關(guān)于Weyl編序的討論*

張全勝，徐世民

(1.青島西海岸新區(qū)致遠(yuǎn)中學(xué)，山東 青島 266510; 2.菏澤學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，山東 菏澤 274015)

觀點(diǎn)一 就經(jīng)典函數(shù)xmpn來說，表示它的量子力學(xué)算符應(yīng)是m個(gè)坐標(biāo)算符X和n個(gè)動量算符P所有可能的排列等權(quán)重參與的平均[2,3]，即

(1)

其中Pi(m,n)表示這m個(gè)坐標(biāo)算符X和n個(gè)動量算符P的第i種排列式. 譬如，一個(gè)坐標(biāo)算符X和一個(gè)動量算符P，共有XP和PX兩種排列，這兩種排列等權(quán)重參與的平均是

(2)

又如，兩個(gè)坐標(biāo)算符X和兩個(gè)動量算符P，共有X2P2、XP2X、XPXP、PXPX、PX2P、P2X2六種排列，這六種排列等權(quán)重參與的平均是

(3)

從(2)和(3)兩式可以看出，其括號內(nèi)X和P形式上是完全對稱的、地位上是相同的.

若作進(jìn)一步推廣，那么，表示經(jīng)典量xmpn+xkpl的量子力學(xué)算符應(yīng)為

(4)

觀點(diǎn)二 Weyl指出[4]，經(jīng)典函數(shù)xmpn過渡到量子力學(xué)算符的規(guī)則為

(5)

從直觀形式上來看，其算符排列特征與觀點(diǎn)一有所不同、物理意義不夠明確.

觀點(diǎn)三 對于一般情況，Weyl還給出了一個(gè)積分型的對應(yīng)規(guī)則[5]，可以表示為

(6)

其中，F(xiàn)(X,P)是量子力學(xué)中表示經(jīng)典函數(shù)f(x,p)的算符，而

(7)

稱為Wigner算符[6]，這一對應(yīng)規(guī)則稱為Weyl-Wigner量子化方案.顯然，牛頓-萊布尼茲積分法則不能直接適用這類積分，因?yàn)楸环e函數(shù)指數(shù)上含有不對易的坐標(biāo)算符和動量算符.如果無視坐標(biāo)算符和動量算符的不對易性，直接地應(yīng)用牛頓-萊布尼茲積分法則完成積分，則會得到

Δ(x,p)=δ(X-x)δ(P-p)

(8)

或者

Δ(x,p)=δ(P-p)δ(X-x)

(9)

這兩個(gè)結(jié)果都是錯(cuò)誤的. 由此看來，涉及算符(狄拉克稱之為q數(shù))的運(yùn)算問題，都是很復(fù)雜的，它跟普通數(shù)(稱之為c數(shù))有著很大不同，必須考慮算符的次序問題.

為了使得數(shù)學(xué)上表達(dá)與計(jì)算簡單、牛頓-萊布尼茲積分能夠順利進(jìn)行,更為了拓展物理應(yīng)用，物理學(xué)家們創(chuàng)造了有序算符方法[7-9]，例如算符的正規(guī)乘積方法、反正規(guī)乘積方法、X-P排序方法、P-X排序方法以及外爾(Weyl)編序方法.尤其是Weyl編序，它是一種較為復(fù)雜的算符排序.

關(guān)于Weyl編序，我們發(fā)現(xiàn)不同文獻(xiàn)也有著不同的定義. 例如，文獻(xiàn)[3]按照觀點(diǎn)一定義了Weyl編序，文獻(xiàn)[10]按照觀點(diǎn)二定義了Weyl編序，文獻(xiàn)[11]按照觀點(diǎn)三定義了Weyl編序.上述三種定義完全等價(jià)嗎？究竟應(yīng)該怎樣定義Weyl編序才恰當(dāng)呢？

定義是對一種事物的本質(zhì)特征或一個(gè)概念的內(nèi)涵和外延的確切而簡要的說明. 定義一個(gè)概念，要突出本質(zhì)特征、直觀明了、意義明確，還要具有外延可拓展性.為此，作為更一般情形，考慮m個(gè)力學(xué)量算符A和n個(gè)力學(xué)量算符B的所有可能的排列等權(quán)重參與的情況，其平均為

(10)

這里Pi(A,B)表示這m個(gè)算符A和n個(gè)算符B的第i種排列式.設(shè)λ和ν是兩個(gè)參數(shù)，對于n=0,1,2,3,…，逐一展開冪算符(λA+υB)n，會得到

(λA+νB)0=1

(11)

此式右端是零個(gè)A算符和零個(gè)B算符所有可能的排列等權(quán)重參與的平均.

(λA+νB)1=λA+νB

(12)

此式右端第一項(xiàng)是一個(gè)A算符和零個(gè)B算符所有可能的排列等權(quán)重參與的平均(確切地說，是該平均的倍，以下不再說明)；第二項(xiàng)是一個(gè)算符和零個(gè)A算符所有可能的排列等權(quán)重參與的結(jié)果.所以說，此式就是所有可能的排列等權(quán)重參與的結(jié)果.

(λA+νB)2=λ2A2+λν(AB+BA)+ν2B2

(13)

此式右端第一項(xiàng)是兩個(gè)A算符和零個(gè)B算符所有可能的排列等權(quán)重參與的結(jié)果；第二項(xiàng)是一個(gè)A算符和一個(gè)B算符所有可能的排列等權(quán)重參與的結(jié)果；第三項(xiàng)是兩個(gè)B算符和零個(gè)A算符所有可能的排列等權(quán)重參與的結(jié)果.所以說，此式就是所有可能的排列等權(quán)重參與的結(jié)果.

經(jīng)過對n=3,4,5,6,…的情況進(jìn)行認(rèn)真仔細(xì)的觀察與分析，我們發(fā)現(xiàn)(λA+υB)n本身就是所有可能的排列等權(quán)重參與的結(jié)果. 那么，任何可以展開為(λA+υB)n的冪級數(shù)的算符函數(shù)F(λA+νB)，其自身就是所有可能的排列等權(quán)重參與的結(jié)果. 特別是，指數(shù)算符函數(shù)e(λA+υB)，其自身就是所有可能的排列等權(quán)重參與的結(jié)果.

如果根據(jù)觀點(diǎn)一來定義Weyl編序，亦即“算符A和B的所有可能的排列等權(quán)重參與的結(jié)果叫做關(guān)于算符A和B的Weyl編序”，并以符號┊┊標(biāo)記之，約定：在此記號內(nèi)算符A和B可對易，亦即可視作普通參數(shù)(c數(shù))對待. 于是，Weyl編序就具有了一些性質(zhì)，如

1)

┊F(A,B)+G(A,B)┊=┊F(A,B)┊+┊G(A,B)┊

(14)

2)c數(shù)可以自由進(jìn)出Weyl編序記號┊┊；

3) 在記號┊┊內(nèi)可直接進(jìn)行c數(shù)的牛頓-萊布尼茲積分與微分運(yùn)算，只要積分收斂.

據(jù)此可得

(15)

(λA+νB)n=┊(λA+νB)n┊

(16)

那么，對任何可以展開為(λA+υB)n的冪級數(shù)的算符函數(shù)F(λA+υB)，則有

F(λA+νB)=┊F(λA+νB)┊

(17)

特別是指數(shù)算符，有

eλA+νB=┊eλA+νB┊

(18)

注意，式(15)～(18)對A、B的對易關(guān)系沒有任何要求，不受任何前提條件的限制.

依據(jù)式(15)，將算符A替換成坐標(biāo)算符X、算符B替換成動量算符P，應(yīng)用于觀點(diǎn)一，便可得到經(jīng)典函數(shù)xmpn的量子力學(xué)對應(yīng)，即

xmpn→┊XmPn┊

(19)

依據(jù)式(18)，應(yīng)用于觀點(diǎn)三并在┊┊內(nèi)完成牛頓-萊布尼茲積分，那么(7)式所示的Wigner算符也就可以寫成

(20)

將此式代入Weyl-Wigner量子化方案并在┊┊內(nèi)完成積分，便得到

F(X,P)=┊f(X,P)┊

(21)

這就是Weyl編序形式的Weyl-Wigner量子化方案.特別是當(dāng)經(jīng)典函數(shù)f(x,p)=xmpn時(shí)，則有

xmpn→┊XmPn┊

(22)

以上討論以及式(19)和式(22)兩式表明，觀點(diǎn)一與觀點(diǎn)三是相容的，觀點(diǎn)一是觀點(diǎn)三的一種特殊情形.注意，到目前為止我們并沒有涉及到算符A和B的對易關(guān)系，也就是說，對任何兩個(gè)量子力學(xué)算符A和B，觀點(diǎn)一恒與觀點(diǎn)三相容.

如果根據(jù)觀點(diǎn)三來定義Weyl編序，也就是定義eλA+νB=┊eλA+νB┊或者Δ(x,p)=┊δ(X-x)δ(P-p)┊，盡管這與根據(jù)觀點(diǎn)一來定義Weyl編序本質(zhì)上一致，但這么做在形式上不直觀、排序特征上不顯然、物理意義上也不夠明確.

(23)

(24)

由式(18)可知e(t + η)A + τB= ┊e(t + η)A + τB┊.將其代入(24)式，得

(25)

如果A、B的對易關(guān)系未知，或者說未有A、B的對易式跟A和B都對易的前提條件，那么就無法利用Baker-Hausdorff公式將式(23)中的三個(gè)指數(shù)算符的乘積合并成一個(gè)指數(shù)上是A與B線性組合的、形如eαA+βB的指數(shù)算符函數(shù)，也就無法利用式(18)得到算符etAeτBeηA的Weyl編序，因此也就得不出式(25). 這表明，對于一般的兩個(gè)量子力學(xué)算符A和B來說，觀點(diǎn)二與觀點(diǎn)一和三不一致.

綜上所述，我們認(rèn)為，為了Weyl編序定義的本質(zhì)特征顯然,并且具有外延可拓展性，更為了能夠利用這種有序算符方法簡化Weyl-Wigner量子化方案的數(shù)學(xué)運(yùn)算，應(yīng)該按照觀點(diǎn)一來定義Weyl編序，換言之，按照觀點(diǎn)一來定義Weyl編序是最為恰當(dāng)?shù)?