探索利用放縮法證明函數(shù)零點存在問題

華南師范大學附屬中學(510630) 陳嘉華

零點存在性的判斷一直是高考壓軸導數(shù)題的重難點,一般來講都是利用函數(shù)零點存在性定理來判斷零點是否存在.

函數(shù)零點存在性定理如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線(即y=f(x)在[a,b]上是連續(xù)的),并且有f(a)f(b)＜0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內有零點,即存在c ∈(a,b),使得f(c)=0.

由此可知,需要找到一正一負的兩個函數(shù)值以推斷零點存在.

想要找到這樣的兩個函數(shù)值,通常我們可以代入一些特殊值來嘗試,但對于含參數(shù)的函數(shù),這樣的特殊點往往不容易找到. 此時,極限的知識可以幫助我們解決這個困難,但是高考解答題過程中出現(xiàn)極限可能會被扣分,因此我們可以借助極限的知識來分析問題,借助函數(shù)圖象和極限的思想來探究如何利用放縮法嚴謹?shù)亟鉀Q問題.

首先我們來看一個簡單的問題:

例1已知a ∈(e,+∞),求證: 函數(shù)f(x) = ex-ax在(0,+∞)上有兩個不同的零點.

主要思路

(2)設g(x) =求導可知g(x)在(0,1)上單調遞減,(1,+∞)上單調遞增,且g(1)=e;

由于函數(shù)g(x)=的形式不算復雜,可以嘗試代入特殊點,例如取x=則有但我們知道,如果函數(shù)的形式比較復雜的話,特殊值不容易找到.(這里補充說明一下,取的特殊點不能是常數(shù),必須是含有參數(shù)a的,因為如果取的是常數(shù)x=c,則g(c)也為常數(shù),但a的取值范圍是(e,+∞),所以不能保證g(c)＞a.)

接下來我們嘗試用放縮法解決上面的問題,這里需要借助極限的知識來幫助思考.

首先我們要明白為什么在(1,+∞) 一定存在x2滿足g(x2)＞a,從極限的角度來說就是因為g(x) =+∞,就是說無論a的值是多少,都可以找到比a更大的函數(shù)值g(x2).

原理清楚了之后, 就是通過實際操作去嚴謹?shù)刈C明x2∈(1,+∞)的存在. 執(zhí)行放縮的對象是y=ex(指數(shù)函數(shù)),y= lnx(對數(shù)函數(shù))或者是三角函數(shù)這些我們認為不太“友好”的函數(shù),而將y=xn(冪函數(shù))這類函數(shù)保留下來.

對于函數(shù)g(x) =放縮對象就是分子部分的指數(shù)函數(shù), 要找到x2∈(1,+∞), 使得g(x2)＞a, 即要先將y= ex縮小,這時我們最容易想到的就是ex≥x+1,則有g(x) =此時只需要找到x2∈(1,+∞),使得1+＞a即可,但由于x2＞1,故1+＜2,所以滿足1+＞a的x2顯然不存在.

那么上面的放縮是什么原因導致找不到符合條件的x2呢? 是因為放縮后得到的函數(shù)y= 1+在x →+∞處的極限已經改變了,不再是g(x)的函數(shù)值那樣想要多大就能有多大. 所以放縮之前,要先制定一個規(guī)則,就是放縮之后得到的新函數(shù)的變化趨勢與原函數(shù)的變化趨勢必須保持一致.

規(guī)則制定下來之后,我們對重新放縮. 要保證趨勢不變,則可以將ex放縮成二次函數(shù),這里可以借助泰勒公式,得到ex≥1+x+但絕大部分的高中生不了解泰勒公式,所以我們可以換個方式: 依然是從ex≥x+1 入手,為了形式更方便,先變?yōu)閑x ＞x(x ＞0),目標是放縮為二次函數(shù),而此時不等式右邊是一次函數(shù),故兩邊同時平方e2x ＞x2.

設t= 2x,則有et ＞所以有g(x) =此時只需取x2= 4a, 則有g(4a) ==a. 證明了x2的存在, 接下來我們嘗試用放縮法證明x1的存在, 即找到x1∈(0,1),使得g(x1)＞a.

由于g(x) =與x →+∞時一樣函數(shù)值都是趨向于+∞,但對ex的放縮方式卻不一樣,主要是因為在x →+∞處,y=而指數(shù)函數(shù)y= ex的增長速度比冪函數(shù)y=x的增長速度快,所以ex對函數(shù)g(x) =的變化趨勢起著至關重要的影響作用,所以對其放縮時要保證函數(shù)的變化趨勢不變,而在x →0+時,ex →1,故ex對函數(shù)g(x) =的變化趨勢可以說是“毫無影響”,所以此時可以直接將其放縮成一個常數(shù)即可.

當x ∈(0,1)時,ex ＞1,所以g(x) =此時只需取x1=則有

通過上述兩次放縮,我們可以做出小結:

1. 先確定函數(shù)的變化趨勢;

2. 再確定執(zhí)行放縮的部分對函數(shù)變化趨勢的影響,如影響至關重要,則需要在保證趨勢不變的前提下放縮成冪函數(shù)的形式;如無影響,則將其放縮成一個常數(shù)即可.

接下來我們再看另外一個問題:

例2已知求證: 方程f(x)=a在(0,+∞)上恰有兩個不同的根.

對f(x) =求導可知,f(x) 在(0,e) 上單調遞增,(e,+∞)上單調遞減,且g(e)=即g(e)＞a,所以只需在(0,e)和(e,+∞)上分別找到x1∈(0,e)和x2∈(e,+∞),使得f(x1)＜a且f(x2)＜a. 取x1= 1,因為f(1) = 0＜a,所以方程f(x)=a在(0,e)上恰有一個根.

在(e,+∞)上,f(x) =+∞,而對數(shù)函數(shù)y= lnx的增長速度比冪函數(shù)y=x的增長速度慢,所以lnx對函數(shù)f(x) =變化趨勢起著反向的作用,而分母x才是對變化趨勢起關鍵作用的部分. 這種情況與上述g(x) =在x →0+處的情況不一樣,雖然都是分母x對變化趨勢起關鍵作用,但此時要放縮的分子部分lnx是無法放縮成一個常數(shù)的,因為y= lnx在(e,+∞)是沒有上界的. 所以仍然需要將其放縮成一個冪函數(shù)形式,而為了保證不改變f(x) =的變化趨勢,該冪函數(shù)的次數(shù)需要小于1,故可以考慮將其放縮成次數(shù)為的冪函數(shù).

我們從lnx≤x -1 入手, 為了形式更方便, 先變?yōu)閘nx ＜x, 目標是放縮成次數(shù)為的冪函數(shù), 故設x=即有所以有f(x)=,由于所以此時只需取x2=則有

接下來我們再看另一種形式:

例3已知a ∈(-∞,0),f(x) =求證: 方程f(x)=a在(0,+∞)上恰有一個根.

由例2 可知f(x)在(0,e)上單調遞增,(e,+∞)上單調遞減. 當x ∈(1,+∞)時,f(x)＞0＞a,所以方程f(x)=a在x ∈(1,+∞)上無解. 當x ∈(0,1)時,f(x)單調遞增,又因為f(1)=0,所以只需找到x0∈(0,1),使得f(x0)＜a.

我們依然首先關注在x →0+處的極限,f(x) =這時我們發(fā)現(xiàn)lnx和f(x) 在x →0+處的變化趨勢是一樣的, 但其實也就是說將lnx放縮成一個負常數(shù), 函數(shù)的變化趨勢依然可以保持不變. 而當x ∈(0,1),lnx ＜0,并不能放縮為一個負常數(shù),這時只需要把區(qū)間稍微縮小一點即可.

例如取x ∈(0,), 則有l(wèi)nx ＜-1, 即f(x) =此時可知當x ＜＜a, 所以當x ＜且x ∈時, 有f(x) =＜ a, 即當0＜x ＜時, 均有f(x)＜a, 故只需任取都有f(x0)＜a.

通過上述幾個例子,我們可以總結一下幾個要點:

1. 做放縮之前首先要判斷函數(shù)整體的變化趨勢以及函數(shù)中各個部分的變化趨勢;

2. 根據(jù)整體和各部分的變化趨勢可以分為一下四類:

i 執(zhí)行放縮的部分對函數(shù)整體的變化趨勢毫無影響: 通常是執(zhí)行放縮的部分的極限為非零常數(shù),此時只需要將其放縮為一個常數(shù);

ii 執(zhí)行放縮的部分對函數(shù)整體的變化趨勢起反向的作用: 此時該部分無法放縮為常數(shù),需要在保證函數(shù)整體的變化趨勢不變的前提下,可以將其放縮為一個冪函數(shù);

iii 執(zhí)行放縮的部分是函數(shù)中唯一一個對函數(shù)整體變化趨勢起正向作用的部分: 此時需要在保證函數(shù)整體的變化趨勢不變的前提下,可以將其放縮為一個冪函數(shù);

iv 執(zhí)行放縮的部分對函數(shù)整體的變化趨勢起正向的作用,但不是唯一起正向作用的部分: 由于有另一個對函數(shù)整體變化趨勢起正向作用的部分,因此只需要把執(zhí)行放縮的部分放縮為一個常數(shù).

3. 常見初等函數(shù)的放縮方式:

i 指數(shù)函數(shù)

當x ＞0 時,由ex ＞x得enx ＞xn. 設t=nx,則當x ＜0 時, 由e-x ＞-x得設t=nx, 則

ii 對數(shù)函數(shù)

由lnx ＜x得ln(xn)＜xn,lnx ＜

最后我們來實際應用一下:

例4已知a ∈(e-1,+∞),f(x)=ex-ax-xlnx-1.求證: 函數(shù)f(x)有兩個零點.

設g(x) =對g(x)求導可知,g(x)在(0,1)上單調遞減, (1,+∞) 上單調遞增, 且g(1) = e-1＜a,故只需在(0,1) 和(1,+∞) 上分別找到x1∈(0,1) 和x2∈(1,+∞),使得g(x1)＞a且g(x2)＞a.

首先考慮區(qū)間(0,1),當x →0+時,

此時我們發(fā)現(xiàn)放縮后的函數(shù)只有一個對數(shù)函數(shù)在內, 因此只需取x1= e1-a(由a ∈(e-1,+∞) 得,0＜e1-a ＜e2-e＜1), 即有g(x1)＞a. 然后考慮區(qū)間(1,+∞),當x →+∞時,g(x)=→+∞.

ex是唯一一個對函數(shù)整體變化趨勢起正向作用的部分,則lnx是對函數(shù)整體變化趨勢起反向作用的部分. 因此可以先將lnx放縮成x,即由lnx ＜x得

然后在保證整體趨勢不變的前提下對ex做放縮,由上述對放縮方式的總結可得:從而

由于x ∈(1,+∞),所以-1＞-x2,則有

而y=-2x是一個開口向上,對稱軸為x= 27 的二次函數(shù),由二次函數(shù)的性質可知,對任意a ∈(e-1,+∞),均存在x2∈(27,+∞),使得g(x2)＞a,即x2的存在性得證.

函數(shù)問題千變萬化,通過上述的探究發(fā)現(xiàn),只要對函數(shù)變化趨勢深入分析,對不同的情況作出不同的應對,即使千變萬化,本質都是一致的.