基于應(yīng)變能的鋼筋混凝土板極限承載力判據(jù)研究

夏雨，常遠，余穎燁

摘? 要：為系統(tǒng)地研究鋼筋混凝土板極限承載力判據(jù)，首先利用有限元軟件建立鋼筋混凝土雙向板在不同邊界條件下從初始加載至破壞的全過程分析，提取混凝土單元的彈性應(yīng)變能;然后對鋼筋混凝土雙向板應(yīng)變能進行概率分布擬合，由分布擬合的參數(shù)變化趨勢推斷出它的極限承載力.研究表明：鋼筋混凝土雙向板的彈性應(yīng)變能分布擬合符合對數(shù)正態(tài)分布.隨著荷載增加，對數(shù)正態(tài)分布的擬合參數(shù)先增加后趨于穩(wěn)定;對擬合參數(shù)進行曲線擬合發(fā)現(xiàn)，二次多項式擬合程度最好，根據(jù)二次多項式方程推斷出構(gòu)件的極限承載力，與理論值對比誤差很小，驗證了本文提出判據(jù)的可行性.

關(guān)鍵詞：概率分布;對數(shù)正態(tài)分布;極限承載力;判據(jù);彈性應(yīng)變能;曲線擬合

中圖分類號：TU375.2? ? ? ? DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.04.013

0? ? 引言

目前，極限承載力判據(jù)主要應(yīng)用于邊坡穩(wěn)定性分析和拱壩失穩(wěn)臨界狀態(tài)判別，主要評價方法有3種[1-2]：收斂性判據(jù)[3-4]、特征點位移突變判據(jù)[5-6]和塑性區(qū)貫通判據(jù)[7-8].但這3類判據(jù)都存在一定的局限性.呂慶等[9]認為有限元計算收斂性判據(jù)容易受人為因素控制，在某些情況下獲得的安全系數(shù)誤差較大.劉金龍等[10]認為塑性區(qū)貫通是構(gòu)件破壞的主要因素，但還應(yīng)判斷構(gòu)件是否產(chǎn)生很大的且無限發(fā)展的塑性變形和位移.為克服上述局限性，專家學(xué)者在前人研究的基礎(chǔ)上提出了一些新的極限承載力判據(jù).陳華等[11]根據(jù)不同的預(yù)應(yīng)力碳纖維加固混凝土T形梁破壞模式分析，提出了預(yù)應(yīng)力碳纖維加固混凝土T形梁正截面抗彎承載力公式.鄧宇等[12]通過研究不同因素對FRP筋混凝土板承載能力的變化，推導(dǎo)出相應(yīng)的FRP筋混凝土板破壞形態(tài)抗彎承載力計算公式.徐曉陽等[13]在對比分析了3種判據(jù)的基礎(chǔ)上，針對邊坡穩(wěn)定性問題，改進了收斂性判據(jù)，并定義為運行極限時步法.陳迪輝等[14]通過分析上述3種判據(jù)的缺點，引入了尖點突變理論作為拱壩整體失穩(wěn)的判據(jù).付成華等[15]對圍巖系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)進行研究，基于突變理論提出了位移模突變判據(jù)、洞周屈服區(qū)面積突變判據(jù)和廣義黏塑性剪應(yīng)變突變判據(jù).張鳳勇等[16]基于有限元強度折減法，對重力壩深層穩(wěn)定性進行分析，提出了一種以接觸面狀態(tài)作為失穩(wěn)判據(jù)的方法.夏雨等[17-18]對鋼筋混凝土梁單元第一主應(yīng)力變化量進行統(tǒng)計分析，提出了基于第一主應(yīng)力變化量判斷構(gòu)件是否達到極限承載力的判據(jù);在統(tǒng)計分析鋼筋混凝土梁單元應(yīng)變能的基礎(chǔ)上，提出了基于彈性應(yīng)變能的判斷構(gòu)件極限承載力的判據(jù).

關(guān)于極限承載力理論判據(jù)，房屋建筑結(jié)構(gòu)領(lǐng)域的學(xué)者多是以工程結(jié)構(gòu)試驗中的材料或結(jié)構(gòu)破壞特性為依據(jù)來推導(dǎo)極限承載力，缺乏有限元理論的支撐，難以驗證數(shù)據(jù)的收斂性，且工程效率相對較低及方法單一.在邊坡和拱壩等工程領(lǐng)域中，極限承載力判據(jù)理論已取得了較多的研究成果.以此為基礎(chǔ)，結(jié)合彈性應(yīng)變能概率分布形式及變化情況來開展鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)極限承載力判據(jù)的研究，能夠客觀反映構(gòu)件變形過程中的能量積累，降低數(shù)值計算誤差，為結(jié)構(gòu)或構(gòu)件承載力計算理論提供了一種新思路.針對鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)中的梁構(gòu)件，本課題組已進行基于主應(yīng)力變化量和彈性應(yīng)變能的極限承載力判據(jù)初探[17-18].本文將進一步對鋼筋混凝土板的極限承載力判據(jù)展開系統(tǒng)性研究，研究對象以四邊簡支板為主，擴展到不同邊界條件下板的彈性應(yīng)變能分析.

1? ? 有限元模型

本文研究對象為鋼筋混凝土方形板，板尺寸為1.60 m×1.60 m×0.08 m.鋼筋混凝土板的有限元模型采用整體式模型，其單元選用SOLID65，將鋼筋連續(xù)均勻分布于整個模型中，綜合考慮了混凝土與鋼筋對板剛度的貢獻，在精確計算的基礎(chǔ)上更容易收斂.在材料本構(gòu)關(guān)系上，混凝土不考慮開裂和壓碎，采用多線性等向強化模型MISO，鋼筋選用雙線性等向強化模型BISO.為了實現(xiàn)鋼筋混凝土板四邊簡支，首先對雙向板底面的四條邊進行Z軸方向的約束，然后在相鄰的兩條邊上，一邊進行X、Y方向的約束，另一邊進行Y方向的約束.為了防止模型出現(xiàn)應(yīng)力奇異，在模型頂面施加豎向均布荷載，荷載子步數(shù)為100;同時為了使計算易收斂，采用位移收斂準則.在頂面依次施加均布荷載，加載工況分9種，工況1—工況9分別為：10 kPa、15 kPa、? 20 kPa、25 kPa、30 kPa、35 kPa、40 kPa、43 kPa、45 kPa，其中，加入43 kPa是為了更準確地探究應(yīng)變能在接近極限狀態(tài)下的分布情況和變化規(guī)律.在每種工況計算穩(wěn)定后，依次提取混凝土單元的彈性應(yīng)變能進行分析.

混凝土選用C30，其立方體抗壓強度標準值[fcu，k=30.00] MPa，單軸抗壓強度[fc=14.30 ] MPa，單軸抗拉強度[ft=1.43] MPa，開裂裂縫的剪力傳遞系數(shù)[βt=0.50]，閉合裂縫的剪力傳遞系數(shù)[βc=0.95]，彈性模量[Ec=3×104] MPa，泊松比[υc=0.2].

鋼筋選用HRB335，屈服強度[fy=300.00] MPa，彈性模量[Es=2×105] MPa，泊松比[υs=0.3]，板配筋采用雙層雙向配筋，鋼筋直徑8 mm，每根間距? ? ?200 mm.構(gòu)件的三維模型如圖1所示.

2? ? 基于混凝土單元彈性應(yīng)變能統(tǒng)計推斷

在均布荷載作用下，假設(shè)在各個工況下，混凝土單元彈性應(yīng)變能分布特征和變化規(guī)律對鋼筋混凝土板的破壞具有作用效應(yīng).本文對9種工況下鋼筋混凝土板進行數(shù)值模擬計算，提取混凝土單元彈性應(yīng)變能作為研究對象，對樣本數(shù)據(jù)進行概率分布擬合得到相應(yīng)的參數(shù)，再根據(jù)概率密度函數(shù)參數(shù)的變化規(guī)律，推斷出極限承載力，進而提出一種基于彈性應(yīng)變能的極限承載力判據(jù).

從現(xiàn)有研究可知，概率分布應(yīng)基于已有觀測數(shù)據(jù)以經(jīng)驗方法確定，其做法分為2種：一是畫出數(shù)據(jù)的頻率直方圖，通過比較特定的概率密度函數(shù)和相應(yīng)的頻率直方圖直觀地推斷分布類型;二是將數(shù)據(jù)點畫在不同概率紙上，如果數(shù)據(jù)點近似成線性趨勢，則生成該概率紙的分布就可能是一個合適的分布類型.

將數(shù)值計算中混凝土單元劃分的個數(shù)共4 096個作為樣本數(shù)據(jù)，畫出其頻率直方圖與相應(yīng)的概率密度函數(shù).在此過程中重點是如何選擇分割區(qū)間寬度，如果區(qū)間劃分過寬，頻率直方圖顯得粗糙;反之，如果分割區(qū)間劃分過細，則頻率直方圖的平滑性不夠好.解決上述問題的處理方法有2種：一是選擇直方圖分割區(qū)間數(shù)近似等于樣本數(shù)據(jù)個數(shù)的平方根;二是根據(jù)樣本大小和數(shù)據(jù)的分布情況，自動選擇頻率直方圖的寬度和位置，這個規(guī)則適用于許多類型的數(shù)據(jù)，可以有效地解決直方圖平滑性不夠好的問題.本文采取第2種方法，具體的擬合圖如圖2所示.

經(jīng)過對比多種擬合函數(shù)與頻率直方圖，從圖2的9種工況擬合情況可以看出，對數(shù)正態(tài)分布與頻率直方圖最為吻合.混凝土單元彈性應(yīng)變能隨著荷載增加而不斷增大，當荷載增加到一定數(shù)值，彈性應(yīng)變能趨于穩(wěn)定，由工況1的2.5×104 mJ逐漸發(fā)展到工況6的5.0×105 mJ，最后穩(wěn)定到工況9的6.0×105 mJ.對于上述現(xiàn)象，推測為：在加載初期，荷載較小，混凝土單元彈性應(yīng)變能還有較大的儲備空間，所以最大應(yīng)變能較小;隨著荷載不斷增加，混凝土單元的彈性應(yīng)變能逐漸達到滿載狀態(tài)，導(dǎo)致應(yīng)變能持續(xù)增大并趨于穩(wěn)定.

工況1中，最大密度值約為2.5×10-4;隨著荷載增加，最大密度值不斷減小，工況9最大密度值降到最小，約為1.5×10-5.從9種工況直方圖可以看出，混凝土單元彈性應(yīng)變能主要集中在0～2.0×105 mJ，當彈性應(yīng)變能超過2.0×105 mJ后，對應(yīng)的密度值很小;圖2（a）—圖2（d）的密度變化幅度較大，而圖2（e）—圖2（i）密度變化幅度較小并趨于穩(wěn)定.這種現(xiàn)象表明，混凝土單元的彈性應(yīng)變能在荷載的作用下逐漸變化，對應(yīng)的密度也隨之改變，最后儲存彈性應(yīng)變能的混凝土單元的變形達到極限，對應(yīng)的密度值趨于穩(wěn)定.

從圖2可以看出，對數(shù)正態(tài)分布與頻率直方圖擬合情況良好.為了檢驗擬合情況，用對數(shù)正態(tài)概率紙進行繪制，對數(shù)正態(tài)概率紙是根據(jù)變量的累積概率對應(yīng)于所指定的理論分布累積概率繪制的散點圖，能夠直觀地檢測樣本數(shù)據(jù)是否符合某一概率分布，如果被檢驗的數(shù)據(jù)符合所指定的分布，則樣本數(shù)據(jù)的點基本在理論分布的對角線上.畫出鋼筋混凝土板彈性應(yīng)變能對數(shù)正態(tài)分布概率紙，如圖3? 所示.

從圖3的9種工況圖可知，彈性應(yīng)變能的數(shù)據(jù)點幾乎都落在指定的對數(shù)正態(tài)分布的概率圖上，只有較少數(shù)的數(shù)據(jù)偏離曲線，這進一步表明對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)是混凝土單元應(yīng)變能擬合的最佳概率密度函數(shù).

3? ? 分布類型的擬合優(yōu)度檢驗

頻率直方圖和P-P圖是從圖像上直觀判斷出混凝土彈性應(yīng)變能的分布類型，為了使上述結(jié)果更準確，還應(yīng)從理論上確定混凝土彈性應(yīng)變能的分布類型，為此對其進行擬合優(yōu)度檢驗.目前，廣泛應(yīng)用的擬合優(yōu)度檢驗方法有3類，即[x2]、Kolmogorov-Smirnov（K-S）和Anderson-Darling（A-D）方法.綜合考慮3種方法，選擇K-S檢驗方法對9種工況下的對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)進行擬合優(yōu)度檢驗，該檢驗的基本出發(fā)點是比較經(jīng)驗累積頻率與假定理論分布的概率分布函數(shù).檢驗的顯著性水平取0.1，即置信區(qū)間為90%，得出的評價指標如表1所示.

從表1可知，各工況下的h值均為0，表明混凝土單元彈性應(yīng)變能擬合分布服從對數(shù)正態(tài)分布.分析ksstat可知，其值均小于臨界值cv，表明混凝土單元彈性應(yīng)變能擬合分布服從對數(shù)正態(tài)分布.但是，工況1—工況4（加載初期）ksstat略小于臨界值cv，表明在加載初期混凝土單元彈性應(yīng)變能勉強服從對數(shù)正態(tài)分布.其實際意義可以理解為：在加載初期，彈性應(yīng)變能在混凝土單元的分布不均勻，波動較大;隨著均布荷載增加，混凝土單元的變形也不斷增加，既導(dǎo)致儲存彈性應(yīng)變能的單元數(shù)目增加，又導(dǎo)致已儲存彈性應(yīng)變能單元的數(shù)值增加.? ?因此，在此期間應(yīng)變能勉強服從對數(shù)正態(tài)分布.在加載中后期，ksstat明顯小于臨界值cv，表明在此期間應(yīng)變能完全服從對數(shù)正態(tài)分布.實際意義可以理解為：在加載中后期，混凝土單元的變形進一步增加，儲存應(yīng)變能的混凝土單元已經(jīng)飽和，變化的僅為應(yīng)變能的數(shù)值，應(yīng)變能完全服從對數(shù)正態(tài)分布.綜上所述，鋼筋混凝土板從加載初期直至破壞階段的全過程中，彈性應(yīng)變能都服從對數(shù)正態(tài)分布.

4? ? 基于對數(shù)正態(tài)分布的極限承載力分析

對數(shù)正態(tài)分布與正態(tài)分布相似，其概率密度函數(shù)為：

[f（x|μ， σ）=12πxσexp-12σ2lnx-μ2， x>0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， x≤0]

其中：[-∞<μ<+∞]，是對數(shù)平均值，也稱位置參數(shù);[σ≥0]，是對數(shù)標準差，也稱形狀參數(shù).通過分析得到9種工況下對數(shù)正態(tài)分布的擬合參數(shù)如表2所示.

從表2可以看出，隨著荷載的增加，擬合參數(shù)也相應(yīng)增加，當荷載達到一定數(shù)值，擬合參數(shù)將趨于穩(wěn)定.擬合參數(shù)[μ、σ]分別表示其位置和形狀大小的變化，根據(jù)這些參數(shù)的變化情況可以推斷出混凝土板的極限承載力.擬合優(yōu)度如表3所示， [μ]、[σ]的擬合情況如圖4、圖5所示.

從圖4和圖5可以看出，擬合參數(shù)[μ]和[σ]最終都趨于穩(wěn)定，因此，取參數(shù)趨于穩(wěn)定的點所對應(yīng)的荷載作為鋼筋混凝土板的極限荷載值.為了求得參數(shù)最后趨于穩(wěn)定的點，分別對[μ]和[σ]進行曲線擬合，擬合結(jié)果如表3所示.從表3中的確定系數(shù)（R-square）可知，當擬合參數(shù)[μ]和[σ]的擬合程度分別達到99.82%和99.74%時，方差（SSE）和均方根（RMSE）均趨于0，表明二次多項式是最佳擬合情況.參數(shù)最終趨于穩(wěn)定的點即曲線水平對應(yīng)的點，也就是二次多項式的對稱軸，分別計算出其對稱軸，結(jié)果如表4所示.

從表4可以看出，擬合參數(shù)[μ]、[σ]最終趨于穩(wěn)定，對應(yīng)的荷載分別為46.13 kPa和47.86 kPa，為安全起見，取兩者中較小值46.13 kPa作為極限承載力.為了對比，采用屈服線理論計算本文鋼筋混凝土板的極限承載力[19]，計算公式如下：

[pu=]

[12×（2M1u+2M2u+M'1u+M″1u+M'2u+M″2u）l2o1（3lo2-lo1）]

式中：[M1u]、[M2u]表示對應(yīng)于[lo1]（短跨）、[lo2]（長跨）方向跨中極限承載力，[M'1u]、[M″1u]、[M'2u]、[M″2u]表示對應(yīng)于[lo1]、[lo2]兩對邊支座的極限承載力.

板的計算參數(shù)：

[fc]為混凝土軸心抗壓強度標準值，[ft]為混凝土軸心抗拉強度標準值，[Ec]為混凝土的彈性模量，[fy]、[f'y]為普通鋼筋抗拉、抗壓強度設(shè)計值，[Es]為鋼筋的彈性模量，[as]為下部縱向受拉鋼筋合力點至受拉構(gòu)件邊緣的豎向距離，[h0]為截面有效高度.以四邊簡支雙向板為例，各參數(shù)取值為：

[fc=14.30? N/mm2，ft=1.43? N/mm2，Ec=3×104? N/mm2，fy=300.00? N/mm2，f'y=300.00? N/mm2，Es=2×105? N/mm2，as=20.00? mm，h0=60.00? mm.]

單位長度鋼筋截面面積：

[As=251.20? mm2]

截面受壓區(qū)高度：

[x=Asfyα1fcb=5.27? mm]

式中：[α1]為混凝土受壓區(qū)等效矩形應(yīng)力系數(shù)，取值1.0;[b]為單位寬度，取值1 000.

單位寬度極限正抵抗彎矩：

[mu=fyAs（h0-x2）=4.32? kN· m/m].

單位寬度極限負抵抗彎矩：

[m'u=fyAs（h0-x2）=4.32? kN· m/m].

跨中極限承載力：

[M1u=M2u=Mu×板長度（1.60? m）=6.91? kN· m].

單位面積極限荷載：

[pu=12×2M1u+2M2ul2o13lo2-lo1=40.50? kPa].

式中：[lo1=lo2=1.60? m].

經(jīng)計算，擬合參數(shù)[σ]與理論值[pu]的極限荷載分別為46.13 kPa、40.50 kPa，擬合參數(shù)推斷的極限荷載與理論計算值的誤差為13.90%.擬合參數(shù)是根據(jù)有限元計算混凝土單元彈性應(yīng)變能后分布擬合得來，其值依賴于有限元的計算結(jié)果.由于應(yīng)變能的變化客觀存在，單元尺寸、網(wǎng)格劃分收斂準則及精度的影響不可避免地產(chǎn)生誤差.因此，本文提出的基于混凝土彈性應(yīng)變能的擬合參數(shù)推斷極限承載力是可行的.

5? ? 其他邊界條件下極限承載力分析

在上述四邊簡支雙向板的基礎(chǔ)上，增加四邊固定、一邊固定三邊簡支、兩鄰邊固定兩鄰邊簡支、三邊固定一邊簡支、兩對邊固定兩對邊簡支等5種邊界情況，分別記為1、2、3、4、5、6號板，計算結(jié)果如表5所示.

6? ? 結(jié)論

本文提取鋼筋混凝土雙向板從初始加載直至破壞階段全過程的彈性應(yīng)變能，分析其在不同工況下的變化規(guī)律，提出了一種基于應(yīng)變能的雙向板極限承載力判據(jù).得到如下結(jié)論：

1）鋼筋混凝土雙向板受到均布荷載作用時，在初始加載直至破壞階段的整個過程中，彈性應(yīng)變能服從對數(shù)正態(tài)分布.

2）通過研究四邊簡支雙向板、四邊固定、一邊固定三邊簡支、兩鄰邊固定兩鄰邊簡支、三邊固定一邊簡支、兩對邊固定兩對邊簡支件下雙向板的彈性應(yīng)變能，發(fā)現(xiàn)應(yīng)變能均服從對數(shù)正態(tài)分布;根據(jù)對正態(tài)分布的2個參數(shù)的變化，推斷出不同邊界條件下雙向板極限承載力，并與理論計算值對比，得出誤差分別為13.90%、8.89%、9.49%、11.51%、12.93%、10.68%，說明基于應(yīng)變能判據(jù)推出的極限承載力具有較高的可靠性和適用性.

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Criterion for ultimate bearing capacity of reinforced concrete slab based on strain energy

XIA Yu， CHANG Yuan， YU Yingye

（School of Civil Engineering and Architecture， Guangxi University of Science and Technology，

Liuzhou 545006， China）

Abstract： In order to study the criterion for the ultimate bearing capacity of reinforced concrete， the? ? finite element software is firstly used to construct the whole process analysis of two-way reinforced concrete slabs under different borders from the initial loadings to the destruction， to extract the elastic strain energy of concrete units. Then， the probability distribution of the corresponding variable energy is fitted， and the ultimate bearing capacity of the reinforced concrete slab is inferred from the parameter change trend of the distribution fitting. It is shown that the elastic strain energy distribution fitting of? ?reinforced concrete slab conforms to the log-normal distribution， and as the load increases， the fitting parameters of the log-normal distribution first increase and then become stable. Then，the curve fitting of the fitting parameters shows that the quadratic polynomial is? best. According to the quadratic? ? ? ?polynomial formula， the ultimate bearing capacity of the component is inferred. The error is small? ?compared with the theoretical value， verifying the feasibility of the criterion proposed in this paper.

Key words： probability distribution; log-normal distribution; ultimate bearing capacity; criterion;? ? elastic strain energy; curve fitting

（責任編輯：羅小芬）