ex放在分母上是一種解題思維

河南省武陟縣第一中學(xué)(454950) 張六軍

近期,筆者所在學(xué)校進(jìn)行了一次考前練習(xí),壓軸題是一道非常通俗的導(dǎo)數(shù)題,沒(méi)想到學(xué)生得分情況卻大跌眼鏡,與預(yù)想的相差甚遠(yuǎn),即便尖子生做的也慘不忍睹,下面是這個(gè)題的整個(gè)解析思路和思維方法.

1 就題論題 總結(jié)經(jīng)驗(yàn)

題目1已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax+1.

(1)求f(x)的最小值;

(2)證明: 對(duì)任意的x ∈(0,+∞),ex(lnx+)-(ex+x)+＞0 恒成立.

分 析(1)f′(x) = 1 + lnx - a, 令f′(x) = 0 得x= ea-1, 當(dāng)0＜ x ＜ea-1時(shí),f′(x)＜0,f(x) 單調(diào)遞減; 當(dāng)x ＞ea-1時(shí),f′(x)＞0,f(x) 單調(diào)遞增, 所以f(x)min=f(ea-1)=1-ea-1.

第一問(wèn)求解大部分學(xué)生都能得到有效分,關(guān)鍵是在第二問(wèn)上. 下面是某些學(xué)生第二問(wèn)的解題共同歷程——為圖簡(jiǎn)單,先甩一項(xiàng).

ex(lnx+＞0 整理得ex(lnx+＞0,因x ＞0,即ex(xlnx-x+1)-x2+4ex-2＞0,發(fā)現(xiàn)xlnx-x+1 與(1)中xlnx-ax+1可以類比, 于是在(1) 中, 令a= 1 得f(x)min=f(1) = 0,ex(xlnx-x+1)＞x2-4ex-2,這樣該式左邊最小值為0,只要右邊最大值小于0 即可,為方便計(jì)算沒(méi)有把ex往右邊分母上放,相當(dāng)于直接甩掉了,可不知為后面計(jì)算失敗埋下了伏筆.

設(shè)φ(x)=x2-4ex-2,只需證明φ(x)＜0 即可.φ′(x)=2x-4ex-2, 再設(shè)u(x) =φ′(x) = 2x-4ex-2, 則u′(x) =2-4ex-2,令u′(x)=0,得x=2-ln 2,x ∈(0,2-ln 2)時(shí),u′(x)＞0,u(x)單調(diào)遞增;x ∈(2-ln 2,+∞)時(shí),u′(x)＜0,u(x)單調(diào)遞減.u(x)max=u(2-ln 2) = 2(1-ln 2)＞0,這已經(jīng)是兩次求導(dǎo)了,即便兩次求導(dǎo)后也不能判斷φ′(x)正負(fù)的區(qū)間,這種方法再往下走已經(jīng)沒(méi)有意義了并且也走不下去了.

ex放在分母上,根據(jù)求導(dǎo)法則以及ex求導(dǎo)后還是自身這一特點(diǎn),可以將計(jì)算過(guò)程進(jìn)行必要的化簡(jiǎn),這需要在一定的解題經(jīng)驗(yàn)上才能總結(jié)出來(lái),對(duì)于本題,證明ex(xlnx-x+1)-x2+4ex-2＞0,即證xlnx-x+1＞由(1)知a= 1 時(shí)f(x)min=f(1) = 0,因此xlnx-x+1 ≥0,(x= 1 時(shí)取等號(hào)) 只需要證明≤0 即可, 即證設(shè)g(x) =則g′(x) =,x ∈(0,2)時(shí)g′(x)＞0,g(x)單調(diào)遞增,x ∈(2,+∞)時(shí)g′(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減, 所以在x ∈(0,+∞) 上g(x)max=g(2) =即由于兩次取等號(hào)時(shí)對(duì)應(yīng)的x不一樣, 于是有xlnx-x+1＞把ex放到分母上這個(gè)思維,打開(kāi)了整個(gè)題的思維之門(mén)和解題之路.

對(duì)于第一種解法,也可把ex放到分母上往下接續(xù),證明x2-4ex-2＜0,即證這樣第一種方法又可以起死回生了.

當(dāng)然, 對(duì)于解題高手, 他們可以把許多題進(jìn)行把玩, 比如本題, 函數(shù)y= lnx在點(diǎn)(1,0) 處切線為y=x -1,即x-1 ≥lnx, 變形對(duì)于本題, 證明ex(lnx+＞0, 由于≥1,即證ex-(ex+x)+即證x2-4ex-2＜0,即便到這里也需要把ex放在分母上,才能走出困境.

由上可見(jiàn),把ex放在分母上,不僅是一種數(shù)學(xué)思維,還是解題思維通向解題成功的路徑.

2 鏈接高考 推廣經(jīng)驗(yàn)

題目2(2020年高考全國(guó)卷Ⅰ理科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.

(1)當(dāng)a=1 時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x≥0 時(shí),f(x)≥+1,求a的取值范圍.

解(1)略.

(2)f(x)≥+1,整理得1, 設(shè)g(x) =(x≥ 0), 則g′(x)=

(ⅰ) 2a+ 1 ≤0 時(shí), 即a≤時(shí), 當(dāng)x ∈(0,2) 時(shí),g′(x)＞0,g(x) 在(0,2) 上單調(diào)遞增, 而g(0) = 1, 所以當(dāng)x ∈(0,2)時(shí),g(x)＞1,不符合題意. (ⅱ)0＜2a+1＜2 時(shí),即時(shí),當(dāng)x ∈(0,2a+1)∪(2,+∞)時(shí),g′(x)＜0,當(dāng)x ∈(2a+1,2)時(shí),g′(x)＞0, 所以g(x) 在(0,2a+1),(2,+∞) 上單調(diào)遞減,在(2a+1,2)上單調(diào)遞增,由于g(0) = 1,所以g(x) ≤1當(dāng)且僅當(dāng)g(2) = (7-4a)e-2≤1, 即a≥. 所以當(dāng)時(shí),g(x)≤1.

(ⅲ)2a+1 ≥2 時(shí),即a≥時(shí),則

綜上,a的取值范圍是

3 感悟心得 啟示教學(xué)

以上兩道題其實(shí)解法較多,但這種把ex放在分母上是諸多解法中運(yùn)算量最少的方法之一;解題一方面考察的解題者的思路,另一方面在思路確定的情況下看解題經(jīng)驗(yàn)以及精準(zhǔn)度的把握,這當(dāng)中減少運(yùn)算量并提高精確度需要不斷的刷題作為支撐,而靶向訓(xùn)練是必不可少的一個(gè)組成部分;一輪復(fù)習(xí)很大程度上說(shuō)就是靶向練習(xí),靶向練習(xí)與綜合練習(xí)相結(jié)合才能使學(xué)生的思維解題能力整體提高,從而達(dá)到心智的全面發(fā)展.