帶有非局部條件半線性中立型測(cè)度方程的可控性*

劉文杰

(安徽城市管理職業(yè)學(xué)院公共教學(xué)部，安徽 合肥 230011)

引言

假設(shè)(X，‖·‖)是一個(gè)Banach空間，A：D(A)?X→X是C0半群{T(t)，t≥0}無(wú)窮小生成元，J∈[0，b]，b>0，U是一個(gè)Banach空間，L2(J，U)是一個(gè)允許控制函數(shù)的Banach空間，算子B：U→X是有界的線性算子，記號(hào)C(J，X)表示從J到X上全體連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的空間，G(J，X)為J上的正則函數(shù)空間.

考慮如下帶有非局部條件的半線性中立型測(cè)度方程：

(1)

其中變量x(·)在Banach空間X上取值，g：J→R不減的左連續(xù)函數(shù)，f，h：J×X→X，控制函數(shù)u∈L2(J，U)，p：C(J，X)→X后面給出定義.

測(cè)度方程由Das[1]提出并研究，在許多應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域都有應(yīng)用，如控制論、博弈論、物理學(xué)等[2-4].眾所周知，常微分方程描述的系統(tǒng)受到擾動(dòng)時(shí)，擾動(dòng)是連續(xù)或可積的，則擾動(dòng)后的系統(tǒng)仍是常微分方程；若擾動(dòng)是脈沖型的，擾動(dòng)后的系統(tǒng)就成為測(cè)度方程.測(cè)度方程涵蓋了一些常見(jiàn)的方程模型，如：常微分方程、差分方程、脈沖微分方程.在最優(yōu)控制問(wèn)題中，若控制函數(shù)u(t)是脈沖型的，控制系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生瞬動(dòng)性態(tài)，描述這樣的系統(tǒng)，就要用測(cè)度方程.更多關(guān)于測(cè)度方程的介紹見(jiàn)文獻(xiàn)[5].近年來(lái)，許多學(xué)者研究Banach空間中具有非局部條件的微分積分方程可控性問(wèn)題[6-8].如：申明圓[6]等人利用分?jǐn)?shù)階緊算子理論和Kuratowski不動(dòng)點(diǎn)定理討論帶有非局部條件的分?jǐn)?shù)階中立型微分系統(tǒng)近似可控性.杜珺[7]等人應(yīng)用非緊測(cè)度性質(zhì)和不動(dòng)點(diǎn)理論，給出一類具有無(wú)窮時(shí)滯非局部條件下分?jǐn)?shù)階中立型積分微分演化系統(tǒng)可控性的充分條件.受到上述啟發(fā)，文章在強(qiáng)連續(xù)半群非緊的條件下，通過(guò)將可控問(wèn)題轉(zhuǎn)化為積分算子不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，使用Kuratowski非緊性測(cè)度估計(jì)及不動(dòng)點(diǎn)定理討論帶有非局部條件的半線性中立型測(cè)度方程的可控性.

1 預(yù)備知識(shí)

回顧一些相應(yīng)的概念及正則函數(shù)空間中Kuratowski非緊性測(cè)度的若干性質(zhì).

h(t+)=h(t)+f(t)Δ+g(t)，t∈[a，b)，h(t-)=h(t)-f(t)Δ-g(t)，t∈(a，b]

定義2[4]一個(gè)集合A?G([a，b]，X)稱為等度正則的，當(dāng)且僅當(dāng)?ε>0，t0∈[a，b]，存在δ>0，使得：

定義3 函數(shù)x∈G(J，X)被稱為方程(1)的溫和解，若x(0)+p(x)=x0成立，且滿足如下測(cè)度積分方程：

定義4 若?x0，x1∈X，存在控制函數(shù)u∈L2(J，U)，使方程(1)的解滿足x(b)+p(x)=x1，則方程(1)稱為在J上非局部可控.

引理4[10]設(shè)X是Banach空間，D是X中的有界集，存在D的可數(shù)子集D0?D，使得α(D)≤2α(D0).

引理5[6]設(shè)Ω是Banach空間X上的閉凸非空集合，P，Q的映射是從Ω→X,且滿足：

1)Px+Qy∈Ω(?x,y∈Ω)，2)P是壓縮映射，3)Q是緊的和連續(xù)的，則Px+Qx=x存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)在Ω中.

2 主要結(jié)論

討論帶有非局部條件半線性中立型測(cè)度方程的可控性，為方便敘述，假設(shè)如下：

(H2)若?x∈G(J，X)，函數(shù)f(·，x(·))∈LSg(J，X)，且映射x→f(·，x(·))從G(J，X)到LSg(J，X)是連續(xù)的.

(H3)存在函數(shù)φ∈LSg(J，R+)和一個(gè)非減的連續(xù)函數(shù)φ：R+→R+使得‖f(t,x(t))‖≤

(H4)在函數(shù)m∈LSg(J，R+)，對(duì)于任意的有界集合B?X，得α(f(t，B))≤m(t)α(B).

(H5)p，h：G(J，X)→X連續(xù)且緊，存在正常數(shù)G1>0，使得‖p(x)‖≤G1，?x∈G(J，X).

(H6)存在常數(shù)c1，c2，Lh，使得(-A)βh(t,x)連續(xù)且滿足：

‖(-A)βh(t，x)‖≤c1‖x‖+c2，‖(-A)βh(t，φ)-(-A)βh(t，φ)‖≤Lh‖φ-φ‖.

(h′)W的逆算子W-1存在，它取值于L2(J，U)/kerW，且存在常數(shù)M2，M3，使得‖B‖≤M2，

‖W-1‖≤M3.

(h″)存在Kw∈L1(J，R+)，對(duì)任意有界集合Q?X，有：α((W-1Q)(t))≤Kw(t)α(Q(t)).

定理1假設(shè)(H1)～(H7)成立，記:

M0=‖(-A)-β‖，

M=‖x1‖+G1(1+M1)+M1(‖x0‖+M0(c1(‖x(0)‖+‖x(b)‖)+c2))+

則系統(tǒng)(1)在J上非局部可控.

證明通過(guò)(H7)，對(duì)任意的函數(shù)x(·)，定義控制函數(shù)：

u=W-1{x1-p(x)-T(b)[x0+h(0，x(0))-p(x)]+h(b，x(b))+

定義算子Γ：G(J，X)→G(J，X)

若可以證明Γ有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則該不動(dòng)點(diǎn)就是方程(1)的解.顯然，Γ(x)(b)=x1-p(x)，即指明控制函數(shù)u(·)將方程(1)從初始狀態(tài)控制到時(shí)刻b的狀態(tài).

設(shè)l>0，Bl={x∈G(J，X)：‖x‖∞≤l}，Bl是有界閉凸集，記：Γ(Bl)={Γ(x)：x∈Bl}.

步驟1：一定存在一個(gè)正數(shù)l>0，使得Γ(Bl)?Bl.反之，則存在一個(gè)函數(shù)xl∈Bl，使得Γ(xl)?Bl，即Γ(xl)(t)>l，于是

不等式兩邊同時(shí)除以l，并取l→+∞時(shí)的極限，得出:

這與假設(shè)條件矛盾.因此，一定存在一個(gè)正數(shù)l>0，使得N(Bl)?Bl.

設(shè)Γ=Γ1+Γ2，其中Γ1，Γ2分別定義為如下形式：

接下來(lái)，證明算子Γ1是壓縮的，Γ2是緊算子.

步驟2：證明算子Γ1是壓縮的，對(duì)任意的x，y∈Bl，由條件(H6)及假設(shè)條件可知

‖Γ1(x)(t)-Γ1(y)(t)‖≤‖T(t)(-A)α(-A)-α(h(0，x(0))-h(0，y(0)))‖+

因此，得出算子Γ1是壓縮的.

步驟3：為證明算子Γ2是緊的.首先證明Γ2是連續(xù)的.設(shè){xn，n∈N+}∈Bl，且xn→x(n→∞)，由(H5)(H6)和T(t)的有界性，對(duì)每一個(gè)t∈[0，a]，當(dāng)n→∞時(shí)，有

其中p(V)是相對(duì)緊的且T(t)是強(qiáng)連續(xù)算子，應(yīng)用Arzela-Ascoli定理可知集{T(·)p(V):V?Bl}相對(duì)緊的，所以α(T(·)p(V))=0.而由條件(H1)～(H7)可推出：

從而得出：

故α(V(t))=0，t∈J.得出V是相對(duì)緊的，由引理5知Γ有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即方程(1)是可控的.

3 例子

考慮以下帶有有非局部條件的半線性測(cè)度方程：

(2)

令X=L2([0，π])，v，k：[0，π]×[0，π]→R是連續(xù)函數(shù)，定義A：X→X,由Az=z″,并滿足：

D(A)={z∈X：z絕對(duì)連續(xù),z″∈X，z(0)=z(π)=0}

顯然g：[0，1]→R是一個(gè)左連續(xù)不減函數(shù).并假設(shè)以下條件成立：

(h1)函數(shù)v(τ，x)是可測(cè)的，v(τ，0)=v(τ，π)=0，且滿足：

(h2)令F(t，ω(x))=f(t，ω)(x)，t∈[0，1]，x∈[0，π].F(t，ω(x))=2sin(ω(x))，則

(h3)對(duì)任意有界集D?X,有α(f(t，D))≤2α(D).

W-1∈L2(J，X)/kerW.