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    導(dǎo)彈定向定時(shí)航跡規(guī)劃的改進(jìn)PSO方法研究*

    2021-11-19 12:19:44張利民李偉勛
    航天控制 2021年4期
    關(guān)鍵詞:禁飛區(qū)最優(yōu)控制性能指標(biāo)

    張利民 李 茜,2 李偉勛

    1.中原工學(xué)院 電子信息學(xué)院, 鄭州 451191

    2.天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,天津 300387

    3.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 理學(xué)院,天津 300222

    0 引言

    巡航導(dǎo)彈攻擊方向和時(shí)間的協(xié)調(diào)對(duì)于提高突防概率有著特殊意義[1-3]。近幾年,同時(shí)考慮攻擊角度和時(shí)間的制導(dǎo)規(guī)律設(shè)計(jì)成為研究熱點(diǎn)[4-6]。例如,2016年,廖沫等[7]分析了戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)模式和關(guān)鍵技術(shù),重點(diǎn)針對(duì)導(dǎo)彈協(xié)同任務(wù)規(guī)劃技術(shù)進(jìn)行分析和研究,提出三級(jí)結(jié)構(gòu)的導(dǎo)彈協(xié)同任務(wù)規(guī)劃體系,并基于V圖和A*算法進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。2018年,李文等[8]基于李雅普諾夫方法推導(dǎo)了帶指定攻擊角度的時(shí)間控制導(dǎo)引律,使導(dǎo)彈按指定落角和落向以指定攻擊時(shí)間打擊目標(biāo),并借助Dubins最短路徑,彈道軌跡邊界分析了多約束條件下可指定攻擊時(shí)間的取值范圍。2019年,吳放等[9]為解決速度變化對(duì)導(dǎo)彈攻擊時(shí)間和攻擊角度的控制問(wèn)題,提出一種基于成型理論和非奇異終端滑模理論的控制制導(dǎo)律,并證明了其Lyapunov穩(wěn)定性。2020年,許志等[10]針對(duì)導(dǎo)彈速度不可控且變化規(guī)律未知條件下時(shí)間與角度控制的問(wèn)題,提出了一種分段解析迭代的導(dǎo)彈速度預(yù)測(cè)及在線航程修正方法。

    PSO(Particle Swarm Optimization)是一種基于群智能的全局優(yōu)化方法。算法根據(jù)粒子在解空間中所處的情況進(jìn)行搜索,沒(méi)有復(fù)雜的尋優(yōu)操作,易實(shí)現(xiàn),且需要調(diào)節(jié)的參數(shù)少,收斂速度快,已廣泛應(yīng)用于各種優(yōu)化問(wèn)題[11-15]。

    本文提出以Gauss偽譜法(Gauss pseudospectral method,GPM)思想基礎(chǔ),直接基于非線性導(dǎo)引運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,將控制時(shí)域離散化為有限時(shí)間段,在考慮過(guò)程約束和禁飛區(qū)約束等約束條件下,將具有指定時(shí)間和終端入射角的反艦導(dǎo)彈最優(yōu)航跡規(guī)劃最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)PSO能求解的非線性規(guī)劃問(wèn)題,然后采用混沌PSO算法求解該問(wèn)題,另外,本文還對(duì)傳統(tǒng)過(guò)載目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn),降低了末段控制需求。

    1 導(dǎo)彈-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程

    導(dǎo)彈-目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。

    圖1 導(dǎo)彈-目標(biāo)相對(duì)位置圖

    本文假定所攻擊的目標(biāo)靜止,導(dǎo)彈速度為固定值V,選擇坐標(biāo)系XOY為地面坐標(biāo)系的水平面。

    圖1中,(Xm,Ym)和γm表示導(dǎo)彈當(dāng)前的位置和航向角,A表示其法相加速度, 始終與導(dǎo)彈速度V垂直來(lái)改變其方向,(Xt,Yt)和γt表示攻擊的目標(biāo)位置和航向角。根據(jù)圖1,導(dǎo)彈-目標(biāo)的質(zhì)點(diǎn)模型課表示為[16]:

    (1)

    式中,(x,y)為導(dǎo)彈的位置,t為時(shí)間,γ為導(dǎo)彈航向角,A為導(dǎo)彈法向加速度,u為導(dǎo)彈法向歸一化過(guò)載。

    2 基于改進(jìn)PSO的最優(yōu)航跡規(guī)劃

    2.1 混沌PSO算法

    PSO算法首先初始化為一群隨機(jī)粒子,再迭代尋找其最優(yōu)解。在迭代過(guò)程中,每一個(gè)粒子跟蹤兩個(gè)極值并更新自己,其中一個(gè)極值是粒子本身所找到的最優(yōu)解,即個(gè)體極值;另一個(gè)是種群當(dāng)前所尋到的最優(yōu)解,即全局極值[11-13]。

    但是PSO優(yōu)化易陷入局部極值點(diǎn),可以利用混沌搜索,跳出局部最優(yōu)[17-18]。其基本思想是:采用混沌序列對(duì)粒子的速度和位置進(jìn)行初始化,此方法不僅不改變粒子群的隨機(jī)性,還能提高種群的多樣性和粒子的遍歷性;以當(dāng)前群最優(yōu)解為基礎(chǔ)產(chǎn)生混沌序列,并用序列中的最優(yōu)位置代替粒子群中的一個(gè)位置,產(chǎn)生局部最優(yōu)解的鄰域點(diǎn),這樣有助于惰性粒子逃離局部最優(yōu)解。

    在混沌搜索的算法中,為了保持種群的多樣性,加強(qiáng)搜索的分散性,在保留一定數(shù)量最優(yōu)微粒的同時(shí),算法根據(jù)群體的最佳位置動(dòng)態(tài)收縮搜索區(qū)域,并在搜索區(qū)域內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生微粒來(lái)代替性能較差的微粒。

    2.2 最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)換

    由于導(dǎo)彈的航跡優(yōu)化屬于最優(yōu)控制問(wèn)題,需將其轉(zhuǎn)換為PSO能求解的非線性規(guī)劃問(wèn)題。借鑒GPM的思想,本文將最優(yōu)控制的狀態(tài)變量和控制變量在一系列Gauss點(diǎn)上離散,并以這些離散點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造Lagrange插值多項(xiàng)式對(duì)其進(jìn)行近似。通過(guò)對(duì)全局插值多項(xiàng)式求導(dǎo),近似狀態(tài)變量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),將微分方程約束轉(zhuǎn)換為一組代數(shù)約束,性能指標(biāo)中的積分項(xiàng)由Gauss積分計(jì)算。經(jīng)上述變換,可將最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列具有代數(shù)約束的參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題,即非線性規(guī)劃問(wèn)題(NLP)[19-20]。再利用混沌PSO算法對(duì)其進(jìn)行求解。

    2.3 連續(xù)最優(yōu)控制問(wèn)題的離散

    考慮動(dòng)力學(xué)方程

    (2)

    其中,x(t)∈Rn和u(t)∈Rm分別為狀態(tài)量和控制量,函數(shù)f:Rn×Rm×R→Rn。傳統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題可以寫(xiě)為如下的標(biāo)準(zhǔn)形式:

    (3)

    滿足邊界等式約束

    φ(x(t0),t0,x(tf),tf)=0

    (4)

    和過(guò)程不等式約束

    C(x(t),u(t),t0,tf)≤0

    (5)

    其中,φ:Rn×R×Rn×R→Rq和C:Rn→Rr。

    2.3.1 時(shí)域變換

    采用GPM需要將航跡規(guī)劃問(wèn)題的時(shí)間區(qū)間[t0,tf]轉(zhuǎn)換到[-1,1]:

    (6)

    2.3.2 全局插值多項(xiàng)式近似狀態(tài)與控制變量

    (7)

    以及τ0=-1作為節(jié)點(diǎn)構(gòu)成K+1階Lagrange插值多項(xiàng)式,并以此為基函數(shù)構(gòu)造狀態(tài)變量的近似表達(dá)式,即:

    (8)

    其中,Lagrange插值基函數(shù)為

    (9)

    且使節(jié)點(diǎn)處的近似狀態(tài)與實(shí)際狀態(tài)相等,即Xi=X(τi)=x(τi)。同樣,對(duì)于控制變量有

    u(τk)=U(τk),(k=1,…,K)

    (10)

    即:

    (11)

    2.3.3 動(dòng)力學(xué)微分方程約束

    對(duì)式(8)求節(jié)點(diǎn)上微分,有

    (12)

    其中,微分矩陣可以離線確定,即:

    (13)

    從而動(dòng)力學(xué)微分方程約束轉(zhuǎn)換為代數(shù)約束:

    (14)

    其中,k= 1,…,K。

    2.3.4 終端狀態(tài)約束

    狀態(tài)變量的近似表達(dá)式未包括終端時(shí)刻節(jié)點(diǎn),終端狀態(tài)應(yīng)滿足動(dòng)力學(xué)方程約束:

    (15)

    將式(11)離散化并用Gauss積分近似,可得:

    X(τf)=X(τ0)+

    (16)

    其中,ωk為Gauss加權(quán)系數(shù)。

    2.3.5 性能指標(biāo)函數(shù)的近似

    將傳統(tǒng)的Bolza型性能指標(biāo)函數(shù)中的積分項(xiàng)用Gauss積分來(lái)近似,得到近似性能指標(biāo)函數(shù)[18]:

    (17)

    其中,Φ(X0,t0,Xf,tf).為邊值條件,ωk同前。

    根據(jù)上述數(shù)學(xué)變換,最優(yōu)控制問(wèn)題可轉(zhuǎn)換為:求離散節(jié)點(diǎn)上的狀態(tài)Xi,i=0,…,K和控制變量Uk,k= 1,…,K,以及初末時(shí)刻t0、tf(若未給定),使得性能指標(biāo)(17)最小,并滿足終端狀態(tài)約束(16),以及原最優(yōu)控制問(wèn)題的邊界條件(4)和過(guò)程約束(5)

    從而將原最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化成非線性規(guī)劃問(wèn)題(NLP),即:

    minF(y),y∈RM
    s.t.gj(y)≥0,j=1,2,…,p
    hj(y)=0,j=1,2,…,l

    (18)

    其中,y為包含狀態(tài)變量、控制變量和端點(diǎn)時(shí)間的設(shè)計(jì)變量,p為不等式約束的個(gè)數(shù),l為等式約束的個(gè)數(shù)。

    2.4 導(dǎo)彈飛行約束條件

    1)初始邊界條件約束

    x(t0)=x0,y(t0)=y0,γ(t0)=γ0

    (19)

    2)終端條件約束

    終端狀態(tài)約束條件為:

    x(tf)=xf,y(tf)=yf,γ(tf)=γf

    (20)

    3)控制約束

    導(dǎo)彈的法向加速度要滿足一定的約束為:

    -Amax≤A≤Amax,Amax>0

    (21)

    4)戰(zhàn)場(chǎng)禁飛區(qū)約束

    戰(zhàn)場(chǎng)禁飛區(qū)通常包括地形、敵方火力等,本文以圓盤(pán)表示為:

    (x(t)-xq)2+(y(t)-yq)2>Rq,q=1,2,…,N

    (22)

    式中,(xq,yq)和Rq分別表示第q個(gè)禁飛區(qū)的中心和半徑,N表示禁飛區(qū)個(gè)數(shù)。

    2.5 目標(biāo)最優(yōu)函數(shù)的建立

    按照多導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)的性質(zhì),導(dǎo)彈的攻擊路徑規(guī)劃問(wèn)題要滿足的要求主要是使能量消耗最小。已發(fā)表的文獻(xiàn)中一般所采用的過(guò)載最小性能指標(biāo)為:

    (23)

    式中,u為式(1)中導(dǎo)彈法向歸一化過(guò)載。為了保證末段軌跡的平直,降低控制需求,本文在(23)中引入一個(gè)時(shí)間加權(quán)函數(shù)f1(t),其值隨時(shí)間增大而增大,以保證導(dǎo)彈末端平直:

    (24)

    其中,

    (25)

    2.6 約束處理

    由于初始邊界條件約束和終端條件約束,分別在軌跡的初始和末端起重要作用,因此也引入一個(gè)性能指標(biāo):

    (26)

    其中,

    (27)

    (28)

    且,f2(t)和f3(t)為時(shí)變加權(quán)函數(shù),f2(t)隨著時(shí)間增大逐漸減小,即當(dāng)軌跡離初始點(diǎn)越遠(yuǎn)其值越小,而f3(t)逐漸增大,即當(dāng)軌跡離目標(biāo)越近其值越大。

    這里取

    (29)

    (30)

    對(duì)于變量值域約束,混沌粒子群算法中有對(duì)其進(jìn)行處理,所以此處可以忽略其性能指標(biāo)函數(shù)的影響。

    當(dāng)有禁飛區(qū)約束時(shí),針對(duì)每個(gè)禁飛區(qū)的約束,引入一個(gè)性能指標(biāo),

    (31)

    與之對(duì)應(yīng)的距離有關(guān)的變加權(quán)函數(shù)fq(x,y),q=1,…,N,當(dāng)前規(guī)劃位置距離禁飛區(qū)越近其值越大,否則越小,這里取

    (32)

    這樣,我們得到一個(gè)最終的指標(biāo)函數(shù)

    J=J1+J2+J3

    (33)

    2.7 協(xié)同攻擊最優(yōu)航跡規(guī)劃問(wèn)題

    本文所從事的研究是針對(duì)地面固定目標(biāo)情形開(kāi)展的。對(duì)于面移動(dòng)目標(biāo),可以采用導(dǎo)彈飛行中多次規(guī)劃的滾動(dòng)時(shí)域方法,也是我們后續(xù)的工作,超出了本文的研究范疇。

    導(dǎo)彈協(xié)同攻擊靜止目標(biāo)的最優(yōu)航跡規(guī)劃問(wèn)題可描述為:在滿足動(dòng)力學(xué)微分方程約束(1)、邊界條件 (19)和(20)、過(guò)程不等式約束(21)和(22)下,尋求最優(yōu)控制量u(t),使性能指標(biāo)(33)最小。

    3 仿真校驗(yàn)

    仿真1:無(wú)禁飛區(qū)仿真

    假設(shè)飛行空域無(wú)禁飛區(qū)。利用CLSPSO對(duì)4枚導(dǎo)彈協(xié)同攻擊原點(diǎn)處?kù)o止目標(biāo)進(jìn)行航跡優(yōu)化。法向加速度最大值A(chǔ)max=45m/s2,各參數(shù)設(shè)置如表1所示。仿真結(jié)果如圖2~圖4所示。

    表1 仿真參數(shù)設(shè)置

    圖2 無(wú)禁飛區(qū)三導(dǎo)彈協(xié)同攻擊航跡圖

    圖3 無(wú)禁飛區(qū)三導(dǎo)彈協(xié)同攻擊航向角曲線

    圖4 無(wú)禁飛區(qū)三導(dǎo)彈協(xié)同攻擊法向加速度曲線

    圖2中可看出,4枚導(dǎo)彈在飛行初期各自按使過(guò)載最小的圓弧形軌跡飛行,以消耗所規(guī)定的飛行時(shí)間,當(dāng)接近目標(biāo)點(diǎn)時(shí),均以設(shè)計(jì)好的入射角度飛向目標(biāo),其末端角度如圖3所示,末端控制量如圖4所示??梢钥闯鰧?dǎo)彈協(xié)同攻擊的位置、角度與時(shí)間都精確滿足要求,而且對(duì)應(yīng)于性能指標(biāo)J1的要求,末段彈道平直,并使導(dǎo)彈后期飛行軌跡平滑,對(duì)應(yīng)于性能指標(biāo)J2的要求,末段過(guò)載需求降低,并能精確地打擊目標(biāo)。另外,仿真條件為:Matlab2016,惠普ProOne 400,精度要求小于等于10-3m,GPM結(jié)點(diǎn)至少50個(gè)時(shí),規(guī)劃出一條最優(yōu)航跡所需時(shí)間為0.809017s,如果采用C語(yǔ)言實(shí)現(xiàn),效率可以提高2個(gè)數(shù)量級(jí)以上[14],優(yōu)化時(shí)間短。

    仿真2:有禁飛區(qū)仿真

    假設(shè)仿真1中的航跡上有四個(gè)禁飛區(qū)(單位:m):

    (1)(x(t)+ 7500)2+(y(t)+ 2000)2≤10002

    (2)(x(t)+ 6000)2+(y(t)-6000)2≤8002

    (3)(x(t)+ 2500)2+(y(t)-2500)2≤8002

    (4)(x(t)+4000)2+(y(t)+6000)2≤4802

    4個(gè)圓盤(pán)如圖5中所示。引入這些約束作為過(guò)程約束,得到的仿真結(jié)果如圖6~圖8所示。

    圖5 禁飛區(qū)位置圖

    圖6 導(dǎo)彈飛行航跡圖

    圖7 航向角曲線

    圖8 法向加速度曲線

    從圖7可以看出,所規(guī)劃的最優(yōu)航跡在經(jīng)過(guò)禁飛區(qū)時(shí)均有一個(gè)明顯的航向角變化過(guò)程,由于約束和性能指標(biāo)J3的存在,可成功地繞過(guò)禁飛區(qū)。而對(duì)于導(dǎo)彈3和導(dǎo)彈4,由于初始飛行方向和過(guò)載最大值的影響,其在繞過(guò)禁飛區(qū)前不能有較大的轉(zhuǎn)彎,因此在尋找最優(yōu)航跡時(shí),最終找到一條離禁飛區(qū)比較近的最優(yōu)飛行航跡;而對(duì)應(yīng)于性能指標(biāo)J1的要求,圖6中4枚導(dǎo)彈的末段飛行彈道依然平直;對(duì)應(yīng)于性能指標(biāo)J2的要求,從圖8可以看出末端過(guò)載需求仍然相對(duì)比較低。另外,雖然有禁飛區(qū)的約束影響,但飛行時(shí)間沒(méi)有變化,而且同條件下的優(yōu)化時(shí)間顯示了這種算法的魯棒性。

    4 結(jié)論

    根據(jù)GPM的基本原理,以導(dǎo)引非線性模型作為動(dòng)力學(xué)方程,充分考慮了導(dǎo)彈的性能約束和戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境約束,研究了基于混沌粒子群算法的多導(dǎo)彈指定入射角和時(shí)間條件下協(xié)同攻擊目標(biāo)的航跡優(yōu)化設(shè)計(jì)。通過(guò)引進(jìn)目標(biāo)加權(quán)函數(shù),保證了末段彈道的平直。仿真結(jié)果表明,本方法所設(shè)計(jì)出的航跡能安全地繞過(guò)禁飛區(qū),末段彈道特性理想,優(yōu)化時(shí)間短,在工程上具有一定的應(yīng)用參考價(jià)值。

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