu)造樞軸量，進(jìn)而得到相對優(yōu)良的置信區(qū)間.

例1(基于充分統(tǒng)計量構(gòu)造樞軸量) 設(shè)總體X服從拉普拉斯分布，其密度函數(shù)為

其中參數(shù)θ未知，求θ的水平為1-α的等尾置信區(qū)間.

解： 樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為

對上述分布函數(shù)，利用變限積分函數(shù)求導(dǎo)可得其密度函數(shù)

從而可知

利用卡方分布的可加性可得樞軸量

基于樞軸量G可求得參數(shù)θ的1-α水平的等尾置信區(qū)間為

例2(基于充分統(tǒng)計量構(gòu)造樞軸量) 設(shè)總體X服從冪分布，其密度函數(shù)為

f(x,θ)=θxθ-1,00.

其中參數(shù)θ未知，求θ的水平為1-α的等尾置信區(qū)間.

解： 樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為

對上述分布函數(shù)，利用變限積分函數(shù)求導(dǎo)可得其密度函數(shù)

從而可知

利用卡方分布的可加性可得樞軸量

基于樞軸量G可求得參數(shù)θ的1-α水平的等尾置信區(qū)間為

例3(基于順序統(tǒng)計量構(gòu)造樞軸量) 設(shè)總體X的密度函數(shù)為

f(x,θ)=e-(x-θ),x>θ,θ∈R.

其中參數(shù)θ未知，試求：

1)參數(shù)θ的水平為1-α的最短置信區(qū)間；

2)參數(shù)θ的水平為1-α的等尾置信區(qū)間.

解： 1)令yi=xi-θ,i=1,2,…,n,則y1,y2,…,yn獨立同分布于指數(shù)分布Exp(1).y(1)的密度函數(shù)為

g(y)=ne-ny,y>0.

即x(1)-θ的分布與θ無關(guān)，其密度函數(shù)為g(y)=ne-ny,y>0，因此可以構(gòu)造樞軸量G=x(1)-θ來求解置信區(qū)間.

例4(基于順序統(tǒng)計量構(gòu)造樞軸量) 設(shè)x1,x2,…,xn為來自均勻分布U(θ1,θ2)的簡單隨機樣本，記

x(1)≤x(2)≤…≤x(n)為其順序統(tǒng)計量，其中參數(shù)θ1,θ2未知，求θ2-θ1的水平為1-α的等尾置信區(qū)間.

解: 令yi=(xi-θ1)/(θ2-θ1),i=1,2,…,n,則y1,y2,…,yn獨立同分布于均勻分布U(0,1).首先可以求得(y(1),y(2))的聯(lián)合密度函數(shù)為

f(y,z)=n(n-1)(z-y)n-2,0

記極差R=y(n)-y(1)，則(y(1),R)的聯(lián)合密度函數(shù)為

f(y,r)=n(n-1)rn-2,y>0,r>0,y+r<1.

于是可求得極差R的邊際密度函數(shù)為

從而可知R服從貝塔分布，即y(n)-y(1)～Be(n-1,2)，所以有

P(Beα/2(n-1,2)≤y(n)-y(1)≤Be1-α/2(n-1,2))=1-α

2.2 分布函數(shù)法

樞軸量法求解區(qū)間估計的最大困難是如何尋找合適的樞軸量，該方法對概率統(tǒng)計基礎(chǔ)要求較高，技巧性很強，比較靈活，因此構(gòu)造合適的樞軸量非常困難，可謂是一種挑戰(zhàn).如果一個統(tǒng)計總體X，其分布函數(shù)F(x)有比較簡潔的顯式表達(dá)式且僅含有待估的參數(shù)，這時利用分布函數(shù)法構(gòu)造區(qū)間估計比較有效，會達(dá)到“事半功倍”的效果.下面通過實際例子來展示分布函數(shù)方法的使用技巧.

例5(基于分布函數(shù)法) 設(shè)總體X服從冪分布，其密度函數(shù)為

f(x,θ)=θxθ-1,00.

其中參數(shù)θ未知，求θ的水平為1-α的等尾置信區(qū)間.

解: 總體X的分布函數(shù)為

F(x,θ)=xθ,00.

從而可以解出參數(shù)θ的1-α水平的等尾置信區(qū)間為

例6(基于分布函數(shù)法) 設(shè)總體X的密度函數(shù)為

f(x,θ)=e-(x-θ),x>θ,θ∈R.

其中參數(shù)θ未知，求參數(shù)θ的水平為1-α的等尾置信區(qū)間.

解: 總體X的分布函數(shù)為

F(x,θ)=1-e-(x-θ),x>θ,θ∈R.

從而可以解出參數(shù)θ的水平為1-α的等尾置信區(qū)間為

例7(基于分布函數(shù)法) 設(shè)總體X服從瑞利分布，其密度函數(shù)為

f(x,λ)=2λxe-λx2,x>0,λ>0.

其中參數(shù)λ未知，求參數(shù)λ的水平為1-α的等尾置信區(qū)間.

解: 總體X的分布函數(shù)為

F(x,λ)=1-e-λx2,x>0,λ>0.

從而可以解出參數(shù)λ的水平為1-α的等尾置信區(qū)間為

綜上，對比樞軸量法和分布函數(shù)法，不難發(fā)現(xiàn)在某些情況下分布函數(shù)法和樞軸量法在構(gòu)造區(qū)間估計方面具有一致性，二者是等價的.如例2和例5中關(guān)于冪分布參數(shù)θ的區(qū)間估計問題，樞軸量法和分布函數(shù)法最終所得的結(jié)果是一致的，但分布函數(shù)法明顯優(yōu)于樞軸量法，簡便易行.在有些場合，分布函數(shù)法和樞軸量法所獲得的區(qū)間估計具有明顯的不同，區(qū)間估計的優(yōu)劣也有差別.如例3和例6中，樞軸量法是僅依賴于樣本的最小統(tǒng)計量，而分布函數(shù)法主要依賴于全樣本.

2.3 大樣本方法

在有些情形下，尋找樞軸量及其分布比較困難，分布函數(shù)法也很難湊效，這時可用漸近分布來構(gòu)造近似的置信區(qū)間，如利用中心極限定理近似、極大似然估計的正態(tài)近似和樣本分位數(shù)的正態(tài)近似等.下面通過實例來說明大樣本近似方法的使用.

例8(中心極限定理近似) 設(shè)x1,x2,…,xn是來自泊松分布P(λ)的簡單隨機樣本，其中參數(shù)λ未知，求參數(shù)λ的水平為1-α的近似等尾置信區(qū)間.

此u可作為樞軸量，對給定的顯著性水平α，利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)u1-α/2可得

上述關(guān)于λ的二次多項式的二次項系數(shù)大于零，故二次函數(shù)開口向上，其判別式

故此二次曲線和橫軸有兩個交點，記為λL和λU(λL<λU)，則有P(λL≤λ≤λU)=1-α，其中λL和λU可表示為

故參數(shù)λ的水平為1-α的近似等尾置信區(qū)間為

事實上，上述近似區(qū)間是在樣本容量n比較大時使用的，此時有

于是，λ的1-α水平的近似等尾置信區(qū)間可進(jìn)一步簡化為

例9(樣本中位數(shù)正態(tài)近似) 設(shè)總體X的密度函數(shù)為

其中參數(shù)θ未知，x1,x2,…,xn是來自該總體的簡單隨機樣本，求參數(shù)θ的水平為1-α的近似等尾置信區(qū)間.

解: 由于柯西分布關(guān)于θ對稱，故θ是總體中位數(shù).由定理2可知其樣本中位數(shù)近似于正態(tài)分布，即

所以有

從而可知參數(shù)θ的1-α水平的近似等尾置信區(qū)間為

綜上可知，一般在樣本容量足夠大的情況下，根據(jù)中心極限定理，非正態(tài)總體的抽樣分布與正態(tài)總體的抽樣分布差異較小，因此在大樣本條件下，可以把非正態(tài)總體問題轉(zhuǎn)化為正態(tài)總體問題，并近似地應(yīng)用正態(tài)總體條件下導(dǎo)出的抽樣分布公式，進(jìn)而作出各類統(tǒng)計推斷，這就是大樣本統(tǒng)計推斷原理，在區(qū)間估計中也遵循這一原則.

3 結(jié)語

總之，非正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計一直是數(shù)理統(tǒng)計中的一個重點和難點，其處理方法靈活，技巧性強，學(xué)生難于掌握.本文系統(tǒng)歸納總結(jié)了處理非正態(tài)總體參數(shù)區(qū)間估計的三種常用方法，即樞軸量法、分布函數(shù)法和大樣本方法.其中樞軸量法和分布函數(shù)法推導(dǎo)給出的置信區(qū)間都是精確的，大樣本方法獲得的置信區(qū)間都是近似的.通過具體的典型實例展示了使用三種方法構(gòu)造置信區(qū)間的思路和技巧，使學(xué)生便于掌握和接受.文中的方法和處理技巧在數(shù)理統(tǒng)計研究性教學(xué)中值得借鑒和使用，能夠讓學(xué)生系統(tǒng)掌握求解非正態(tài)總體參數(shù)置信區(qū)間的常用方法和技巧，并能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情，增強其學(xué)習(xí)成就感.