一類復(fù)q-平移差分-微分多項(xiàng)式的值分布

鄭秀敏，占美龍

(江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江西 南昌 330022)

1 引言與結(jié)果

本文中，我們使用Nevanlinna理論的標(biāo)準(zhǔn)記號(hào)和基本結(jié)果(見文[1-3])。若無特殊說明，亞純函數(shù)是指在整個(gè)復(fù)平面上亞純的函數(shù)。我們用記號(hào)σ(f)表示f(z)的級(jí)，用記號(hào)λ(f-c)表示f(z)-c的零點(diǎn)收斂指數(shù)，其中c∈∪{∞}。

眾所周知，在亞純函數(shù)值分布理論的研究中，微分多項(xiàng)式的值分布研究是一個(gè)經(jīng)典問題。該問題源自W.K.Hayman在文[4]中提出的猜想:當(dāng)f(z)為超越亞純函數(shù)且n∈+時(shí)，f(z)nf′(z)取任意非零復(fù)數(shù)無窮多次。隨后，許多學(xué)者致力于對(duì)復(fù)差分多項(xiàng)式的值分布進(jìn)行研究，得到了許多有意義的結(jié)果。這些結(jié)果可視為相應(yīng)復(fù)微分多項(xiàng)式值分布結(jié)果的差分模擬。其中，文[5]和文[6]中的結(jié)果可以看作是上述W.K.Hayman經(jīng)典結(jié)果的最直接的差分模擬結(jié)果。2014年，鄭秀敏和徐洪焱在文[7]中研究了Valiron-Mokhon’ko定理的微分-差分模擬結(jié)果，并運(yùn)用該結(jié)果研究了某類微分-差分多項(xiàng)式的虧量。同時(shí)，上述結(jié)果可進(jìn)一步推廣至q-差分情形和q-平移差分情形，具體可見以下兩個(gè)結(jié)果。

2011年，劉凱和祁小光在文[8]中研究了q-平移差分多項(xiàng)式f(z)nf(qz+η)的值分布，得到了以下結(jié)果。

定理A[8]設(shè)f(z)為零級(jí)超越亞純函數(shù)，q為非零復(fù)常數(shù)。則當(dāng)n≥6時(shí)，q-平移差分多項(xiàng)式f(z)nf(qz+η)取任意b∈{0}無窮多次。

2013年，涂金和鄭秀敏在文[9]中將條件“n≥6”減弱到“n≥5”，改進(jìn)了定理A。

注意到定理A中考慮的是f(z)具有零級(jí)的情形。由此，我們自然提出問題:當(dāng)f(z)具有正有窮級(jí)時(shí)，結(jié)果又會(huì)怎樣?對(duì)于該問題，徐娜等在文[10]中研究了q-差分-微分多項(xiàng)式[f(z)f(qz)](k)的值分布，其中f(z)為具有正有窮級(jí)的超越整函數(shù)，得到結(jié)果如下。

定理B[10]設(shè)f(z)為超越整函數(shù)且滿足0<σ(f)<∞，a為f(z)的有窮Borel例外值，q∈{0，1}且使得qσ(f)≠±1。記H(z)=[f(z)f(qz)](k)，則以下結(jié)論成立。

(1) 若a=0，則0亦為H(z)的Borel例外值，即H(z)沒有非零有窮Borel例外值。

(2) 若a≠0，則H(z)沒有有窮Borel例外值。

(3)H(z)取任意c∈{0}無窮多次，且滿足λ(H-c)=σ(f)。

受定理A和定理B的啟發(fā)，我們考慮形式更一般的q-平移差分-微分多項(xiàng)式的值分布。一方面，我們用q-平移差分f(qz+η)和f(qz+η)-f(z)替代f(qz)。另一方面，我們將f(z)推廣為f(z)的多項(xiàng)式。在敘述所得結(jié)果之前，我們先引入以下記號(hào)。設(shè)

P(z)=anzn+an-1zn-1+…+a1z+a0，n∈+

為非零多項(xiàng)式，其中a0，a1，…，an(≠0)為復(fù)常數(shù)。又記m∈+為P(z)的不同零點(diǎn)個(gè)數(shù)，則P(z)可以表示成

P(z)=an(z-α1)n1…(z-αm)nm

其中α1，α2，…，am∈為P(z)的不同零點(diǎn)，n1，n2，…，nm∈+且滿足

首先，我們考慮q-平移差分-微分多項(xiàng)式[P(f)f(qz+η)](k)的值分布，推廣了定理B。

定理1.1設(shè)f(z)為超越整函數(shù)且滿足0<σ(f)<∞，a為f(z)的有窮Borel例外值，η∈，q∈{0，1}且使得qσ(f)≠-1，-2，…，-n。記

H1(z)=[P(f)f(qz+η)](k)，k∈+

則H1(z)沒有非零有窮Borel例外值，即H1(z)取任意c∈{0}無窮多次，且滿足λ(H1-c)=σ(f)。

其次，我們用f(qz+η)-f(z)替換f(qz+η)，得到相應(yīng)結(jié)果如下。

定理1.2設(shè)f(z)為超越整函數(shù)且滿足0<σ(f)<∞，a為f(z)的有窮Borel例外值，η∈，q∈{0，1}且使得qσ(f)≠-1，-2，…，-n，f(qz+η)?f(z)。記

H2(z)=[P(f)(f(qz+η)-f(z))](k)，k∈

則以下結(jié)論成立。

(1) 若qs=1，m=1且a=α1，則0亦為H2(z)的Borel例外值，即H2(z)沒有非零有窮Borel例外值。

(2) 若qs≠1或qs=1，m≠1，或qs=1，m=1，a≠α1，則H2(z)沒有有窮Borel例外值。

(3)H2(z)取任意c∈{0}無窮多次，且滿足λ(H2-c)=σ(f)。

2 定理1.1和定理1.2的證明

為證明定理1.1和定理1.2，我們需要以下兩個(gè)引理。

引理2.1[11]設(shè)n∈+，P1(z)，P2(z)，…，Pn(z)是次數(shù)分別為d1，d2，…，dn的非常數(shù)多項(xiàng)式且滿足當(dāng)i≠j時(shí)，deg(Pi-Pj)=max{di，dj}。令

其中Bj(z)(?0)，j=1，2，…，n為整函數(shù)且滿足σ(Bj)

引理2.2[3]設(shè)n≥2，f1(z)，f2(z)，…，fn(z)為亞純函數(shù)，g1(z)，g2(z)，…，gn(z)為整函數(shù)，且滿足下列條件：

(2) 對(duì)于1≤j

(3) 對(duì)于1≤j≤n，1≤h

下面證明定理1.1和定理1.2。

定理1.1的證明因α1，α2，…，am為P(z)的不同零點(diǎn)，則P(f)可以表示

P(f)=an(f-α1)n1(f-α2)n2…(f-αm)nm

(2.1)

其中an≠0，n1+n2+…+nm=n。因f(z)為有窮正級(jí)超越整函數(shù)，且a為其有窮Borel例外值，故f(z)可以表示成

f(z)=a+g(z)eαzs

(2.2)

其中α(≠0)為復(fù)常數(shù)，s(≥1)為整數(shù)且滿足σ(f)=s，g(z)(?0)為整函數(shù)且滿足σ(g)

f(qz+η)=a+g(qz+η)h(z)eqsαzs

(2.3)

其中h(z)(?0)為整函數(shù)且滿足σ(h)≤s-1。因此，由(2.1)～(2.3)式可得

ang(z)ng(qz+η)h(z)e(n+qs)αzs

(2.4)

P(f)f(qz+η)=ang(z)ng(qz+

η)h(z)e(n+qs)αzs

(2.5)

因qs≠-1，-2，…，-n，α≠2α≠…≠nα，qsα≠(1+qs)α≠…≠(n+qs)α，且g(z)h(z)?0，σ(g)

(2.6)

其中βl=

情形1若僅存在一個(gè)βl0∈{α，2α，…，nα}∪{qsα，(1+qs)α，…，(n+qs)α}使得

H1(z)=gl0(z)eβl0zs

其中g(shù)l0(z)為(2.6)式中項(xiàng)eβl0zs的相應(yīng)系數(shù)之和。顯然，βl0≠0，gl0(z)?0，σ(gl0)

情形2對(duì)其它情形，不失一般性，設(shè)

H1(z)=gl1(z)eβl1zs+gl2(z)eβl2zs+…+glr(z)eβlrzs

(2.7)

其中r∈{2，…，2n+1}，βl1，βl2，…，βlr∈{α，2α，…，nα}∪{qsα，(1+qs)α，…，(n+qs)α}

使得βli≠βlj(i≠j)，且gli(z)(?0)，i=1，2，…，r滿足σ(gli)

H1(z)=a*+g*(z)eβzs

(2.8)

其中β(≠0)為復(fù)常數(shù)，g*(z)(?0)為整函數(shù)且滿足σ(g*)

gl1(z)eβl1zs+…+glr(z)eβlrzs-g*(z)eβzs-a*=0

(2.9)

若β≠βlj，j=1，2，…，r，則由引理2.2和(2.9)式可得

gli(z)≡0，i=1，2，…，r，g*(z)≡0，a*≡0

矛盾。

若存在j∈{1，2，…，r}使得β=βlj，則(2.9)式可以表示成

(2.10)

由引理2.2和(2.10)式可得

glj(z)-g*(z)≡0，gli(z)≡0，i≠j，a*≡0

矛盾。因此，H1(z)沒有有窮Borel例外值。

由情形1和情形2可知，H1(z)取任意c∈{0}無窮多次，且滿足λ(H1-c)=σ(f)。

定理1.1證畢。

定理1.2的證明使用與定理1.1類似的證明方法，分以下四種情形進(jìn)行證明。

情形1設(shè)qs=1，m=1，則由(2.1)～(2.3)式可得

(2.11)

又因?yàn)閒(qz+η)?f(z)，所以g(qz+η)h(z)?g(z)，且由α≠2α≠…≠(n+1)α，g(z)h(z)?0，σ(g)

H2(z)=h1(z)eαzs+h2(z)e2αzs+…+hn+1(z)e(n+1)αzs

(2.12)

其中hi(z)，i=1，2，…，n+1是關(guān)于g(z)，g(qz+η)，h(z)的微分多項(xiàng)式且滿足σ(hi)

情形1.1當(dāng)a=α1時(shí)，由(2.11)式和(2.12)式可得

H2(z)=hn+1(z)e(n+1)αzs

又由P(f)(f(qz+η)-f(z))?0可知hn+1(z)?0。因此，當(dāng)qs=1，m=1，a=α1時(shí)，0為H2(z)的Borel例外值。

情形1.2當(dāng)a≠α1時(shí)，記

則(2.11)式可以寫成

P(f)(f(qz+η)-f(z))=A1(z)eαzs+A2(z)e2αzs+…+An+1(z)e(n+1)αzs

顯然，Ai(z)?0，σ(Ai)

使用與定理1.1中情形2類似的證明方法，易知當(dāng)qs=1，m=1，a≠α1時(shí)，H2(z)沒有有窮Borel例外值。

情形2設(shè)qs=1，m≠1，則

(2.13)

情形2.1若存在i∈{1，2，…，m}使得a=αi，不失一般性，設(shè)a=α1，則由(2.13)式可得

B1(z)e(n1+1)αzs+B2(z)e(n1+2)αzs+…+

Bn-n1+1(z)e(n+1)αzs

H2(z)=ht1(z)e(n1+1)αzs+ht2(z)e(n1+2)αzs+…+htn-n1+1(z)e(n+1)αzs

其中hti(z)，i=1，2，…，n-n1+1是關(guān)于g(z)，g(qz+η)，h(z)的微分多項(xiàng)式且滿足σ(hti)

使用與定理1.1中情形2類似的證明方法，易知當(dāng)qs=1，m≠1，且存在i∈{1，2，…，m}使得a=αi時(shí)，H2(z)沒有有窮Borel例外值。

情形2.2若a≠αi，i=1，2，…，m，則由(2.13)式可得

使用與定理1.1中情形2類似的證明方法，易知當(dāng)qs=1，m≠1，a≠αi，i=1，2，…，m時(shí)，H2(z)沒有有窮Borel例外值。

情形3設(shè)qs≠1，m=1，則

P(f)(f(qz+η)-f(z))=an(a-α1+g(z)eαzs)n(g(qz+η)h(z)eqsαzs-g(z)eαzs)

(2.14)

情形3.1若a=α1，則由(2.14)式可得

P(f)(f(qz+η)-f(z))=ang(z)ng(qz+η)h(z)(n+qs)αzs-ang(z)n+1e(n+1)αzs

由qs≠-1，-2，…，-n，1，g(z)h(z)?0，σ(g)

H2(z)=hv1(z)e(n+qs)αzs+hv2(z)e(n+1)αzs

其中hvi(z)，i=1，2是關(guān)于g(z)，g(qz+η)，h(z)的微分多項(xiàng)式且滿足σ(hvi)

使用與定理1.1中情形2類似的證明方法，易知當(dāng)qs≠1，m=1，a=α1時(shí)，H2(z)沒有有窮Borel例外值。

情形3.2若a≠α1，則由(2.14)式可得

(2.15)

(a) 若qs-1不是整數(shù)，則iα≠(j+qs)α，i=1，2，…，n+1，j=0，1，…，n。由g(z)h(z)?0，σ(g)

(b) 若qs-1是整數(shù)，因?yàn)閝s-1≠0，-1，所以分以下兩種情形進(jìn)行證明。

若qs-1≥1，則對(duì)(2.15)式重排得到

P(f)(f(qz+η)-f(z))=-an(a-

α1)ng(z)eαzs+…+ang(z)ng(qz+

η)h(z)e(n+qs)αzs

由α≠(n+qs)α≠iα，i=2，3，…，n+1，α≠(n+qs)α≠(j+qs)α，j=0，1，…，n-1和g(z)h(z)?0，σ(g)

若qs-1≤-2，則對(duì)(2.15)式重排得到

P(f)(f(qz+η)-f(z))=an(a-α1)ng(qz+η)h(z)eqsαzs+…-ang(z)n+1e(n+1)αzs

由qsα≠(n+1)α≠iα，i=1，2，…，n，qsα≠(n+1)α≠(j+qs)α，j=1，2，…，n和g(z)h(z)?0，σ(g)

結(jié)合情形(a)和(b)，在(2.15)式中合并同類項(xiàng)，得到

使用與定理1.1中情形2類似的證明方法，易知當(dāng)qs≠1，m=1，a≠α1時(shí)，H2(z)沒有有窮Borel例外值。

情形4設(shè)qs≠1，m≠1，則

(2.16)

情形4.1若存在i∈{1，…，m}使得a=αi，不失一般性，設(shè)a=α1，則由(2.16)式可得

使用與情形3.2類似的證明方法，易知當(dāng)qs≠1，m≠1，且存在i∈{1，…，m}使得a=αi時(shí)，H2(z)沒有有窮Borel例外值。

情形4.2若a≠αi，i=1，2，…，m，則由(2.16)式可得

使用與情形3.2類似的證明方法，易知當(dāng)qs≠1，m≠1，a≠αi，i=1，…，m時(shí)，H2(z)沒有有窮Borel例外值。

由情形1～4可知，H2(z)取任意c∈{0}無窮多次，且滿足λ(H2-c)=σ(f)。

定理1.2證畢。