簧片式電磁振動(dòng)臺(tái)波形失真特性分析

胡天恩， 張旭飛,2， 蘭 媛,2

(1.太原理工大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，太原 030024；2.太原理工大學(xué) 新型傳感器與智能控制教育部和山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，太原 030024)

隨著加速度計(jì)等振動(dòng)傳感器在智能化生產(chǎn)、生活各領(lǐng)域應(yīng)用越來(lái)越廣泛，急需發(fā)展振動(dòng)校準(zhǔn)技術(shù)及裝備，準(zhǔn)確獲取振動(dòng)傳感器的靈敏度等關(guān)鍵參數(shù)，為各類振動(dòng)量值精確溯源及檢測(cè)奠定基礎(chǔ)[1]。振動(dòng)傳感器通常基于單頻穩(wěn)態(tài)原理進(jìn)行校準(zhǔn)[2]，該原理規(guī)定由電磁振動(dòng)臺(tái)產(chǎn)生一定頻率及幅值的振動(dòng)信號(hào)，同時(shí)激勵(lì)待校準(zhǔn)傳感器及已經(jīng)過(guò)校準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)系統(tǒng)(激光測(cè)振儀)，比較兩者輸出可得到待校準(zhǔn)傳感器的靈敏度等參數(shù)。為保證更加穩(wěn)定及接近單頻的激勵(lì)信號(hào)施加于待校準(zhǔn)傳感器，進(jìn)而獲取更高校準(zhǔn)精度，國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)推薦振動(dòng)臺(tái)輸出的振動(dòng)加速度波形失真度低于2%[3]。

為準(zhǔn)確校準(zhǔn)低頻振動(dòng)傳感器，低頻振動(dòng)臺(tái)通常需輸出較大行程的振動(dòng)激勵(lì)信號(hào)，以獲得足夠的信噪比。但是，隨著行程的增加，振動(dòng)臺(tái)結(jié)構(gòu)參數(shù)的非線性不可避免會(huì)對(duì)輸出振動(dòng)信號(hào)產(chǎn)生影響，特別是板簧及乳膠管等回復(fù)彈簧剛度的非線性會(huì)造成輸出振動(dòng)信號(hào)產(chǎn)生嚴(yán)重的諧波失真。為此，Payne等[4]討論了低頻振動(dòng)臺(tái)諧波失真對(duì)穩(wěn)態(tài)正弦激勵(lì)低頻振動(dòng)校準(zhǔn)的影響；魏燕定[5]基于振動(dòng)臺(tái)動(dòng)力學(xué)方程，討論了乳膠管彈簧非線性等因素導(dǎo)致的輸出振動(dòng)信號(hào)失真特性；陳曉建等[6]建立了振動(dòng)臺(tái)支撐結(jié)構(gòu)強(qiáng)非線性動(dòng)力學(xué)模型，分析了振動(dòng)臺(tái)的動(dòng)力學(xué)特性；Li等[7]研發(fā)了一種用于低頻光學(xué)加速度計(jì)校準(zhǔn)的低成本、高精度簧片式振動(dòng)發(fā)生器；何聞等[8]設(shè)計(jì)了十字簧片回復(fù)結(jié)構(gòu)，有效改善了低頻振動(dòng)臺(tái)的導(dǎo)向特性，降低了輸出信號(hào)失真度；蘇試公司[9]基于改進(jìn)的彈性支撐裝置，研發(fā)了一系列具有低失真動(dòng)圈骨架結(jié)構(gòu)的電磁振動(dòng)臺(tái)。此外，劉盈[10]分析了多種汽車懸架空氣彈簧非線性剛度特性及相應(yīng)的振動(dòng)規(guī)律，為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考；Nicklich等[11-14]還分析了管線拖曳和橫向振動(dòng)等因素對(duì)乳膠管式振動(dòng)臺(tái)輸出信號(hào)失真的影響。

綜上所述，目前僅有學(xué)者針對(duì)低頻振動(dòng)臺(tái)回復(fù)彈簧結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及輸出波形失真理論計(jì)算等開展了研究。為進(jìn)一步探討簧片式低頻電磁振動(dòng)臺(tái)的失真特性，本文基于有限階冪級(jí)數(shù)非線性剛度假設(shè)，建立振動(dòng)臺(tái)狀態(tài)空間表達(dá)式，通過(guò)理論計(jì)算、仿真分析及試驗(yàn)測(cè)試，深入研究剛度非線性等因素對(duì)輸出波形失真的影響機(jī)理，為設(shè)計(jì)具有優(yōu)化回復(fù)彈簧結(jié)構(gòu)的低失真低頻振動(dòng)臺(tái)及提高振動(dòng)傳感器校準(zhǔn)精度提供理論及試驗(yàn)依據(jù)。

1 低頻電磁振動(dòng)臺(tái)模型

傳統(tǒng)電磁振動(dòng)臺(tái)可簡(jiǎn)化為圖1所示結(jié)構(gòu)，永磁體和內(nèi)、外磁軛構(gòu)成閉環(huán)磁路，驅(qū)動(dòng)線圈嵌入與工作平臺(tái)固連的動(dòng)圈中。通入交流電流的驅(qū)動(dòng)線圈在氣隙磁場(chǎng)中受到安培力作用，推動(dòng)動(dòng)圈在回復(fù)彈簧作用下產(chǎn)生振動(dòng)，進(jìn)而為工作平臺(tái)上安裝的待校準(zhǔn)傳感器提供振動(dòng)激勵(lì)信號(hào)，完成校準(zhǔn)過(guò)程。

圖1 電磁振動(dòng)臺(tái)簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)Fig.1 Simplified structure of an electromagnetic vibrator

在低頻段，工作平臺(tái)、驅(qū)動(dòng)線圈和動(dòng)圈可視為剛性粘連的一體化運(yùn)動(dòng)部件，電磁振動(dòng)臺(tái)可簡(jiǎn)化為如圖2所示的集總參數(shù)機(jī)電耦合模型，對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

圖2 機(jī)電耦合模型Fig.2 Electromechanical coupling model

對(duì)于電磁振動(dòng)臺(tái)，參數(shù)m、l和R一般可視為常數(shù)，B也可通過(guò)優(yōu)化磁路結(jié)構(gòu)近似為常數(shù)，c和L為可忽略小量；但是，振動(dòng)臺(tái)回復(fù)彈簧剛度k在大行程振動(dòng)時(shí)表現(xiàn)出明顯非線性，即使標(biāo)準(zhǔn)單一頻率正弦電流輸入驅(qū)動(dòng)線圈，輸出信號(hào)也將不可避免產(chǎn)生較大諧波失真。

2 波形失真特性計(jì)算

考慮到簧片回復(fù)結(jié)構(gòu)剛度隨振動(dòng)位移的變化而周期連續(xù)變化，可基于冪級(jí)數(shù)展開對(duì)非線性剛度k進(jìn)行簡(jiǎn)化，進(jìn)而計(jì)算大行程振動(dòng)臺(tái)輸出信號(hào)的失真特性。

2.1 有限階冪級(jí)數(shù)假設(shè)

一般情況下，即使針對(duì)低頻振動(dòng)臺(tái)，簧片回復(fù)結(jié)構(gòu)依然在小范圍內(nèi)形變，為簡(jiǎn)化分析過(guò)程，可將變形產(chǎn)生的非線性回復(fù)力Fk簡(jiǎn)化為前6階泰勒級(jí)數(shù)

Fk=k0+k1x+k2x2+k3x3+k4x4+k5x5+k6x6

(2)

式中，k1～k6分別為各階冪級(jí)數(shù)系數(shù)。考慮到回復(fù)力總與位移方向相反，而且平衡位置(x=0)的初始值為0，式(2)僅需保留奇次冪項(xiàng)，可簡(jiǎn)化為

Fk=k1x+k3x3+k5x5

(3)

將包含非線性系數(shù)k3及k5的式(3)替換式(1)中的線性項(xiàng)，可得頻率ω的正弦輸入電流對(duì)應(yīng)的非線性運(yùn)動(dòng)方程為

(4)

2.2 振動(dòng)波形失真特性

假設(shè)式(4)的近似解為x=∑εsxs(s=0，1，2，…)，其中，xs均為周期為2π/ω的函數(shù)，令ε的各次冪系數(shù)等于零，并代入式(4)可得

(5)

考慮到振動(dòng)波形失真計(jì)算僅針對(duì)穩(wěn)態(tài)情況，當(dāng)阻尼系數(shù)n≠0時(shí)，可忽略瞬態(tài)解得到上式第一項(xiàng)的穩(wěn)態(tài)解為

x0=X0sin(ωt-φ0)

(6)

(7)

x=x0+εx1=X0sin(ωt-φ0)+εX1sin(ωt-2φ0)+

εY1sin[3(ωt-φ0)-φ1]+εZ1sin[5(ωt-φ0)-φ2]

(8)

同理，可將求得的xs(s=1，2，…)逐次代入式(5)的第s項(xiàng)，可由第s次穩(wěn)態(tài)近似解逐漸逼近非線性運(yùn)動(dòng)方 程的真實(shí)解。由假設(shè)的參數(shù)關(guān)系可知，隨著非線性系數(shù)k3和k5的增加，式(8)中諧波成分的幅值將逐漸增大，導(dǎo)致更大的信號(hào)波形失真度，而對(duì)于具有確定簧片非線性特性的給定振動(dòng)臺(tái)，不同的輸出信號(hào)基頻及位移幅值等參數(shù)也將對(duì)應(yīng)不同的波形失真特性。

3 仿真分析

基于上述計(jì)算結(jié)果，可首先辨識(shí)得到選定低頻電磁振動(dòng)臺(tái)的非線性剛度系數(shù)，然后建立相應(yīng)的仿真模型，分析不同頻率及振幅輸出振動(dòng)信號(hào)的失真度。

3.1 非線性剛度辨識(shí)

圖3所示為選定振動(dòng)臺(tái)的圓環(huán)狀回復(fù)簧片模型，外環(huán)與振動(dòng)臺(tái)基體固支，內(nèi)環(huán)連接運(yùn)動(dòng)部件，支撐臂連接內(nèi)外環(huán)，起到支撐和柔性導(dǎo)向作用。

圖3 圓環(huán)狀回復(fù)簧片模型Fig.3 Model of the ring-type spring

為準(zhǔn)確辨識(shí)圖3結(jié)構(gòu)的非線性剛度系數(shù)，用直流電源驅(qū)動(dòng)振動(dòng)臺(tái)產(chǎn)生沿簧片平衡位置對(duì)稱的若干靜態(tài)位移，用以代表簧片產(chǎn)生的靜態(tài)變形。由傳感器檢測(cè)得到該位移信號(hào)，并與輸入激勵(lì)電流產(chǎn)生的靜態(tài)電磁力Bli比較，可近似計(jì)算得到簧片的非線性剛度特性。選取振動(dòng)臺(tái)的最大工作振幅±9 mm作為簧片最大變形量，可測(cè)試得到剛度-位移特性點(diǎn)分布如圖4所示?；谑?3)，可假設(shè)簧片的非線性剛度為4次偶階多項(xiàng)式

k(x)=k1+k3x2+k5x4

(9)

由圖4測(cè)試點(diǎn)可回歸擬合得到該多項(xiàng)式為

k(x)=3 854.91+1 122.22×104x2+3 796.29×107x4

(10)

描述的剛度-位移特性曲線如圖4所示，與實(shí)測(cè)值之間可求得決定系數(shù)R2≈0.996 1，與1非常接近，表明擬合多項(xiàng)式可以準(zhǔn)確描述振動(dòng)臺(tái)的非線性剛度特性[15]。

圖4 剛度-位移特性Fig.4 Stiffness-displacement characteristics

3.2 基于Simulink的仿真模型

(11)

然后，基于式(11)，可在Matlab/Simulink模塊中建立如圖5所示的近似非線性振動(dòng)臺(tái)仿真模型，相關(guān)參數(shù)如表1所示，其中，k1、k3、k5取式(10)求得的擬合值，其他參數(shù)由相應(yīng)的試驗(yàn)測(cè)試得到。

圖5 振動(dòng)臺(tái)仿真模型

表1 振動(dòng)臺(tái)參數(shù)

3.3 仿真結(jié)果分析

基于圖5所示的仿真模型，可計(jì)算得到不同頻率及振幅振動(dòng)臺(tái)輸出信號(hào)的波形失真度值，對(duì)比分析選定簧片結(jié)構(gòu)在不同頻率及行程振動(dòng)激勵(lì)作用下的非線性特性及其對(duì)輸出信號(hào)失真的影響。

首先，輸入仿真模型0.1～10 Hz范圍內(nèi)若干選定頻率的正弦電壓信號(hào)u，使仿真模型輸出不同頻率下的等位移幅值(5 mm)振動(dòng)信號(hào)x。在非線性回復(fù)彈簧作用下，輸出的振動(dòng)信號(hào)將產(chǎn)生諧波失真。考慮到振動(dòng)加速度相對(duì)于速度及位移表現(xiàn)出更明顯的失真特性，基于MATLAB中的FFT工具可計(jì)算出所有選定頻率下的振動(dòng)加速度失真度值，相應(yīng)的頻率-失真特性曲線如圖6所示。此外，不同頻率(1 Hz、2 Hz及3 Hz)對(duì)應(yīng)的振動(dòng)加速度波形對(duì)比如圖7所示。由圖6及圖7可見(jiàn)，隨著仿真頻率的降低，振動(dòng)加速度失真度逐漸變大，波形畸變更加嚴(yán)重，振動(dòng)臺(tái)表現(xiàn)出更大的非線性特性。其中，最低頻率0.1 Hz對(duì)應(yīng)的最大失真度達(dá)到16%，遠(yuǎn)大于國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)推薦的2%。

然后，在上述選定的各頻率點(diǎn)，輸入仿真模型不同幅值的正弦電壓信號(hào)u，使仿真模型分別輸出位移幅值為2 mm及8 mm的振動(dòng)信號(hào)，并計(jì)算得到相應(yīng)的振動(dòng)加速度失真度值，頻率-失真特性曲線如圖6所示。此外，頻率為0.5 Hz對(duì)應(yīng)的不同位移幅值振動(dòng)加速度波形對(duì)比如圖8所示。由圖6及圖8可見(jiàn)，隨著仿真位移幅值的增加，所有頻率下的振動(dòng)加速度失真度均逐漸變大，波形畸變更加嚴(yán)重，振動(dòng)臺(tái)表現(xiàn)出更大的非線性特性。其中，0.1 Hz時(shí)最大位移幅值8 mm對(duì)應(yīng)的最大失真度超過(guò)40%，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)推薦的2%。

圖6 頻率-失真特性曲線Fig.6 Frequency-distortion characteristic curves

圖7 不同頻率振動(dòng)加速度波形Fig.7 Vibration acceleration waveforms with different frequencies

總體而言，由仿真分析結(jié)果可知，對(duì)于選定簧片結(jié)構(gòu)，剛度非線性對(duì)振動(dòng)臺(tái)輸出信號(hào)失真的影響規(guī)律為：振動(dòng)行程(簧片形變量)的增加及頻率的降低均使剛度非線性特性及對(duì)應(yīng)的振動(dòng)波形失真度增大。

4 試驗(yàn)測(cè)試

為驗(yàn)證上述理論計(jì)算及仿真分析的正確性，進(jìn)一步建立試驗(yàn)平臺(tái)，針對(duì)不同頻率及幅值的振動(dòng)信號(hào)失真特性開展試驗(yàn)測(cè)試。

圖8 不同位移幅值振動(dòng)加速度波形Fig.8 Vibration acceleration waveforms with differentdisplacement amplitudes

(1) 波形失真測(cè)試平臺(tái)

如圖9所示為建立的低頻振動(dòng)臺(tái)輸出振動(dòng)波形失真測(cè)試平臺(tái)，各裝置型號(hào)及技術(shù)參數(shù)如表2所示。其中，信號(hào)發(fā)生器用于產(chǎn)生選定頻率下具有極低失真度的標(biāo)準(zhǔn)輸入電壓信號(hào)，該信號(hào)經(jīng)過(guò)功率放大器放大后，輸入電磁振動(dòng)臺(tái)線圈中，驅(qū)動(dòng)振動(dòng)臺(tái)產(chǎn)生目標(biāo)振動(dòng)信號(hào)。該振動(dòng)信號(hào)由振動(dòng)臺(tái)運(yùn)動(dòng)部件上安裝的加速度傳感器及其電荷放大器檢測(cè)。數(shù)據(jù)采集卡用于采集電荷放大器輸出的模擬電壓信號(hào)，并將該信號(hào)輸入計(jì)算機(jī)，相應(yīng)的計(jì)算機(jī)軟件可以計(jì)算得到振動(dòng)臺(tái)輸出振動(dòng)加速度信號(hào)的幅值及失真度值。信號(hào)發(fā)生器、功率放大器及數(shù)據(jù)采集卡對(duì)試驗(yàn)測(cè)試的失真度影響通常可忽略不計(jì)。為提高測(cè)試結(jié)果的準(zhǔn)確性，試驗(yàn)過(guò)程選用了失真度小于0.5%的加速度傳感器，也可以基本忽略其對(duì)測(cè)試振動(dòng)加速度信號(hào)失真度的影響。

圖9 波形失真測(cè)試平臺(tái)Fig.9 Test platform for waveform distortion

表2 試驗(yàn)裝置型號(hào)及技術(shù)參數(shù)

(2) 測(cè)試結(jié)果分析

由圖6可知，振動(dòng)臺(tái)加速度波形失真度在頻率大于8 Hz后變化較小，而波形失真測(cè)試平臺(tái)選用的加速度傳感器的最低工作頻率為2 Hz，所以試驗(yàn)過(guò)程選取2 Hz、5 Hz及8 Hz為測(cè)試頻率，驅(qū)動(dòng)振動(dòng)臺(tái)產(chǎn)生具有固定位移幅值5 mm的振動(dòng)信號(hào)，實(shí)測(cè)得到的加速度波形失真度與相應(yīng)的仿真值均列于表3。可見(jiàn)，試驗(yàn)與仿真失真度一致，誤差在8%以內(nèi)，由于振動(dòng)臺(tái)其他非線性因素及測(cè)試誤差的影響，試驗(yàn)失真度均略大于仿真失真度。

表3 試驗(yàn)與仿真失真度值

此外，圖10及圖11所示結(jié)果表明，試驗(yàn)測(cè)試和仿真分析得到的2 Hz及5 Hz振動(dòng)加速度波形具有相同的畸變規(guī)律?？傮w而言，試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果驗(yàn)證了相關(guān)理論計(jì)算及仿真分析的正確性。

圖10 2 Hz試驗(yàn)和仿真振動(dòng)加速度波形Fig.10 Experimental and simulated vibration accelerationwaveforms at 2 Hz

5 結(jié) 論

針對(duì)簧片式低頻電磁振動(dòng)臺(tái)大行程振動(dòng)波形失真問(wèn)題，本文基于有限階冪級(jí)數(shù)非線性剛度假設(shè)，建立了考慮非線性因素的機(jī)電耦合模型及相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，進(jìn)而通過(guò)理論計(jì)算及仿真，分析了具有特定非線性簧片的振動(dòng)臺(tái)波形失真機(jī)理，結(jié)果表明：振動(dòng)臺(tái)輸出的基頻振動(dòng)位移幅值(簧片形變量)的增加及頻率的降低均使剛度非線性特性及相應(yīng)的波形失真逐漸增大。最后，通過(guò)試驗(yàn)測(cè)試不同頻率及幅值輸出信號(hào)失真度值及相應(yīng)的振動(dòng)波形，驗(yàn)證了理論計(jì)算及仿真分析的正確性。本文研究成果可為設(shè)計(jì)簧片式低波形失真電磁振動(dòng)臺(tái)提供理論及試驗(yàn)依據(jù)，并且可以進(jìn)一步應(yīng)用到其他形式的回復(fù)彈簧結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，為改善振動(dòng)傳感器校準(zhǔn)系統(tǒng)的性能奠定基礎(chǔ)。

圖11 5 Hz試驗(yàn)和仿真振動(dòng)加速度波形Fig.11 Experimental and simulated vibration accelerationwaveforms at 5 Hz