集優(yōu)化問題近似解的非線性刻畫

歐陽磊，聶水晶，徐義紅

(1.南昌大學數(shù)學系，江西 南昌 330031；2江西工程學院公共課教學部，江西 新余 338000)

集值優(yōu)化是向量優(yōu)化的推廣,在博弈論、工程學、控制理論和金融學等領(lǐng)域有廣泛的應用。集優(yōu)化由Kuroiwa[1]首次提出，這種方法依賴于集值映射的值之間的關(guān)系，同時依賴于集合的序關(guān)系。Kuroiwa等[2]首先提出了6種集合的序關(guān)系, Jahn和Ha[3]定義了一類新的集合序關(guān)系，并給出了它們的一些性質(zhì)。

標量化方法是求解集值優(yōu)化問題的一類重要方法，其核心思想是用數(shù)值優(yōu)化問題刻畫原來的集值優(yōu)化問題?；诩系膌ess序關(guān)系，Hernández和Rodríguez-Marín[4]利用廣義的Gerstewitz泛函刻畫了集優(yōu)化問題的解。Kuwano等[5]對集值優(yōu)化問題和一些序關(guān)系進行了統(tǒng)一標量化。Karaman等[6]利用Minkowsi差在集族上定義了一類新的序關(guān)系。借助新引進的非線性泛函刻畫了集優(yōu)化問題的相應解。

Kü?ük等[7]提出了另外一種求解集值優(yōu)化問題的方法：向量化。這種方法的目的是把集值優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為向量優(yōu)化問題。基于集合的less序關(guān)系，Jahn[8]提出了集優(yōu)化問題的兩種向量化方法。在向量優(yōu)化問題中，由像空間的序錐所定義的各種不同的解概念扮演了十分重要的角色，其中主要包括有效解、弱有效解[9]、全局真有效解[10]。在廣義凸性條件下，楊新民等[11-12]利用線性標量化方法給出了弱有效解的一些新刻畫。

另一方面，序錐的拓撲內(nèi)部可能是空的，Chinaie等[13]舉例明說了在無限維空間中，凸集的拓撲內(nèi)部為空集時，代數(shù)內(nèi)部[14]可能非空。因此，當序錐代數(shù)內(nèi)部非空時，如何提出集優(yōu)化問題的解，并研究它們的性質(zhì)，是十分有意義的研究課題。

當序錐的代數(shù)內(nèi)部非空時，本文擬引進集優(yōu)化問題的近似有效解和近似弱有效解，并研究它們的若干性質(zhì)。

1 預備知識

設X和Y為實賦范線性空間，K是Y中的點凸錐，且0Y∈K，用P(Y)和B(Y)分別表示Y的非空子集族和非空有界子集族。設A是Y中的非空子集，集合A的代數(shù)內(nèi)部、向量閉包和拓撲閉包[14]分別定義為

corA：={y∈A：?h∈Y,?δ>0,使得?λ∈[0,δ],y+λh∈A}

vclA：={y∈Y:?h∈Y,?δ>0,?λ∈(0,δ],使得y+λh∈A}

clA:={y∈Y:對零的任意鄰域U，滿足(y+U)∩A≠?}

定義1.1[6]設A，B∈P(Y)，Minkowski差定義為

引理1.1[6]若A，B∈P(Y)且c∈Y，則

引理1.3[15]若A是凸集且corA≠?，則cor(corA)=corA。

引理1.4[15]若A是凸錐且corA≠?，則

(ⅰ) vclA+corA=corA;

(ⅱ)A+corA=corA。

下面利用代數(shù)內(nèi)部引進一類新的序關(guān)系。

2 一類非線性泛函及其性質(zhì)

命題2.1設A,B∈P(Y)，且r∈，則

且

(2.1)

(2.2)

注2.1當intK非空且ξ=0Y時，命題2.1(ⅰ)就是[6]中命題14(ⅰ)。

證明由K?vclK?clK得K=vclK=clK。因而由命題2.1(ⅱ)(ⅲ)可知結(jié)論成立。

(2.3)

注2.2當intK非空且ξ=0Y時，命題2.3就是[6]中命題19(ⅰ)。

3 集優(yōu)化問題的近似有效解和近似弱有效解

設集值映射F：X→2Y，?≠S?X，?x∈X，都有F(x)∈P(Y)。

考慮下面的集優(yōu)化問題

(PK) minF(x)

s.t.x∈S。

下面我們引進一類弱有效解、近似有效解和近似弱有效解。

定義3.2設x0∈S,ξ∈K。

定理3.1設ξ∈K，則下面命題成立。

(ⅰ)若F(x0)∈B(Y)，則E(F,S,K)?ξ-E(F,S,K);

(ⅱ)設F(x0)∈B(Y)，若x0∈ξ-E(F,S,K)，則x0∈ξ-W(F,S,K);

(ⅲ)W(F,S,K)?ξ-W(F,S,K);

證明(ⅰ)①若ξ=0，由定義知E(F,S,K)=0-E(F,S,K)。

②若ξ≠0，設x0∈E(F,S,K)。?x∈S，

若F(x)+ξ=F(x0)，由定義知x0∈ξ-E(F,S,K)。

(3.1)

這與(3.1)式矛盾，因此

(ⅱ)設x0∈ξ-E(F,S,K)。?x∈S,

由corK?K得

由①②得x0∈ξ-W(F,S,K)。

(3.2)

y0=k1+ξ∈corK+K?corK

(ⅳ)由(ⅲ)得

(3.3)

4 最優(yōu)性條件

考慮集優(yōu)化問題

(PK) minF(x)

s.t.x∈S

(ⅰ)T(F(x0)-ξ)=0;

(ⅱ)當F(x)+ξ≠F(x0)時，T(F(x))>0。

“?”反證法。若x0∈S不是(PK)的ξ-有效解，則存在x1∈S，使得

F(x)=conv{(x,x),(x+1,x),(x,x+1)}，?x∈S

5 結(jié)論

本文在序錐的代數(shù)內(nèi)部非空時引進了集優(yōu)化問題的ξ-有效解和ξ-弱有效解，由定理3.1(ⅰ)(ⅲ)可知它們分別是有效解和弱有效解的推廣。由定理3.1(ⅳ)知即在一定條件下，近似弱有效解集等于弱有效解集。利用非線性泛函給出了集優(yōu)化問題的ξ-有效解的最優(yōu)性條件，本文的定理4.1從以下兩方面推廣了[6]的定理2:(ⅰ)由拓撲內(nèi)部非空推廣到代數(shù)內(nèi)部非空;(ⅱ)由有效解推廣到近似有效解。