基于流固耦合的單一裂隙漿液擴(kuò)散規(guī)律研究

王東亮，郝兵元，梁曉敏

( 太原理工大學(xué) 礦業(yè)工程學(xué)院，山西 太原 030024 )

在巖體中常分布有節(jié)理、裂隙等軟弱結(jié)構(gòu)面，嚴(yán)重威脅著結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性[1]。裂隙注漿是指通過(guò)一定的外界壓力將漿液注入到裂隙巖體中，使破碎的巖體形成一個(gè)完整的整體，從而改善巖體結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能[2]。目前注漿加固工程已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用，但由于注漿工程的隱蔽性，注漿理論的發(fā)展則遠(yuǎn)滯后于工程實(shí)踐，注漿工程尤其是裂隙注漿仍缺乏科學(xué)的理論指導(dǎo)。漿液在裂隙中最終擴(kuò)散距離以及注漿對(duì)巖體結(jié)構(gòu)的影響難以查明；注漿參數(shù)的確定、注漿工程的設(shè)計(jì)很大程度上依賴施工經(jīng)驗(yàn)，這些問(wèn)題都嚴(yán)重制約著注漿理論的發(fā)展。

為解決這些問(wèn)題，相關(guān)學(xué)者針對(duì)裂隙注漿漿液擴(kuò)散規(guī)律展開(kāi)了深入研究。王強(qiáng)[3]等基于賓漢流體滲流模型，推導(dǎo)出裂隙注漿中注漿量計(jì)算公式；張凱文[4]利用可視化裂隙注漿模型，研究了不同注漿因素下漿液的流動(dòng)規(guī)律；C BAKER[5]等基于牛頓流體流變方程，建立了漿液在裂隙中的擴(kuò)散方程。然而，在以上研究中，雖然探究了漿液在裂隙中的擴(kuò)散規(guī)律，但均未考慮注漿對(duì)巖體結(jié)構(gòu)的影響。在實(shí)際注漿工程中，往往存在著流固耦合效應(yīng)，漿液壓力會(huì)使得圍巖體進(jìn)行應(yīng)力重分布，進(jìn)而引起裂隙的變形，裂隙的變形又將影響漿液的流動(dòng)[6]。

為此，基于冪律流體的本構(gòu)方程，推導(dǎo)出冪律流體的漿液擴(kuò)散方程。并考慮圍巖應(yīng)力場(chǎng)和漿液流體場(chǎng)的雙向耦合，運(yùn)用數(shù)值模擬軟件，建立考慮流固耦合作用的單一裂隙注漿模型，分析了注漿壓力、漿液密度、裂隙開(kāi)度等因素對(duì)漿液擴(kuò)散和裂隙變形的影響。希望本研究能對(duì)裂隙注漿理論和工程實(shí)踐提供一定的借鑒。

1 漿液擴(kuò)散理論模型

1.1 基本假設(shè)

( 1 ) 漿液為均質(zhì)且各向同性的冪律流體。

( 2 ) 漿液不可壓縮，其流動(dòng)過(guò)程滿足連續(xù)性方程。

( 3 ) 漿液流動(dòng)過(guò)程不受重力及地下水的影響。

( 4 ) 裂隙巖體為彈性體，其變形為彈性變形。

1.2 模型簡(jiǎn)化

在實(shí)際巖體中，裂隙兩表面往往不是平行的，由于地應(yīng)力的作用，裂隙表面只有部分面積是貼合的，其他部分兩表面則處于分離狀態(tài)[7]。漿液進(jìn)入裂隙后，首先對(duì)裂隙中的未接觸部分進(jìn)行充填，隨著注漿過(guò)程的持續(xù)，漿液壓力不斷增大，漿液將逐漸承擔(dān)裂隙兩側(cè)巖體的部分壓力，而裂隙接觸部分所受的壓力因逐漸轉(zhuǎn)移給漿液而減小，這時(shí)將進(jìn)行應(yīng)力重分布。隨著漿液壓力的不斷增大，裂隙接觸部分的法向應(yīng)力減小為0，這時(shí)為裂隙變形的臨界階段[8]。若漿液壓力持續(xù)增大，漿液將對(duì)裂隙表面的巖體施加壓力，接觸部分將逐漸分離，裂隙發(fā)生變形，裂隙開(kāi)度變大[9]。

但由于裂隙兩側(cè)表面接觸部分很少，且計(jì)算此部分的裂隙變形極為復(fù)雜，因此為計(jì)算方便，可將裂隙簡(jiǎn)化為兩側(cè)表面平行的平行板進(jìn)行計(jì)算研究，簡(jiǎn)化模型如圖1所示。

圖1 裂隙簡(jiǎn)化模型Fig.1 Fracture simplified model

因平行板裂隙模型是軸對(duì)稱的，且漿液流動(dòng)過(guò)程中所有作用力也是對(duì)稱的，因此可將裂隙模型簡(jiǎn)化為二維對(duì)稱模型[10]進(jìn)行研究，如圖2所示。

圖2 漿液流動(dòng)計(jì)算模型Fig.2 Calculation model of slurry flow

1.3 基本方程

( 1 ) 流變方程

阮文軍[11]的研究成果表明，水泥漿液在低水灰比( 0.5～0.7 )時(shí)可視為冪律流體，中等水灰比( 0.7～1.0 )時(shí)可視為賓漢流體，高水灰比( 大于1.0 )時(shí)可視為牛頓流體。由于注漿時(shí)用的水泥漿液水灰比都比較低，因此將注漿漿液視為冪律流體進(jìn)行研究。冪律流體的基本流變方程為

式中，τ為剪切應(yīng)力；K為稠度系數(shù)；γ為流體剪切速率；n為流體流變系數(shù)。

式( 1 )中，流體剪切速率γ表示剪切應(yīng)力產(chǎn)生的速度變化率，其表達(dá)式為

其中，v為流體流速，則式( 1 )可改寫(xiě)為

( 2 ) 運(yùn)動(dòng)方程

為研究流固耦合作用下漿液的擴(kuò)散規(guī)律，需要準(zhǔn)確表述水泥漿液在裂隙中流動(dòng)的所有細(xì)節(jié)，因此采用N-S方程作為漿液擴(kuò)散的運(yùn)動(dòng)方程[12]。N-S方程是建立在動(dòng)量守恒基礎(chǔ)上的，其表達(dá)式為

( 3 ) 連續(xù)性方程

由于漿液的流動(dòng)過(guò)程是連續(xù)的，因此其流動(dòng)滿足連續(xù)性方程[13-14]。因?yàn)榧俣{液在流動(dòng)過(guò)程中不可壓縮，因此連續(xù)性方程是建立在質(zhì)量守恒基礎(chǔ)上的，其表達(dá)式為

( 4 ) 耦合控制方程

當(dāng)漿液壓力小于裂隙變形的臨界壓力時(shí)，裂隙寬度不變。隨著漿液壓力的不斷增大，其值將大于裂隙變形的臨界壓力，此時(shí)裂隙將會(huì)發(fā)生變形，寬度增大[10]。流固耦合的過(guò)程也就是裂隙變形的過(guò)程，其控制方程為

式中，b為裂隙寬度；b0為初始裂隙寬度；p為漿液壓力；p1為裂隙變形的臨界壓力；kn為彈性系數(shù)，kn＝D/E，D為注漿的影響范圍，E為裂隙巖體的彈性模量。

1.4 漿液擴(kuò)散方程

張凱文[4]的研究成果表明，冪律流體在裂隙中的流動(dòng)滿足質(zhì)量守恒，且其流動(dòng)沿y方向有一個(gè)壓降，由圖2可知

式中，ΔP為流體壓力變化量；dL為所取流體微元沿x軸的長(zhǎng)度。

流體壓力變化ΔP的表達(dá)式為

由式( 6 )和式( 7 )可知，剪切應(yīng)力滿足

為方便計(jì)算，可引入符號(hào)A代表漿液壓力在y方向變化，即

根據(jù)廣義冪律流體的本構(gòu)方程即式( 2 )，有

式中，C1為常數(shù)。

由于在裂隙表面處流體流速為0，即y＝b，v＝0，將此邊界條件代入式( 11 )，得

則，式( 11 )可改寫(xiě)為

對(duì)式( 12 )進(jìn)行積分可得裂隙內(nèi)流體的平均流速為

在t時(shí)刻漿液的單位流量為

式中，q為漿液?jiǎn)挝涣髁浚粁為t時(shí)刻的漿液擴(kuò)散半徑。

將式( 9 )代入式( 15 )，可得

對(duì)式( 16 )進(jìn)行積分，可得漿液壓力的表達(dá)式為

由于在初始時(shí)刻t＝0時(shí)，x＝r0，P＝Pc，將此邊界條件代入式( 17 )，得

式中，r0為注漿孔半徑；Pc為注漿壓力。

將式( 18 )代入式( 17 )，可得漿液壓力與漿液擴(kuò)散半徑的關(guān)系式為

式( 19 )即為冪律流體的漿液擴(kuò)散方程。

2 不同注漿因素對(duì)漿液擴(kuò)散范圍的影響

2.1 工況設(shè)計(jì)

影響漿液擴(kuò)散及裂隙變形的因素很多，總體可分為3方面因素[15-16]：漿液因素、裂隙因素、注漿工藝因素。漿液因素主要包括注漿材料、水灰比、漿液密度等；裂隙因素主要包括裂隙產(chǎn)狀、粗糙度、張開(kāi)度等；注漿工藝因素主要包括注漿孔徑、注漿壓力等[17]。為方便研究，本文從3方面因素中各選取一個(gè)代表性因素進(jìn)行研究。

漿液因素方面，選取漿液密度作為代表性影響因素。由于裂隙注漿所采用漿液多為水泥漿液[18]，且其水灰比通常較小、密度較大。因此選擇漿液密度分別為1 400，1 600，1 800 kg/m3三個(gè)梯度進(jìn)行研究。裂隙因素方面，選取裂隙開(kāi)度作為代表性影響因素。王強(qiáng)[3]的研究成果表明，裂隙開(kāi)度小于1 mm時(shí)為閉合裂隙，裂隙開(kāi)度為1～3 mm時(shí)為微張裂隙，裂隙開(kāi)度為3～5 mm時(shí)為張開(kāi)裂隙，裂隙開(kāi)度大于5 mm時(shí)為寬張裂隙[19]。本文主要研究閉合裂隙和微張裂隙，選擇裂隙開(kāi)度分別為0.5，1.0，1.5 mm三個(gè)梯度進(jìn)行研究。注漿工藝因素方面，選取注漿壓力作為代表性影響因素。選擇注漿壓力分別為1，3，5 MPa三個(gè)梯度進(jìn)行研究。具體工況設(shè)計(jì)見(jiàn)表1。

表1 工況設(shè)計(jì)Table 1 Working condition design

2.2 漿液擴(kuò)散范圍的影響因素

( 1 ) 注漿壓力對(duì)漿液擴(kuò)散范圍的影響

為研究注漿壓力對(duì)漿液擴(kuò)散范圍的影響，選取工況1、工況2和工況3進(jìn)行模擬研究，控制注漿壓力為惟一變量，利用COMSOL Multiphysics模擬軟件的流-固耦合模塊，根據(jù)簡(jiǎn)化后的理論模型( 圖1 )，建立兩側(cè)平行的單一裂隙模型。巖體模型尺寸為10 m×10 m×10 m，注漿孔直徑為25 mm，裂隙開(kāi)度根據(jù)工況設(shè)計(jì)，裂隙上下邊界為無(wú)滑移邊界，注漿孔口處為定壓力邊界，對(duì)以上3個(gè)工況下的漿液擴(kuò)散進(jìn)行模擬研究。

不同注漿壓力作用下漿液在裂隙內(nèi)擴(kuò)散20 min時(shí)的形態(tài)如圖3所示，漿液隨時(shí)間的擴(kuò)散范圍如圖4所示。

圖3 不同注漿壓力下漿液擴(kuò)散形態(tài)Fig.3 Morphology of slurry spreading under different grouting pressures

圖4 不同注漿壓力下漿液擴(kuò)散范圍Fig.4 Slurry spreading range under different grouting pressures

由圖3和4可知：在不同注漿壓力作用下，隨著注漿時(shí)間的持續(xù)，漿液擴(kuò)散范圍在逐漸增大。擴(kuò)散速率前期較快，然后隨時(shí)間逐漸減慢。注漿壓力為1 MPa時(shí)，在開(kāi)始的1.4 min內(nèi)，漿液在裂隙內(nèi)并未擴(kuò)散開(kāi)，在1.4 min后漿液才逐漸開(kāi)始擴(kuò)散，分析原因可能是數(shù)值模擬中裂隙上下邊界為無(wú)滑移邊界，即漿液在裂隙壁面上速度為0[20-21]，故在剛開(kāi)始注漿時(shí)，注漿量較小，漿液可能黏滯于裂隙壁面上，漿液流動(dòng)較慢，后隨著時(shí)間的延續(xù)，漿液流入量增大，在注漿壓力的作用下，漿液逐漸克服其黏滯性阻力而快速流動(dòng)。相同時(shí)間下，漿液擴(kuò)散范圍隨注漿壓力的增大而增大。注漿壓力為1 MPa時(shí)，漿液擴(kuò)散20 min的擴(kuò)散半徑為1.37 m；注漿壓力為3 MPa時(shí)，漿液擴(kuò)散20 min的擴(kuò)散半徑為2.39 m，相比于工況1注漿壓力增加值為2 MPa，增幅為200%，漿液擴(kuò)散半徑增加值為1.02 m，增幅為74.45%；注漿壓力為5 MPa時(shí)，漿液擴(kuò)散20 min的擴(kuò)散半徑為3.03 m，相比于工況2 注漿壓力增加值為2 MPa，增幅為66.67%，漿液擴(kuò)散半徑增加值為0.64 m，增幅為26.78%。為更清晰地反映不同因素對(duì)漿液擴(kuò)散的影響，現(xiàn)定義影響指數(shù)公式為

式中，f 為影響指數(shù)，其絕對(duì)值越大，說(shuō)明變量對(duì)漿液擴(kuò)散范圍的影響越大；n1，n2分別為影響因素的第2個(gè)取值相比第1個(gè)取值的增幅，影響因素的第3個(gè)取值相比第2個(gè)取值的增幅；m1，m2分別為影響因素在第2個(gè)取值下相比第1個(gè)取值漿液擴(kuò)散范圍的增幅，影響因素在第3個(gè)取值下相比第2個(gè)取值漿液擴(kuò)散范圍的增幅。

將n1＝200%，n2＝66.67%，m1＝74.45%，m2＝26.78%代入式( 20 )得影響指數(shù) f＝0.39，可知漿液擴(kuò)散范圍與注漿壓力正相關(guān)。

( 2 ) 漿液密度對(duì)漿液擴(kuò)散范圍的影響

選取工況2、工況4和工況5進(jìn)行模擬研究，控制漿液密度為惟一變量。

不同漿液密度下漿液在裂隙內(nèi)擴(kuò)散20 min時(shí)的形態(tài)如圖5所示，漿液隨時(shí)間的擴(kuò)散范圍如圖6所示。

圖5 不同漿液密度下漿液擴(kuò)散形態(tài)Fig.5 Slurry spreading morphology under different slurry density

圖6 不同漿液密度下漿液擴(kuò)散范圍Fig.6 Slurry spreading range under different slurry densities

由圖5和6可知：在不同漿液密度下，隨著注漿時(shí)間的持續(xù)，漿液擴(kuò)散范圍在逐漸增大。擴(kuò)散速率前期較快，然后隨時(shí)間逐漸減慢。

將圖5和6的模擬結(jié)果，n1＝14.29%，n2＝12.5%，m1＝-0.83%，m2＝-0.84%代入式( 20 )，得影響指數(shù)f＝-0.06，可知漿液擴(kuò)散范圍與漿液密度負(fù)相關(guān)，但其相關(guān)性極小，即漿液密度對(duì)漿液擴(kuò)散范圍的影響極小。

( 3 ) 裂隙開(kāi)度對(duì)漿液擴(kuò)散范圍的影響

選取工況2、工況6和工況7進(jìn)行模擬研究，控制裂隙開(kāi)度為惟一變量。

不同裂隙開(kāi)度下漿液在裂隙內(nèi)擴(kuò)散20 min時(shí)的形態(tài)如圖7所示，漿液隨時(shí)間的擴(kuò)散范圍如圖8所示。

圖7 不同裂隙開(kāi)度下漿液擴(kuò)散形態(tài)Fig.7 Slurry spreading morphology under different crack openings

圖8 不同裂隙開(kāi)度下漿液擴(kuò)散范圍Fig.8 Slurry spreading range under different crack openings

由圖7和8可知：在不同裂隙開(kāi)度下，隨著注漿時(shí)間的持續(xù)，漿液擴(kuò)散范圍在逐漸增大。擴(kuò)散速率前期較快，然后隨時(shí)間逐漸減慢。相同時(shí)間下，漿液擴(kuò)散范圍隨裂隙開(kāi)度的增大而增大。

將圖7和8的模擬結(jié)果，n1＝100%，n2＝50%，m1=7.24%，m2＝25.52%代入式( 20 )，得影響指數(shù) f＝0.54，可知在閉合裂隙和微張裂隙中，漿液擴(kuò)散范圍與裂隙開(kāi)度正相關(guān)。

由上述分析可知，各因素對(duì)漿液擴(kuò)散范圍的影響程度為：裂隙開(kāi)度＞注漿壓力＞漿液密度。

3 不同注漿因素對(duì)裂隙變形的影響

3.1 注漿壓力對(duì)裂隙變形的影響

為研究注漿壓力對(duì)裂隙變形的影響，根據(jù)第2節(jié)建立的模型，選取工況1～3進(jìn)行模擬研究，控制注漿壓力為惟一變量。不同注漿壓力作用下漿液在裂隙內(nèi)擴(kuò)散20 min時(shí)裂隙的變形形態(tài)如圖9所示，裂隙內(nèi)不同位置處的( 法向 )變形量如圖10所示。

圖9 不同注漿壓力下裂隙變形形態(tài)Fig.9 Crack deformation morphology under different grouting pressures

圖10 不同注漿壓力下裂隙變形量Fig.10 Crack deformation under different grouting pressures

由圖9和10可知：在不同注漿壓力作用下，注漿 孔口處裂隙變形量最大，隨著距離的增大，裂隙變形量逐漸減小，分析原因可能是因?yàn)闈{液壓力在孔口處最大，致使裂隙產(chǎn)生較大變形，隨著距離的增大，漿液壓力逐漸減小致使裂隙變形量減小。相同位置處，裂隙變形量隨注漿壓力的增大而增大。不同注漿壓力下的裂隙變形量差值在注漿孔口處最大，隨著距離增大而不斷減小，在距離注漿孔口4.6 m處差值接近于0。注漿壓力為1 MPa時(shí)，漿液擴(kuò)散20 min時(shí)裂隙最大變形量為0.021 6 mm；注漿壓力為3 MPa時(shí)，漿液擴(kuò)散20 min時(shí)裂隙最大變形量為0.089 1 mm，相比于工況1注漿壓力增加值為2 MPa，增幅為200% ，裂隙最大變形量增加值為0.067 5 mm，增幅為312.5%；注漿壓力為5 MPa時(shí)，漿液擴(kuò)散20 min時(shí)裂隙最大變形量為0.178 3 mm，相比于工況2注漿壓力增加值為2 MPa，增幅為66.67%，裂隙最大變形量增加值為0.089 2 mm，增幅為100.11% 。

為確定各因素對(duì)裂隙變形的影響，對(duì)式( 20 )各符號(hào)代表的含義重新定義： f為影響指數(shù)，其絕對(duì)值越大，說(shuō)明變量對(duì)裂隙變形的影響越大；n1，n2分別為影響因素的第2個(gè)取值相比第1個(gè)取值的增幅，影響因素的第3個(gè)取值相比第2個(gè)取值的增幅；m1，m2分別為影響因素在第2個(gè)取值下相比第1個(gè)取值裂隙最大變形量的增幅，影響因素在第3個(gè)取值下相比第2個(gè)取值裂隙最大變形量的增幅。將n1＝200%，n2＝66.67%，m1＝312.5%，m2＝100.11%代入重新定義后的式( 20 )，得影響指數(shù) f＝1.53，可知裂隙最大變形量與注漿壓力正相關(guān)。

3.2 漿液密度對(duì)裂隙變形的影響

選取工況2、工況4和工況5進(jìn)行模擬研究，控制漿液密度為惟一變量。不同密度的漿液在裂隙內(nèi)擴(kuò)散20 min時(shí)裂隙的變形形態(tài)如圖11所示，裂隙內(nèi)不同位置處的( 法向 )變形量如圖12所示。

圖11 不同漿液密度下裂隙變形形態(tài)Fig.11 Crack deformation morphology under different densities

圖12 不同漿液密度下裂隙變形量Fig.12 Crack deformation under different slurry densities

由圖11和12可知：在不同漿液密度下，注漿孔口處裂隙變形量最大，隨著距離的增大，裂隙變形量逐漸減小。

將圖11和12的模擬結(jié)果，n1＝14.29%，n2＝12.5%，m1＝-0.22%，m2＝-0.34%代入重新定義后的式( 20 )，得影響指數(shù) f＝-0.02，可知裂隙最大變形量與漿液密度負(fù)相關(guān)，但其相關(guān)性極小，即漿液密度對(duì)裂隙最大變形量的影響極小。

3.3 裂隙開(kāi)度對(duì)裂隙變形的影響

選取工況2、工況6和工況7進(jìn)行模擬研究，控制裂隙開(kāi)度為惟一變量。不同裂隙開(kāi)度下漿液在裂隙內(nèi)擴(kuò)散20 min時(shí)裂隙的變形形態(tài)如圖13所示，裂隙內(nèi)不同位置處的( 法向 )變形量如圖14所示。

圖13 不同裂隙開(kāi)度下裂隙變形形態(tài)Fig.13 Crack deformation morphology under different crack openings

圖14 不同裂隙開(kāi)度下裂隙變形量Fig.14 Crack deformation under different crack openings

由圖13和14可知：在不同裂隙開(kāi)度下，注漿孔口處裂隙變形量最大，隨著距離的增大，裂隙變形量逐漸減小。在距離注漿孔2.5～4.5 m處，裂隙開(kāi)度為1.0 mm的裂隙變形量小于裂隙開(kāi)度為0.5 mm的裂隙變形量，分析原因可能是因?yàn)闈{液在1 mm寬的裂隙中并未完全充填，從而未能引起裂隙的較大變形。其他位置處，裂隙變形量隨裂隙開(kāi)度的增大而增大。不同裂隙開(kāi)度的裂隙變形量差值在注漿孔口處最大，隨著距離的增大而不斷減小，在距離注漿孔口4.7 m處差值接近于0。

將圖13和14的模擬結(jié)果，n1＝100%，n2＝50%，m1＝24.62%，m2＝54.32%代入重新定義后的式( 20 )得影響指數(shù) f＝0.67，可知在閉合裂隙和微張裂隙中，裂隙最大變形量與裂隙開(kāi)度正相關(guān)。

由上述分析可知，各因素對(duì)裂隙變形的影響程度為注漿壓力＞裂隙開(kāi)度＞漿液密度。

4 結(jié) 論

( 1 ) 將水泥漿液看作一種冪律流體，基于冪律流體的本構(gòu)方程，推導(dǎo)出冪律流體漿液的擴(kuò)散方程。

( 2 ) 在閉合裂隙( b＜1 mm )和微張裂隙( 1≤b＜3 mm )中，漿液擴(kuò)散范圍與注漿壓力及裂隙開(kāi)度正相關(guān)，與漿液密度負(fù)相關(guān)，各因素對(duì)漿液擴(kuò)散范圍的影響程度由高到低依次為：裂隙開(kāi)度、注漿壓力、漿液密度。

( 3 ) 在閉合裂隙和微張裂隙中，裂隙變形量與注漿壓力及裂隙開(kāi)度正相關(guān)，與漿液密度負(fù)相關(guān)，各因素對(duì)裂隙變形量的影響程度由高到低依次為：注漿壓力、裂隙開(kāi)度、漿液密度。

( 4 ) 在實(shí)際注漿工程中，在閉合裂隙和微張裂隙注漿時(shí)，為增大漿液擴(kuò)散范圍，可適當(dāng)減小漿液密度，即適當(dāng)增大水灰比，同時(shí)增大注漿壓力；為減小裂隙變形量，可適當(dāng)增大漿液密度，并適當(dāng)減小注漿壓力。若綜合考慮，應(yīng)設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)臐{液密度和注漿壓力等參數(shù)值。