數(shù)感發(fā)展水平測(cè)評(píng)工具的設(shè)計(jì)與分析
——以小學(xué)低年級(jí)為例

北京教育學(xué)院石景山分院 閆云梅 龍娟娟

一、問(wèn)題的提出

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中將“數(shù)感”作為核心概念之首，自此，“數(shù)感”成為我國(guó)數(shù)學(xué)教育工作者耳熟能詳?shù)男g(shù)語(yǔ)，有關(guān)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的方法與策略也應(yīng)運(yùn)而生。時(shí)隔20年，我國(guó)學(xué)生數(shù)感發(fā)展水平的現(xiàn)狀又是怎樣呢？筆者在中國(guó)知網(wǎng)上輸入“數(shù)感培養(yǎng)的策略”，共檢索到510條結(jié)果，而輸入“數(shù)感發(fā)展現(xiàn)狀”，則只檢索到21條結(jié)果。從兩項(xiàng)數(shù)據(jù)的對(duì)比可以看出，雖然教育工作者注重了數(shù)感的培養(yǎng)，但有關(guān)數(shù)感的評(píng)價(jià)還沒(méi)有得到應(yīng)有的重視。究其原因，一方面是由于數(shù)感雖然易于理解，但是很難界定；另一方面是我國(guó)對(duì)于數(shù)感水平的評(píng)估缺少明確的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)和相應(yīng)的測(cè)評(píng)工具。因此，筆者試圖依據(jù)表現(xiàn)性評(píng)價(jià)的理論，開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)感發(fā)展水平的測(cè)評(píng)工具，以期更全面、客觀地了解學(xué)生數(shù)感發(fā)展水平的現(xiàn)狀。

二、小學(xué)生數(shù)感發(fā)展測(cè)評(píng)工具設(shè)計(jì)的理論依據(jù)

為了保證測(cè)評(píng)工具設(shè)計(jì)的科學(xué)性與普適性，我們以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中對(duì)“數(shù)感”的表述為依據(jù)：數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。筆者認(rèn)為，這里的“感悟”包含三方面內(nèi)容：數(shù)及數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系、數(shù)量及數(shù)量之間的關(guān)系、問(wèn)題解決（含運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等）。

史寧中教授在《基本概念與運(yùn)算法則》一書(shū)中指出，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是：在認(rèn)識(shí)數(shù)量的同時(shí)認(rèn)識(shí)數(shù)量之間的關(guān)系，在認(rèn)識(shí)數(shù)的同時(shí)認(rèn)識(shí)數(shù)之間的關(guān)系。基于此，“數(shù)及數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系”“數(shù)量及數(shù)量之間的關(guān)系”“問(wèn)題解決”全面涵蓋了數(shù)感所涉及的內(nèi)容，可作為數(shù)感測(cè)評(píng)內(nèi)容維度的一級(jí)指標(biāo)。

在此基礎(chǔ)上，只有將上述三方面的“感悟”轉(zhuǎn)化為具體的行為表現(xiàn)，才能進(jìn)行數(shù)感的水平測(cè)評(píng)。那么，數(shù)感的主要表現(xiàn)是什么呢？

在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中，對(duì)數(shù)感的主要表現(xiàn)給出了這樣的描述：理解數(shù)的意義；能用多種方法表示數(shù)；能在具體的情境中把握數(shù)的相對(duì)大小關(guān)系；能用數(shù)來(lái)表達(dá)和交流信息；能為解決問(wèn)題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴ǎ荒芄烙?jì)運(yùn)算的結(jié)果，并對(duì)結(jié)果的合理性做出解釋。

綜合《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中數(shù)感的主要表現(xiàn)以及不同學(xué)者的觀點(diǎn)，筆者對(duì)數(shù)感測(cè)評(píng)內(nèi)容維度框架進(jìn)行了設(shè)計(jì)。（詳見(jiàn)表1）

表1 數(shù)感測(cè)評(píng)內(nèi)容維度框架設(shè)計(jì)表

三、小學(xué)生數(shù)感測(cè)評(píng)主要觀測(cè)點(diǎn)與雙向細(xì)目表

有了測(cè)評(píng)框架，我們又在每個(gè)二級(jí)指標(biāo)下，進(jìn)行了主要觀測(cè)點(diǎn)的設(shè)計(jì)，用以研制測(cè)評(píng)試題。

1. 多種方法表示（表征）數(shù)

（1）數(shù)的多模型表征——用小棒、計(jì)數(shù)器等不同的模型表示數(shù)；

（2）數(shù)的多模式表征——用不同的算式表示數(shù)，如50=25+25=10+10+10+10+10=60-10=70-20=100-50=10×5=2×25=…

2. 辨認(rèn)或表示數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系

（1）數(shù)與數(shù)之間相差關(guān)系的辨認(rèn)；

（2）對(duì)數(shù)自身特征的認(rèn)識(shí)，如平方數(shù)的辨認(rèn)。

3.估計(jì)數(shù)量的多少

（1）自選標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)整齊排列的物品數(shù)量的估計(jì)；

（2）給出標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)無(wú)序排列的物品數(shù)量的估計(jì)。

4.估測(cè)物體的大小（包括長(zhǎng)度、面積、質(zhì)量等）

（1）根據(jù)給出的標(biāo)準(zhǔn)估測(cè)物體的長(zhǎng)短；

（2）根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)估測(cè)物體的質(zhì)量或長(zhǎng)短。

5.辨認(rèn)或表示數(shù)量之間的關(guān)系

（1）發(fā)現(xiàn)并描述兩個(gè)（三個(gè)）數(shù)量間的相差關(guān)系；

（2）發(fā)現(xiàn)并描述數(shù)量間的倍數(shù)關(guān)系。

6.用數(shù)表達(dá)和交流信息

（1）根據(jù)現(xiàn)實(shí)生活情境提取數(shù)學(xué)信息進(jìn)行交流；

（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提取數(shù)學(xué)信息進(jìn)行交流，并關(guān)注到數(shù)量之間的關(guān)系。

7.為解決問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)乃惴?/p>

（1）在計(jì)算題中根據(jù)數(shù)的特征選擇合適的算法；

（2）在實(shí)際問(wèn)題中根據(jù)數(shù)的特征和問(wèn)題情境選擇合適的方法（估算、計(jì)算或推理）解決問(wèn)題。

8.估計(jì)運(yùn)算的結(jié)果，并對(duì)結(jié)果的合理性做出解釋

（1）估計(jì)算式的結(jié)果；

（2）用估算解決問(wèn)題，并根據(jù)數(shù)的特征和情境做出解釋。

通過(guò)上述觀測(cè)點(diǎn)的確定，可以從不同角度了解學(xué)生數(shù)感發(fā)展的狀況，力求對(duì)學(xué)生做出全面客觀的評(píng)價(jià)。

在認(rèn)知維度方面，本測(cè)評(píng)工具不是單純依賴正確或錯(cuò)誤做出評(píng)判，而是根據(jù)學(xué)生作答情況，采用水平評(píng)價(jià)的方式，依據(jù)試題的難易度、開(kāi)放度及學(xué)生試測(cè)過(guò)程中的表現(xiàn)，將試題分為水平1、水平2和水平3三個(gè)層次，水平3的難度最大。（詳見(jiàn)表2）

表2 低年級(jí)學(xué)生數(shù)感發(fā)展水平測(cè)試題雙向細(xì)目表

在題型設(shè)計(jì)方面，本測(cè)試設(shè)計(jì)選擇題、填空題、簡(jiǎn)答題和解決問(wèn)題共四個(gè)類型26道題目。其中簡(jiǎn)答題和解決問(wèn)題，根據(jù)學(xué)生的表達(dá)情況進(jìn)行水平判定，大多設(shè)計(jì)為水平2或水平3的題目；填空題和選擇題，大多設(shè)計(jì)為水平1或水平2的題目。

四、小學(xué)生數(shù)感發(fā)展水平的評(píng)價(jià)

為了便于統(tǒng)計(jì)各項(xiàng)數(shù)據(jù)，測(cè)試采用先進(jìn)行水平判定再賦值計(jì)分的方式。水平1的題目，根據(jù)學(xué)生作答情況分為水平A和水平B，分別計(jì)0分和1分；水平2的題目分為A，B，C三個(gè)水平，分別計(jì)0、1、2分，同理，水平3的題目根據(jù)學(xué)生作答情況分別計(jì)0、1、2、3分。

為了統(tǒng)一水平判定標(biāo)準(zhǔn)，每道試題都有明確的評(píng)價(jià)量規(guī)。先根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行不同水平的劃分，再根據(jù)預(yù)測(cè)試中學(xué)生的作答情況進(jìn)行調(diào)整，最終以描述加案例的方式形成每道題的評(píng)價(jià)量規(guī)，便于教師評(píng)價(jià)使用。

案例一：選擇題

此題測(cè)試目的是測(cè)試學(xué)生能否根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)估測(cè)物體的長(zhǎng)短，了解現(xiàn)實(shí)情境中數(shù)量的實(shí)際意義，為水平2的題目。

評(píng)價(jià)量規(guī)：

水平A：選A或D，說(shuō)明學(xué)生對(duì)每個(gè)人1庹的長(zhǎng)度缺乏清晰的認(rèn)識(shí)。

水平B：選C，說(shuō)明學(xué)生對(duì)每個(gè)人1庹的長(zhǎng)度有一定認(rèn)識(shí)，但不能依據(jù)經(jīng)驗(yàn)結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行合理的估。

水平C：選B，說(shuō)明學(xué)生對(duì)每個(gè)人1庹的長(zhǎng)度有一定認(rèn)識(shí)，并能依據(jù)經(jīng)驗(yàn)結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行合理的估測(cè)。

案例二：解決問(wèn)題

此題測(cè)試目的是測(cè)試學(xué)生能否依據(jù)問(wèn)題情境和數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行靈活處理，估計(jì)運(yùn)算的結(jié)果并做出合理的解釋。

評(píng)價(jià)量規(guī)：

水平A：不作答或方法完全不正確。

水平B：沒(méi)有估算意識(shí)，對(duì)數(shù)據(jù)沒(méi)有處理，采用計(jì)算的方法做出正確的判斷。（如圖2）

圖2

水平C：有估算的意識(shí)和方法，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理并做出正確判斷，但方法不夠簡(jiǎn)潔。（如圖3）

圖3

水平D：有估算的意識(shí)，能結(jié)合情境對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，用簡(jiǎn)潔的方法做出正確的判斷。（如圖4）

圖4

五、數(shù)感表現(xiàn)性評(píng)價(jià)測(cè)評(píng)工具的項(xiàng)目分析

本研究項(xiàng)目分析的主要內(nèi)容包括難度、鑒別度、獨(dú)立樣本T檢驗(yàn)、信度和效度分析，調(diào)研人員為區(qū)域內(nèi)9所學(xué)校中隨機(jī)選擇的300名三年級(jí)學(xué)生（原二年級(jí)學(xué)生，因特殊原因，測(cè)試時(shí)間推遲到三年級(jí)開(kāi)學(xué)）。

（一）難度和鑒別度指數(shù)

難度指的是本測(cè)量問(wèn)卷的難易程度。一般而言，一份較佳的成績(jī)測(cè)驗(yàn)應(yīng)是大部分的試題的P值介于0.2至0.8之間。

鑒別度表示的是高分組答對(duì)的百分比與低分組答對(duì)百分比的差異值，主要目的是判別試題是否具有區(qū)別受試者能力高低的功能。一般認(rèn)為，鑒別度指標(biāo)值介于-1和1之間，當(dāng)為負(fù)值時(shí)表示該題不具鑒別度，當(dāng)為正值時(shí)且數(shù)值越大表示該題的鑒別度越高，最好在0.3以上。

結(jié)果顯示，本測(cè)試共26題，有21道題的難度在0.2至0.8之間，26道題的鑒別度指標(biāo)值均為正值且其中19道題的鑒別度在0.3以上?？梢钥闯?，本測(cè)試題難易適中，試題的鑒別度較好。

（二）臨界比

項(xiàng)目分析的判別指標(biāo)中，需要求出問(wèn)卷個(gè)別題項(xiàng)的決斷值——CR值（又稱臨界比），最常用的是臨界比值法，此法又稱為極端值法。本研究測(cè)驗(yàn)總分為56分，將測(cè)驗(yàn)總分區(qū)分出高分組（≥41分）和低分組（≤31分），采取SPSS獨(dú)立樣本T檢驗(yàn)，求出高、低兩組在每個(gè)題項(xiàng)的平均數(shù)差異的顯著性。在量表項(xiàng)目分析中，若采用極端值的臨界比，一般將臨界比值的t統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)值設(shè)為3.000，若是題項(xiàng)高、低分組差異的t統(tǒng)計(jì)量小于3.0000，則表示題項(xiàng)的鑒別度較差。

依據(jù)決斷值的指標(biāo)來(lái)判別，24道題的t值均大于3.0000，只有2道題的t值小于3.0000，說(shuō)明此測(cè)試卷的鑒別度較好。

（三）信度

信度系數(shù)在項(xiàng)目分析中，可作為同質(zhì)性檢驗(yàn)的指標(biāo)之一。信度代表量表的一致性或穩(wěn)定性，一般采用克隆巴赫α系數(shù)。一般認(rèn)為，0.50≤α系數(shù)＜0.60，表示可以接受；0.60≤α系數(shù)＜0.70，表示尚佳；0.70≤α系數(shù)＜0.80，表示佳，信度高；0.80≤α系數(shù)＜0.90，表示甚佳，信度很高；α系數(shù)≥0.90，表示非常好。

按照分量表信度指標(biāo)值的判別準(zhǔn)則，此次測(cè)試的“數(shù)及數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系”“數(shù)量及數(shù)量之間的關(guān)系”“問(wèn)題解決”三個(gè)維度的信度分別為0.614、0.604和0.615，屬于尚可，可以接受；總的測(cè)試卷信度為0.815，表示該測(cè)試卷整體信度很高。

（四）效度

所謂效度，指的是能夠測(cè)得該測(cè)驗(yàn)所欲測(cè)心理或行為特質(zhì)到何種程度。本研究效度主要采取建構(gòu)效度，采用KMO統(tǒng)計(jì)量來(lái)判別題項(xiàng)間是否適合進(jìn)行因素分析。一般認(rèn)為，當(dāng)KMO指標(biāo)值大于0.80，表示題項(xiàng)變量間的關(guān)系是良好的，適合進(jìn)行因素分析。

此次測(cè)試的KMO值等于0.822，表示題項(xiàng)變量間的關(guān)系是良好的；Bartlett球形檢驗(yàn)的近似卡方分布為1252.652，自由度為325，顯著性概率值p=0.000＜0.05，達(dá)到顯著性水平。

六、結(jié)論

1.本測(cè)試完成了低年級(jí)學(xué)生數(shù)感發(fā)展水平測(cè)評(píng)工具的設(shè)計(jì)與分析，在對(duì)整個(gè)測(cè)評(píng)工具的項(xiàng)目分析中得出，該工具的難度、鑒別度、獨(dú)立樣本T檢驗(yàn)、信度和效度分析均達(dá)到測(cè)量學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)，是一份科學(xué)的試卷。

2.通過(guò)水平評(píng)價(jià)的方式發(fā)現(xiàn)，不同學(xué)校學(xué)生數(shù)感發(fā)展水平在低年級(jí)已經(jīng)呈現(xiàn)出顯著差異，這說(shuō)明盡管數(shù)感有先天的成分，但學(xué)生數(shù)感的發(fā)展與學(xué)校教育有密切的關(guān)系，低年級(jí)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的關(guān)鍵期。

3.學(xué)生數(shù)感的發(fā)展水平與性別無(wú)關(guān)。

4.學(xué)生所有水平1試題滿分率的平均值為82.8%，水平2和水平3試題滿分率的平均值分別為55.3%和26.6%，說(shuō)明該區(qū)域低年級(jí)學(xué)生數(shù)感發(fā)展尚處于中等水平，還有很大的成長(zhǎng)空間。

5.學(xué)生在“數(shù)及數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系”方面的滿分率明顯高于“數(shù)量及數(shù)量之間的關(guān)系”的滿分率，反映出“數(shù)量及數(shù)量關(guān)系”的學(xué)習(xí)沒(méi)有得到應(yīng)有的重視。在“問(wèn)題解決”方面的滿分率最低，說(shuō)明學(xué)生在實(shí)際情境中應(yīng)用數(shù)感靈活解決問(wèn)題的能力有待提高。