明確導向 落實素養(yǎng) 夯實基礎 精準備考*
——2021年新高考數(shù)學I卷第16題的評析與備考啟示

廣東省中山市濠頭中學(528437) 閆 偉

2019年教育部考試中心制定《中國高考評價體系》,在高考“為什么考,考什么,怎么考”的問題上給出了明確的理論指引和方法指導. 今年全國高考數(shù)學試題繼續(xù)保持著以“一核四層四翼”的高考評價體系為依托,遵循考試大綱,聚焦學科主干知識,突出考查關鍵能力,凸顯基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性,彰顯學科核心素養(yǎng)的命題導向,對今后的數(shù)學教學和復習備考有很好的借鑒意義. 下面以2021年新高考數(shù)學I 卷第16 題為例,進行評析和提出合理的復習備考建議.

1 試題呈現(xiàn)

題目(2021年新高考數(shù)學I 卷16 題)某校學生在研究民間剪紙藝術時, 發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折,規(guī)格為20dm×12dm 的長方形紙,對折1 次共可以得到10dm×12dm, 20dm×6dm 兩種規(guī)格的圖形, 它們的面積之和S1= 240dm2,對折2 次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm 三種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S2=180dm2,以此類推,則對折4 次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為____;如果對折n次,那么=____dm2.

2 試題評析

2.1 試題命制導向明確,充分體現(xiàn)高考的核心功能

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》明確指出把數(shù)學文化融入數(shù)學學習內容中,充分體現(xiàn)數(shù)學文化價值,體現(xiàn)數(shù)學對于人類文明發(fā)展的貢獻和對推動社會發(fā)展的作用[1]. 縱觀今年的高考題,命題者在考查基本主干知識的基礎上,發(fā)揮數(shù)學學科特點,設計了一些與數(shù)學文化相聯(lián)系的實際情境,通過這些試題力求培養(yǎng)學生熱愛中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,感受中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的民族性與世界性. 2021年新高考I 卷第16 題通過結合我國傳統(tǒng)文化剪紙藝術的實際情境,讓學生體驗探索數(shù)學問題的過程,重點考查學生靈活運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力,意在激勵學生弘揚中華傳統(tǒng)優(yōu)秀文化,增強文化自信,以此培養(yǎng)學生的愛國主義情懷,引導學生形成正確的世界觀、人生觀、價值觀,充分體現(xiàn)了高考評價體系中“核心價值”在數(shù)學學科考查中的育人功能.

2.2 聚焦關鍵能力,落實素養(yǎng)考核

本題在情境設置上貼近生活, 通過較熟悉的剪紙對折,學生可以隨手進行紙張對折這一數(shù)學探究活動,通過折疊圖形得到相應的數(shù)據(jù)變化規(guī)律,體驗探索數(shù)學問題的過程;兩個填空設置也是別出心裁,第一空需要學生明確紙張對折后的規(guī)格,意在考查學生動手實踐的探索能力和綜合分析問題的能力;第二空要根據(jù)對折后產(chǎn)生不同圖形的規(guī)格計算所有圖形面積之和,學生可以通過對折實驗探究出所有規(guī)格的分布規(guī)律,進一步歸納整理可以獲得一個數(shù)列關系,目的是考查學生善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律的觀察能力、推理論證能力以及運用數(shù)列知識進行轉化的能力和運算求解能力.

本題重點考查科學思維素養(yǎng),并且考核要求水平層次較高. 對應科學思維水平為: 能夠根據(jù)對問題情境的分析,建構恰當?shù)臄?shù)學模型;能在新的情境中運用抽象與聯(lián)想、歸納與概括、推演與計算等思維方法對綜合性數(shù)學問題進行分析和推理,解決生活實踐或學習探索情境中的各種問題[2]. 另外試題要求考生主動思考,發(fā)現(xiàn)新問題、找到新規(guī)律、得出新結論,指向考查理性思維素養(yǎng)、數(shù)學探究、數(shù)學應用素養(yǎng)以及數(shù)學文化素養(yǎng),體現(xiàn)了研究性學習理念,凸顯區(qū)分甄選功能.

2.3 鼓勵學生多視角思考

(1)直接舉例分析: 類比前面對折1 次和2 次所得結果,不難得到對折三次的結果有:×12,5×6,10×3,20×共4 種不同規(guī)格(單位dm2);對折4 次可得到如下規(guī)格:×12,共5 種不同規(guī)格(單位dm2).

(2)由于每次對折后圖形的面積都減小為原來的一半,故各次對折后的圖形,不論規(guī)格如何,其面積成公比為的等比數(shù)列, 首項為120(dm2), 第n次對折后的圖形面積為對于第n次對折后圖形的規(guī)格形狀種數(shù),根據(jù)(1)的過程和結論可得為n+1 種,這n+1 種規(guī)格的面積和為Sn=設

令Tn=于是此題本質上是一個“差比型”數(shù)列求和,那么本題的解法很多,學生可以利用多種思路解決,下面例舉7 種思考的視角,僅供參考.

視角1(基于錯位相減的視角)因為

①- ②得:

評注解決差比型數(shù)列求和的常用方法是錯位相減法,此法求和模式化很強,但是計算時往往涉及繁分式化簡、指數(shù)冪運算等,學生極易算錯,需要學生耐心、細心的運算品質.

視角2(基于分組求和的視角)因為

又因為

評注解題的關鍵是將前n項和Tn分成為和前者是一個等比數(shù)列求和, 后者可以轉化為求和.

視角3(基于裂項相消的視角)因為所以

評注裂項相消法解決“差比型”數(shù)列問題,根據(jù)項的特征將拆成然后利用累加法直接得到Tn,這種解法可以大大減少運算,提高解題效率. 但是裂項求和的能力以及代數(shù)變形的技巧要求較高,平常的教學中可以視學生情況進行拓展.

視角4(基于構造的視角)因為Tn=···+所以Tn -Tn-1=(n≥2), 兩邊同時加上可得:Tn+Tn-1+于是數(shù)列為常數(shù)列,所以于是有

評注解題的關鍵是在等式Tn-Tn-1=兩邊同時加上從而構造常數(shù)列一步到位解決此類數(shù)列求和問題,解題過程相對簡潔,至于這一項如何得來的,其本質是通過待定系數(shù)法構造所得.

視角5(基于方程的視角)因為

解關于Tn的方程可得Tn= 2(3-), 所以120Tn=240×

評注本解法將前n項和Tn中的部分項分組整合,利用轉化與劃歸的思想構造Tn與Tn-1的等量關系式, 再將Tn-1=Tn -代入得到關于Tn的方程,最后解方程即可,該法是“差比型”數(shù)列求和的一種常用方法.

視角6(基于等比性質的視角)因為所以

由等比性質可得:

評注等比性質法的本質也是構造關于Tn的方程,通過構造比值為的通式,利用等比性質得到一個關于前n項和的分式,然后整理成關于Tn的等比為的分式方程,方法較巧妙,需要學生對相關知識的積累和靈活運用.

視角7(基于公式的視角)數(shù)列{(an+b)qn}(q /= 0,1)的前n和Tn= (An+B)qn+1+C,其中A=

證明因為Tn= (a+b)q+(2a+b)q2+···+(a(n-1)+b)qn-1+(an+b)qn, 所以qTn= (a+b)q2+(2a+b)q3+···+(a(n-1)+b)qn+(an+b)qn+1,兩式相減得:

評注本題作為客觀題利用公式法能快速準確求解答案,但是公式本身不便記憶,如果作為解答題得先推導出來再使用,也可作為同學們驗證結論的方式.

3 備考啟示

3.1 明確導向,將數(shù)學教學與生活情境緊密聯(lián)系

2017 版《普通高中數(shù)學課程標準》中提到:“試題要注重圍繞生產(chǎn)生活或科技等設計問題情境,加強對學生運用基礎知識解決簡單實際問題能力的考査. 試題的任務情境要與生產(chǎn)生活、科技發(fā)展等緊密聯(lián)系,要關注數(shù)學學科前沿與成果應用;要探索設計與現(xiàn)實相關的問題情境,加強對學生應用數(shù)學知識綜合解決實際問題能力的考查.”本題通過結合我國傳統(tǒng)文化剪紙藝術的實際情境,從數(shù)學史方面滲透數(shù)學文化,凸顯中國傳統(tǒng)文化的精髓,在弘揚中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的同時,引導學生胸懷祖國,放眼世界. 近三年的數(shù)學高考試題中,情境化試題都非常豐富,可以用上表1 總結呈現(xiàn). 從表1中可以看出,近年來高考題取材于現(xiàn)實生活的前沿科技、生活問題不在少數(shù). 在教學中,教師應當注重情境化教學,以自然界及社會生活、生產(chǎn)中客觀存在的與數(shù)學相關的現(xiàn)象或過程為背景,提高學生運用數(shù)學知識解決現(xiàn)實生活問題的能力;這樣既能拓寬學科視野,也能增強學科實踐探索意識,提升科學態(tài)度與核心素養(yǎng).

表1 2019-2021年全國卷數(shù)學高考題的情境化試題概括

3.2 落實素養(yǎng),加強數(shù)學閱讀,促進數(shù)學理解,踐行數(shù)學文化

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出: 高考命題應有一定數(shù)量的應用問題,重點考查學生的思維過程、實踐能力和創(chuàng)新意識.[1]高考數(shù)列試題出現(xiàn)新情境化數(shù)列問題,首先需要學生理解“情境”,這就要求教師在平時的教學中要注重學生“理解能力”的培養(yǎng),要加強數(shù)學閱讀,用以促進學生數(shù)學理解. 另外,以傳統(tǒng)文化為載體,加強數(shù)學傳統(tǒng)思想文化的滲透,將國家的育人要求與高考選拔相結合,是近年高考新動向. 這就需要我們在日常教學中結合相應教學內容滲透數(shù)學文化,注重傳統(tǒng)文化中的數(shù)學元素,開拓學生數(shù)學視野,激發(fā)學生學習興趣與好奇心,培養(yǎng)學生科學精神. 在促進學生數(shù)學理解,踐行數(shù)學文化的過程中,逐步落實學生的數(shù)學核心素養(yǎng),方能在今后的數(shù)學學習中“致遠”.

3.3 夯實基礎,重視等差、等比數(shù)列基本量計算以及常見求通項、求和方法的訓練

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出: 在數(shù)學高考命題中,考查內容應圍繞數(shù)學內容主線,聚焦學生對重要數(shù)學概念、方法的理解和應用,強調基礎性,注重數(shù)學本質、通性通法[1]. 近些年來全國各套高考試卷對數(shù)列的考查多以等差、等比數(shù)列基本量的計算以及常見求通項、求和方法為主,考查內容相對集中,難度適中. 因此,在日常的教學中,應重視等差、等比數(shù)列通項公式、前n項和公式基本量的計算,等差、等比數(shù)列通項性質、前n項和性質的掌握,以及常見求通項方法,如累加、累乘、由Sn求通項等,常見的求和方法,如倒序相加、分組求和、并項求和、裂項相消、錯位相減等方法的訓練,用以夯實基礎知識,掌握基本技能,方能在考試中“行穩(wěn)”.

3.4 精準備考,注重引導學生正確建構模型和合理運用模型

綜合性問題如2021年新高考I 卷第16 題往往涉及到的情境較為復雜,關聯(lián)諸多概念和規(guī)律. 建構數(shù)學模型,可以簡化情境、整合知識、優(yōu)化思維. 在構建模型教學中注意抓好三個點: (1)建構數(shù)學模型要精準. 例如,我們在數(shù)列章節(jié)教學中解決等差、等比數(shù)列的實際問題時,盡管很多問題呈現(xiàn)的情境形式多樣,但這些情境在數(shù)學本質上是相同的,只要緊扣等差、等比數(shù)列定義即可. (2)建構模型要強調數(shù)學本質.將某一類具有相同的數(shù)學特征、規(guī)律和思維方法的情境提煉成數(shù)學模型,那么在引導學生建構數(shù)學模型時就有必要強調模型的數(shù)學本質. 如本題中的折紙問題,在紙張對折的過程中,所得圖形的面積減半,呈現(xiàn)出一個等比數(shù)列,這就是該模型的數(shù)學本質. (3)提升運用模型時的遷移能力. 從學習心理學的角度看,學生在解決實際問題時,要經(jīng)歷知識遷移和能力遷移兩個過程,問題解決的好壞是上述兩個遷移結果的具體表現(xiàn). 不顧情境條件和問題設置生搬硬套是學生應用模型時最常見的問題. 采用一題多變等教學方法通過微調經(jīng)典模型的場景條件等引導學生學會質疑,提升學生對模型的辨識能力和知識遷移能力,以達到觸類旁通舉一反三,從而實現(xiàn)精準備考的目的.