對數(shù)均值不等式在一類極值點(diǎn)偏移問題中的應(yīng)用

安徽省合肥市第四中學(xué)(230000) 周賽龍 儲(chǔ)炳南

1 對數(shù)均值不等式及其變式

對于任意的x1,x2＞0 且x1/=x2, 有:我們稱此式為對數(shù)均值不等式,證明見文[1].

變式1

證明當(dāng)x1＞x2＞0 時(shí),由令得: lnx ＞(x ＞1).又由令故變式1 成立.

變式2(證明從略.)

2 運(yùn)用對數(shù)均值不等式證明極值點(diǎn)偏移問題

引例已知函數(shù)f(x) =若方程f(x) =m有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根x1,x2(x1＜x2). (1)求實(shí)數(shù)m的范圍;(2)證明:x1x2＞e2;(3)x1+x2＞2e.

解析(1)0＜m ＜.(過程從略.)

(2)f(x)的圖像如圖1 所示,這是一道典型的極值點(diǎn)向偏移問題,且1＜x1＜e＜x2. 由

圖1

結(jié)合對數(shù)均值不等式得:又由?lnx1+lnx2=m(x1+x2)＞m·=2?x1x2＞e2.

(3)因?yàn)?＜x1＜e＜x2,所以x1+x2＞所以x1+x2＞2e.

評注利用對數(shù)均值不等式不僅可以巧解極值點(diǎn)偏移問題, 而且可以加強(qiáng)不等式. 從上述證明引例的過程中,我們由對數(shù)均值不等式可得到:即x1+x2＞且x1x2＜由于0＜m ＜故x1+x2＞是一個(gè)比x1+x2＞2e 更強(qiáng)的不等式; 又由m(x1+x2)=lnx1x2＜于是我們得到了一組更強(qiáng)的不等式:

3 運(yùn)用對數(shù)均值不等式進(jìn)一步加強(qiáng)不等式

3.1 不等式x1+x2 ＞2e 的第2 次加強(qiáng)

由1＜ x1＜e＜ x2知: 0＜＞1.由=m結(jié)合lnx ＜(0＜ x ＜1) 得:mx1=lnx1=整理得:

由①②得:

評注因?yàn)?＜m ＜所以所以不等式x1+x2＞-e 比x1+x2＞更強(qiáng).

3.2 對不等式x1+x2 ＞2e 第3 次加強(qiáng)

因?yàn)?＜x1＜e, 所以=m ?mx1= lnx1＜1?0＜x1＜因?yàn)閤2＞e, 所以=m ?mx2= lnx2＞1?x2＞所以0＜x1＜＜x2.由lnx ＜(0＜ x ＜1) 得:mx1= lnx1=lnmx1-lnm ＜-lnm,整理得:

同理,由lnx ＞(x ＞1)得:

由③④式得:

3.3 對不等式x1x2 ＞e2 的第1 次加強(qiáng)

因?yàn)閤1+x2＞-e,所以m(x1+x2) = lnx1x2＞所以x1x2＞e3-me.

評注因?yàn)?＜m ＜所以e3-me＞e2,所以,不等式x1x2＞e3-me比x1x2＞e2更強(qiáng).

3.4 對不等式x1x2 ＞e2 第2 次加強(qiáng)

因?yàn)閤1+x2＞所以lnx1x2=m(x1+x2)＞1-lnm,所以x1x2＞

評注由e3-me,所以不等式x1x2＞比x1x2＞e3-me更強(qiáng).

3.5 加強(qiáng)結(jié)果

4 加強(qiáng)結(jié)果的應(yīng)用

4.1 限定的范圍

4.2 限定的范圍

4.3 限定x21+x22 的范圍

由x21+x22= (x1+x2)2-2x1x2＜整理得:x21+x22＜結(jié)合x21+x22＞2x1x2＞得: 綜上,＜x21+x22＜

4.4 限定(x2-x1)的范圍

由(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2(1＜x1＜e＜x2)得: (x2-x1)2＜整理得:x2- x1＜(x2-x1)2＞整理得:x2-x1＞綜上,＜x2-x1＜

4.5 限定 的范圍

評注類似地,等式子得范圍均可進(jìn)行限定,此處不再一一列舉.

5 總結(jié)歸納

利用對數(shù)均值不等式不僅能簡化與對數(shù)有關(guān)的極值點(diǎn)偏移問題,而且能加強(qiáng)極值點(diǎn)偏移問題中一些不等式. 但是,需要強(qiáng)調(diào)的是,在實(shí)際解題過程中,凡涉及使用對數(shù)均值不等式的,都需要給先給出證明. 值得注意的是,并不是所有的極值偏移問題都能用對數(shù)均值不等式解決,而本文所介紹的對數(shù)均值不等式法只是給出處理此類問題一種通法. 由于指數(shù)與對數(shù)是可以互化的,在指數(shù)型函數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題中,對數(shù)均值不等式也有很好的應(yīng)用. 有興趣的讀者可以對下面問題自行證明之,并可嘗試探究更多更強(qiáng)的不等式.

變式已知函數(shù)f(x) =aex -x有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2且x1＜x2.

(1)證明:x1+x2＞2;(2)證明:x1x2＜1;

(3)證明:x1+x2＜-2 lna; (4)證明:x1x2＞ae;

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