基于變權(quán)PB組合預(yù)計模型的開采沉陷預(yù)計參數(shù)反演方法

張官進(jìn)，閆 威，江克貴

( 1.安徽科技學(xué)院 資源與環(huán)境學(xué)院，安徽 滁州 233100；2.安徽理工大學(xué) 測繪學(xué)院，安徽 淮南 232001 )

開采沉陷預(yù)測、防治理論及相關(guān)技術(shù)是我國礦山領(lǐng)域研究的熱點，求解精確、可靠的開采沉陷預(yù)計參數(shù)也是預(yù)計模型應(yīng)用的難點。傳統(tǒng)的開采沉陷預(yù)計參數(shù)求解方法主要有線性近似法[1-2]、特征點法和正交試驗法[3]。其中，線性近似法對地表監(jiān)測站的布設(shè)形式以及求參模型初值準(zhǔn)確性要求較高，在工程應(yīng)用中具有較大的困難；對于特征點法，由于移動與變形曲線復(fù)雜，曲線特征點難以精確確定，進(jìn)而導(dǎo)致求參誤差較大；正交試驗法存在試驗次數(shù)多、求參速度慢、計算機(jī)不易實施等缺點。針對常規(guī)求參方法存在的問題，大量學(xué)者把智能優(yōu)化算法引入到開采沉陷預(yù)計參數(shù)求取中來，葛家新[4]等將模矢法( 步長加速法 )應(yīng)用到求取開采沉陷預(yù)計參數(shù)中，解決了任意形狀工作面和動態(tài)實測數(shù)據(jù)求參問題；査劍鋒[5]等提出采用遺傳算法反演概率積分參數(shù)，通過工程應(yīng)用證實了遺傳算法求參的準(zhǔn)確性與可靠性；后來，眾多學(xué)者又引入粒子群算法[6-7]、改進(jìn)人工蜂群算法[8]、果蠅算法[9]、BFGS算法[10]等方法。相較于常規(guī)求參方法，基于智能優(yōu)化算法的求解參數(shù)精度得到了大大提高。但是，由于該類算法尋優(yōu)過程大同小異，自身求參能力已經(jīng)達(dá)到瓶頸，同時受概率積分模型擬合度的限制，求參精度很難得到進(jìn)一步提高。

綜上，為了進(jìn)一步提高求參的準(zhǔn)確性，本文針對開采沉陷預(yù)計模型重點開展研究。文獻(xiàn)[11-13]表明，組合預(yù)計模型綜合利用各種預(yù)計模型的信息，以適當(dāng)?shù)募訖?quán)形式得出組合預(yù)計模型，相對于單項預(yù)計模型，組合預(yù)計模型能夠有效提高擬合精度和預(yù)測能力。另外，一些學(xué)者[14]提出了基于Boltzmann函數(shù)的開采沉陷預(yù)計模型，通過分析曲線形態(tài)和參數(shù)特點發(fā)現(xiàn)，相對于概率積分模型，Boltzmann函數(shù)預(yù)計模型預(yù)計曲線在邊緣部分收斂緩慢，且預(yù)計參數(shù)與概率積分參數(shù)可以相互轉(zhuǎn)化，2種預(yù)計模型能夠共用1套參數(shù)系統(tǒng)。因此，基于變權(quán)組合預(yù)計模型原理，融合概率積分模型和Boltzmann函數(shù)預(yù)計模型，構(gòu)建了1種變權(quán)PB組合預(yù)計模型，鑒于該模型屬于高度非線性模型，耦合煙花算法，提出了1種基于變權(quán)PB組合預(yù)計模型的開采沉陷預(yù)計參數(shù)反演方法。

1 單項預(yù)計模型原理

1.1 概率積分模型

概率積分模型由我國學(xué)者提出，目前已成為我國較為成熟、應(yīng)用最為廣泛的開采沉陷預(yù)計方法之一[15]。根據(jù)概率積分模型開采沉陷預(yù)計原理，半無限和有限開采引起地表下沉的曲線公式為

式中，

其中，W0為最大下沉值；m為工作面采厚；q為下沉系數(shù)；α為工作面傾角；為概率積分函數(shù)；r為主要影響半徑，r＝H/tan β；H為工作面采深；tan β為主要影響角正切；L為工作面計算開采長度。

走向計算開采長度為

傾向計算開采長度為

式中，D3，D1分別為走向和傾向開采長度；S1，S2，S3，S4分別為傾向下山、傾向上山、開切眼和終采線處拐點偏移距；θ為開采影響傳播角。

水平移動預(yù)計公式是由單元盆地下沉影響函數(shù)推導(dǎo)而來，具體推導(dǎo)過程可參考文獻(xiàn)[16]，半無限和有限開采引起地表水平移動的曲線公式為

式中，b為水平移動系數(shù)。

根據(jù)有限開采預(yù)計公式，整個工作面開采引起地表任意點( x，y )沿φ方向( x軸的正向逆時針旋轉(zhuǎn)到指定方向的角值 )的下沉和水平移動為

1.2 Boltzmann函數(shù)預(yù)計模型

近年來，一些學(xué)者基于Boltzmann函數(shù)提出了一種新的開采沉陷預(yù)計模型。對非充分開采，充分開采以及超充分開采的實測結(jié)果分析表明，Boltzmann函數(shù)可以較好地預(yù)計不同開采條件下的地表開采沉陷形變。根據(jù)文獻(xiàn)[14]，半無限開采地表形變盆地下沉預(yù)計公式為

式中，R為新的主要影響半徑；S為拐點偏移距。

對式( 4 )求微分，可得Boltzmann函數(shù)預(yù)計模型的單元影響函數(shù)為

仿照概率積分法推導(dǎo)經(jīng)驗和彈性力學(xué)知識[17]，單元水平移動函數(shù)和半無限開采地表水平移動預(yù)計公式為

式中，b'為新的水平移動系數(shù)。

有限開采情況下，基于Boltzmann函數(shù)的地表下沉和水平移動預(yù)計公式Wb( x )，Wb( y )，Ub( x )和Ub( y )可按照1.1節(jié)公式推導(dǎo)過程推理得到。因此，工作面開采引起地表任意點( x，y )沿φ方向的下沉和水平移動預(yù)計公式為

1.3 模型參數(shù)及形變擬合分析

綜上所述，結(jié)合文獻(xiàn)[14]的研究，開采沉陷預(yù)計參數(shù)體系為P＝[q，tan β，b，θ，S1，S2，S3，S4]。概率積分模型和Boltzmann函數(shù)預(yù)計模型在tan β和b上參數(shù)意義相同，數(shù)值不同，但參數(shù)數(shù)值可以通過經(jīng)驗公式轉(zhuǎn)化；新的主要影響半徑R≈r/4.13，由于tan β＝H/r，則tan β'＝4.13tan β，又 由 于b ＝B/r，則b'＝4.13b。另外，2種預(yù)計模型在其余預(yù)計參數(shù)上意義相同，數(shù)值相等。因此，通過一定的數(shù)值轉(zhuǎn)化，2種預(yù)計模型可共用1套預(yù)計參數(shù)系統(tǒng)P，這給2種模型變權(quán)組合進(jìn)而反演預(yù)計參數(shù)提供了理論前提。

研究表明，概率積分模型在大變形區(qū)域預(yù)計效果較優(yōu)，在變形盆地邊緣區(qū)域收斂過快，與實際變形有較大差別[18]；而Boltzmann函數(shù)預(yù)計模型在變形盆地邊緣區(qū)域收斂緩慢。理論上，融合2種單項預(yù)計模型的組合預(yù)計模型能夠改進(jìn)形變擬合程度，進(jìn)而提高求解參數(shù)的精度。在1套預(yù)計參數(shù)體系下，2種預(yù)計模型預(yù)計下沉( 半無限開采 )比較如圖1所示。

2 變權(quán)PB組合預(yù)計模型及反演方法構(gòu)建

2.1 變權(quán)組合預(yù)計模型

概率積分模型和Boltzmann函數(shù)預(yù)計模型組合優(yōu)勢在于，2種模型可共用1套概率積分參數(shù)；同時Boltzmann函數(shù)模型預(yù)計曲線在盆地邊緣區(qū)域收斂緩慢，以及概率積分模型在大變形區(qū)域的擬合能力，理論上可使得組合模型在全盆地擬合能力顯著提升。

基于變權(quán)組合理論，融合概率積分模型和Boltzmann函數(shù)預(yù)計模型，構(gòu)造的變權(quán)PB組合預(yù)計模型的下沉和水平移動預(yù)計公式分別為

圖1 半無限開采下沉曲線比較Fig.1 Comparison of subsidence curves in semi-infinite mining

式中，Wp( x，y )，Wb( x，y )分別為概率積分模型和Boltzmann函數(shù)預(yù)計模型預(yù)計下沉；Up( x，y )，Ub( x，y )分別為概率積分模型和Boltzmann函數(shù)預(yù)計模型預(yù)計水平移動；ρ為權(quán)重。

綜上，概率積分參數(shù)體系為P，假設(shè)地質(zhì)采礦概況參數(shù)為G＝[m，α，θ，H，D3，D1]，變權(quán)PB組合預(yù)計模型函數(shù)可以概括為

2.2 參數(shù)反演方法構(gòu)建

在工作面地質(zhì)采礦概況和地表形變量已知的情況下，如何利用構(gòu)建的變權(quán)PB組合預(yù)計模型( 高度非線性模型 )精確地反演開采沉陷預(yù)計參數(shù)，本文引入了煙花算法。

近年來，TAN和ZHU[19]根據(jù)煙花爆炸產(chǎn)生火花這一自然現(xiàn)象提出了煙花算法。煙花算法是1種具有局部和全局搜索能力的自調(diào)節(jié)機(jī)制群體智能優(yōu)化算法[20]。煙花種群中各個煙花根據(jù)其相對于其他煙花的適應(yīng)度進(jìn)行資源分配和信息交互，使得種群能夠在全局和局部搜索能力之間達(dá)到平衡，其強(qiáng)大的尋優(yōu)搜索能力使得煙花算法成為1種新型智能優(yōu)化算法。煙花算法主要由爆炸算子、變異算子、映射規(guī)則和選擇策略組成，它們決定了煙花算法尋優(yōu)性能的優(yōu)劣。具體的煙花算法尋優(yōu)過程和相關(guān)公式可參考文獻(xiàn)[21-22]。

綜合變權(quán)PB組合預(yù)計模型特點、地表三維形變以及煙花算法原理，提出了1種基于變權(quán)PB組合預(yù)計模型的開采沉陷預(yù)計參數(shù)反演方法研究，其具體步驟如下：

( 1 ) 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備。獲取目標(biāo)礦區(qū)工作面地表實測形變以及工作面地質(zhì)采礦概況參數(shù)；選定適當(dāng)?shù)臒熁ㄋ惴▍?shù)；以[P，ρ]＝[q，tan β，b，θ，S1，S2，S3，S4，ρ]作為種群的個體( 煙花或火花 )，同時確定種群活動的可行域范圍，進(jìn)而生成煙花初始種群。

( 2 ) 適應(yīng)度評價。根據(jù)煙花初始種群和地質(zhì)概況參數(shù)，基于組合預(yù)計模型，煙花種群中第i組參數(shù)預(yù)計的下沉和水平移動分別為Wi和Ui；假設(shè)實測下沉和水平移動分別為Wm和Um，以預(yù)計值和實測值之差的平方和為準(zhǔn)則進(jìn)行適應(yīng)度評價，適應(yīng)度函數(shù)F的構(gòu)造如式( 10 )所示。判斷適應(yīng)度是否達(dá)到要求，否則，執(zhí)行步驟( 3 )。

( 3 ) 生成火花。根據(jù)煙花算法原理，結(jié)合開采沉陷預(yù)計參數(shù)特點，分別生成爆炸火花和高斯變異火花，其中高斯變異火花增加了火花種群的多樣性，使得算法尋優(yōu)能力進(jìn)一步提高。

( 4 ) 火花映射。步驟( 3 )生成的火花可能會超出可行域邊界，通過映射規(guī)則把超出邊界的火花映射到參數(shù)范圍內(nèi)。

( 5 ) 后代選擇。種群中適應(yīng)度最小的候選者會被確定性地選擇到下一代中，剩下的后代采用輪盤賭法在候選者中進(jìn)行選擇，候選者xi被選中的概率計算公式為

式中，R( xi)為當(dāng)前個體xi與其他個體的距離之和；d( xi，yi)為任意2個個體xi和yi之間的歐氏距離；xj∈K表示第j個位置屬于集合K。

( 6 ) 迭代計算。循環(huán)執(zhí)行步驟( 2 )～( 5 )，直至達(dá)到適應(yīng)度要求，輸出參數(shù)最優(yōu)解。

基于上述思想，提出了如圖2所示的基于變權(quán)PB組合預(yù)計模型的開采沉陷預(yù)計參數(shù)反演方法技術(shù)路線，并編制了求參程序。

3 模擬試驗

3.1 數(shù)據(jù)模擬

圖2 構(gòu)建方法技術(shù)路線Fig.2 Technology roadmap of constructed method

以淮南礦區(qū)采礦背景為例，模擬工作面上覆巖層巖性為中硬，煤層采厚m＝3 m，采高H＝400 m，煤層傾角α＝6°，工作面傾向方位角θ＝0°；模擬工作面尺寸D3×D1＝800 m×300 m，工作面走向為超充分采動，傾向為非充分采動，整體為非充分采動。此外，分別沿工作面走向和傾向模擬布設(shè)了2條監(jiān)測線，走向共布設(shè)35個監(jiān)測點( E1～E35 )，傾向共布設(shè)23個監(jiān)測點( N1～N23 )，監(jiān)測點間距均為40 m；模擬工作面及監(jiān)測線如圖3所示。模擬的開采沉陷預(yù)計參數(shù)分別為：q＝0.8，tan β＝2.0，b＝0.3，θ＝87.0°，S1＝S2＝S3＝S4＝20 m；模擬權(quán)值ρ＝0.6。根據(jù)模擬的地質(zhì)采礦概況參數(shù)和預(yù)計參數(shù)，利用組合預(yù)計模型預(yù)計走向和傾向模擬監(jiān)測點的下沉和水平移動。

圖3 模擬工作面和觀測線示意Fig.3 Schematic diagram of simulated working face and observation lines

3.2 反演及結(jié)果分析

以3.1節(jié)中預(yù)計的地表形變作為參數(shù)反演基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，結(jié)合模擬的工作面地質(zhì)概況參數(shù)，利用本文構(gòu)建的方法對工作面進(jìn)行開采沉陷預(yù)計參數(shù)反演試驗，為了排除偶然誤差的干擾，分別獨立進(jìn)行10次試驗，10次試驗求參取平均值作為最終試驗結(jié)果，并計算求參相對誤差及中誤差，試驗結(jié)果見表1。

表1 模擬試驗求參結(jié)果Table 1 Results of the solved parameters in simulation experiment

從表1中的數(shù)據(jù)可以看出，① 構(gòu)建方法反演q，tan β，b，θ的相對誤差控制在1.7%以內(nèi)，以及最大參數(shù)中誤差不超過1.6；反演拐點偏移距S的最大相對誤差約為19.6%( 在傾向下山處取得 )，最大參數(shù)中誤差不超過8.6 m。② 構(gòu)建方法求取ρ的值為0.507 3，與模擬值比較，相對誤差不超過15.5%。③構(gòu)建方法擬合下沉和水平移動誤差在-22.3～30.2 mm，擬合中誤差約為12.3 mm，工作面走向和傾向下沉擬合效果如圖4，5所示；工作面走向和傾向水平移動擬合效果如圖6，7所示。綜上，本文構(gòu)建方法能夠精確可靠地反演開采沉陷預(yù)計參數(shù)。

圖4 走向方向?qū)崪y和擬合下沉曲線比較Fig.4 Comparison of measured and fitted subsidence curves along the strike

4 工程應(yīng)用

4.1 試驗區(qū)概況

圖5 傾向方向?qū)崪y和擬合下沉曲線比較Fig.5 Comparison of measured and fitted subsidence curves along the inclination

圖6 走向方向?qū)崪y和擬合水平移動曲線比較Fig.6 Comparison of measured and fitted horizontal movement curves along the strike

圖7 傾向方向?qū)崪y和擬合水平移動曲線比較Fig.7 Comparison of measured and fitted horizontal movement curves along the inclination

以淮南顧橋煤礦某工作面地表為目標(biāo)研究區(qū)域，該工作面采用綜合機(jī)械化采煤，一次采全高，全部垮落法管理頂板。工作面煤層平均采高為3 m，平均埋深為735 m，傾角平均為5°，工作面開采尺寸為2 120 m×241 m，走向為超充分采動，傾向為非充分采動，整體為非充分采動。為了動態(tài)監(jiān)測地表移動與變形情況，沿走向觀測線布設(shè)3個控制點和95個監(jiān)測點，點間距為30/60 m，長度為3 480 m；沿傾向布設(shè)3個控制點和50個監(jiān)測點，長度為1 500 m；地表移動變形穩(wěn)定后，由于后期變形盆地積水以及點位破壞等情況，部分點位不能達(dá)到使用要求，在本試驗中予以刪除。

4.2 試驗過程及結(jié)果分析

為了比較組合預(yù)計模型求參方法和單個預(yù)計模型求參方法擬合及求參效果，基于試驗區(qū)地質(zhì)采礦概況和地表觀測站監(jiān)測形變，利用本文構(gòu)建方法、基于概率積分模型的求參方法( 方法Ⅰ )和基于Boltzmann函數(shù)預(yù)計模型的求參方法( 方法Ⅱ )分別對該工作面開采沉陷預(yù)計參數(shù)進(jìn)行求取，求參試驗結(jié)果見表2。

表2 工程應(yīng)用求參結(jié)果比較Table 2 Comparison of the solved parameters in engineering applications

由表2可知，① 就求參差異來看，本文構(gòu)建方法與方法Ⅰ相比，求參差異主要集中在下沉系數(shù)q和下山拐點偏移距S1處，參數(shù)q的差異百分比超過9%，參數(shù)S1的求參差異超過14 m；本文構(gòu)建方法與方法Ⅱ相比，求參差異主要集中在主要影響傳播角θ以及下山和上山拐點偏移距S1，S2處，求參差異分別約為2.1°，9 m和13 m。② 工作面走向和傾向下沉和水平移動擬合效果分別如圖8，9所示，本文構(gòu)建方法擬合優(yōu)于方法Ⅰ和方法Ⅱ( 相較于藍(lán)點和綠點，紅點接近于黑線的數(shù)量較多 )，3種方法擬合下沉和水平移動中誤差分別約為82，107，100 mm。③ 求取權(quán)值ρ約為0.7，表明概率積分模型參與擬合的形變比例大于Boltzmann函數(shù)預(yù)計模型。試驗結(jié)果表明，本文構(gòu)建方法綜合了方法Ⅰ和方法Ⅱ的擬合形變優(yōu)點，能夠精確可靠地反演開采沉陷預(yù)計參數(shù)。

5 結(jié) 論

圖8 工程應(yīng)用走向方向擬合下沉和水平移動曲線及誤差比較Fig.8 Comparison of curves and errors of fitting sinking and horizontal movement along the strike in engineering applications

圖9 工程應(yīng)用傾向方向擬合下沉和水平移動曲線及誤差比較Fig.9 Comparison of curves and errors of fitting sinking and horizontal movement along the inclination in engineering applications

( 1 ) 基于變權(quán)組合理論，融合概率積分模型和Boltzmann模型，構(gòu)建了變權(quán)PB組合預(yù)計模型，考慮 到該模型屬于高度非線性模型，耦合煙花算法，提出了基于變權(quán)PB組合預(yù)計模型的開采沉陷預(yù)計參數(shù)反演方法。

( 2 ) 模擬試驗結(jié)果表明，本文構(gòu)建方法反演全部參數(shù)的平均相對誤差約為4.0%，參數(shù)中誤差約為3.9；構(gòu)建方法擬合下沉和水平移動誤差為-22.3～30.2 mm，擬合中誤差約為12.3 mm；構(gòu)建方法能夠精確可靠地反演概率積分模型參數(shù)。

( 3 ) 將本文構(gòu)建方法、基于概率積分模型的求參方法和基于Boltzmann函數(shù)模型的求參方法應(yīng)用到淮南顧橋礦某工作面的開采沉陷預(yù)計模型參數(shù)反演中，試驗結(jié)果表明，本文構(gòu)建方法擬合程度遠(yuǎn)優(yōu)于其他2種方法，3種方法擬合下沉和水平移動中誤差分別約為82，107，100 mm，求取權(quán)值ρ約為0.7，表明概率積分模型參與擬合的形變比例大于Boltzmann函數(shù)模型，構(gòu)建方法求參結(jié)果為：q＝0.99，tan β＝1.90，b＝0.42，θ＝87.03°，S1＝6.29 m，S2＝-29.52 m，S3＝49.78 m，S4＝32.56 m。

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