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    量子細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)縮階混沌函數(shù)投影同步

    2021-11-17 06:41:24叢國濤王曉袁
    計算機仿真 2021年4期
    關(guān)鍵詞:狀態(tài)變量階數(shù)投影

    王 森,叢國濤,王曉袁,楊 影

    (大連東軟信息學(xué)院智能與電子工程學(xué)院,遼寧 大連 116023)

    1 引言

    量子細胞自動機(Quantum Cellular Automata,QCA)是一種納米級的新型電子器件,具有功耗低、集成度高和無引線集成等優(yōu)點,將是新一代的電子元件之一[1-3]。而量子細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Quantum Cellular Neural Network,QCNN)[4]是基于細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)用QCA構(gòu)造的局部耦合的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。在QCNN中,每個細胞僅與鄰近細胞利用庫侖力進行耦合,可做到無線集成,進而易于大規(guī)模集成。另外,QCNN由于量子相互作用,動力學(xué)行為復(fù)雜,很容易實現(xiàn)不同階數(shù)的混沌系統(tǒng)[5],將是未來保密通信和控制中超小混沌發(fā)生器的重要候選者[6-7]。

    混沌控制和同步在通信和控制等領(lǐng)域具有廣闊的發(fā)展前景。特別地,函數(shù)投影同步作為混沌同步領(lǐng)域一個非常重要的研究方向,已引起了人們的廣泛關(guān)注與興趣[8-13]。目前,在設(shè)計函數(shù)投影同步方案時,比例函數(shù)一般選擇正弦函數(shù)、多項式函數(shù)[8-10]等簡單函數(shù),保密性能還有待進一步加強。前期提出了一種以混沌函數(shù)作為比例函數(shù)的投影同步方案[14],但該方案要求驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)具有相同的階數(shù)。而在實際應(yīng)用中,不同的混沌系統(tǒng),其階數(shù)通常不同,研究不同階數(shù)混沌系統(tǒng)間的函數(shù)投影同步更具有普遍性。因此,本文提出了一種縮階混沌函數(shù)投影同步方案,并以六階QCNN超混沌系統(tǒng)為響應(yīng)系統(tǒng),以Lorenz混沌系統(tǒng)作為比例函數(shù)實現(xiàn)了混沌函數(shù)的縮階自同步和異結(jié)構(gòu)同步。

    2 縮階混沌函數(shù)投影同步方案

    混沌同步的驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)一般可定義為

    (1)

    (2)

    其中u(x,y)是控制器。假設(shè)混沌系統(tǒng)定義如下

    (3)

    其中y∈Rn是n維狀態(tài)變量,x,z,u∈Rm是m維狀態(tài)變量,且有m

    同步誤差定義如下

    (4)

    定義:對于式(1)和(2)所示的驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng),如果存在混沌系統(tǒng)(3)和控制器u(x,y),使得誤差系統(tǒng)(4)趨于零,即

    (5)

    則稱驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)達到縮階混沌函數(shù)投影同步。

    定理1:對于給定的混沌系統(tǒng)(3)和任意的初始條件x(0),y(0),按下式設(shè)計控制器

    (6)

    證明 由(4)式可得

    (7)

    將(2)式代入(7)式,可得

    (8)

    將(6)式代入(8)式,可得

    (9)

    構(gòu)建Lyapunov函數(shù)

    (10)

    (11)

    根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論可得,當(dāng)t→∞時,ei(i=1,2,…m)→0,響應(yīng)系統(tǒng)(2)以混沌系統(tǒng)(3)為比例函數(shù)實現(xiàn)了與驅(qū)動系統(tǒng)(1)的縮階混沌函數(shù)投影同步。

    3 仿真驗證及分析

    下面將以六階QCNN超混沌系統(tǒng)的縮階自同步為例,闡述上述算法的有效性。假設(shè)混沌比例函數(shù)為Lorenz系統(tǒng),可表述為

    (12)

    當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)α1=10,β1=30,γ1=8/3時,系統(tǒng)(12)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象,其混沌吸引子如圖1所示。

    圖1 Lorenz系統(tǒng)混沌吸引子

    假設(shè)驅(qū)動系統(tǒng)為六階QCNN超混沌系統(tǒng)[6],可表述為

    (13)

    其中x1、x2和x3分別表示細胞1,2和3的極化率,x4、x5和x6分別表示細胞1,2和3的量子相位。

    當(dāng)選取參數(shù)b1=b2=b3=0.28,w1=0.5,w2=0.3,w3=0.2時,系統(tǒng)(13)呈現(xiàn)超混沌狀態(tài),其在x1—x2—x3空間的狀態(tài)軌跡如圖2所示。

    圖2 QCNN系統(tǒng)在x1—x2—x3空間的狀態(tài)軌跡

    3.1 QCNN超混沌系統(tǒng)縮階自同步

    所謂自同步,是指響應(yīng)系統(tǒng)是在驅(qū)動系統(tǒng)的基礎(chǔ)上增加一個控制器u(x,y)。選擇對系統(tǒng)(13)的前兩個狀態(tài)變量進行同步,混沌比例函數(shù)為Lorenz系統(tǒng)的前兩個狀態(tài)變量,則響應(yīng)系統(tǒng)可表述為

    (14)

    其中y1、y2、y3、y4、y5、y6是響應(yīng)系統(tǒng)(14)的狀態(tài)變量,u1和u2為非線性控制器。

    要使得響應(yīng)系統(tǒng)(14)的前兩個狀態(tài)變量和驅(qū)動系統(tǒng)(13)的前兩個狀態(tài)變量以Lorenz混沌系統(tǒng)(12)的前兩個狀態(tài)變量為比例函數(shù)實現(xiàn)函數(shù)投影同步,則同步誤差函數(shù)為

    ei=yi-zixi,(i=1,2)

    (15)

    根據(jù)定理1可得控制器如下

    (16)

    其中ki>0,i=1,2。選擇Lyapunov函數(shù)為

    (17)

    將V求導(dǎo),并將式(16)代入,可得

    (18)

    根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論可得,響應(yīng)系統(tǒng)(14)與驅(qū)動系統(tǒng)(13)在控制器(16)的作用下實現(xiàn)了縮階混沌函數(shù)投影自同步。

    采用MATLAB對縮階自同步方案進一步進行仿真驗證,其中驅(qū)動系統(tǒng)(13)初值取為x1(0)=0.11,x2(0)=0.11,x3(0)=0.11,x4(0)=0.1,x5(0)=0.1,x6(0)=0.1,響應(yīng)系統(tǒng)(14)初值取為y1(0)=8,y2(0)=-10,y3(0)=6,y4(0)=0.8,y5(0)=0.4,y6(0)=0.2。另外,ki=1(i=1,2),積分方法為定步長的四階Runge-Kutta法,步長為τ=0.001,仿真結(jié)果如圖3和圖4所示。由圖3(a)和圖3(b)可看出,當(dāng)歸一化時間逐漸增加時,yi→xizi,(i=1,2),響應(yīng)系統(tǒng)(14)的前兩個狀態(tài)變量趨向于驅(qū)動系統(tǒng)(13) 對應(yīng)的狀態(tài)變量與Lorenz混沌系統(tǒng)狀態(tài)變量的乘積。而由圖3(c)可看出,對于未施加控制器的狀態(tài)變量y3,已不能趨向于x3z3。由圖4可見,誤差函數(shù)ei(i=1,2)逐漸趨向于零,進一步說明該同步方案能實現(xiàn)縮階混沌函數(shù)投影自同步。

    圖3 狀態(tài)變量波形圖

    圖4 誤差函數(shù)ei (i=1,2)的波形圖

    3.2 與R?ssler系統(tǒng)異結(jié)構(gòu)縮階投影同步

    假設(shè)驅(qū)動系統(tǒng)為R?ssler混沌系統(tǒng)

    (19)

    其中參數(shù)α2=0.34,β2=0.34,γ2=4.5。

    要實現(xiàn)響應(yīng)系統(tǒng)對驅(qū)動系統(tǒng)(19)以Lorenz系統(tǒng)(12)為混沌比例函數(shù),進行縮進函數(shù)投影同步,則響應(yīng)系統(tǒng)為

    (20)

    其中u1、u2和u3為非線性控制器。而同步誤差函數(shù)為

    ei=yi-zixi,(i=1,2,3)

    (21)

    根據(jù)定理1可得控制器如下

    +α1x1(z2-z1)-k1e1

    +x2(β1z1-z2-z1z3)-k2e2

    +x3(z1z2-γ1z3)-k3e3

    (22)

    其中ki>0,i=1,2,3。選擇Lyapunov函數(shù)為

    (23)

    對V求導(dǎo),并將式(22)代入,可得

    (24)

    由Lyapunov穩(wěn)定性理論可知,控制器(22)能實現(xiàn)異結(jié)構(gòu)縮階混沌函數(shù)投影同步。

    數(shù)值仿真結(jié)果如圖5和圖6所示。其中初值取為x1(0)=0.5,x2(0)=0.1,x3(0)=0.3,y1(0)=-14,y2(0)=-16,y3(0)=9,y4(0)=0.1,y5(0)=0.2,y6(0)=0.3,其它參數(shù)設(shè)置與前述相同。由圖5和圖6可看出,當(dāng)歸一化時間t在4以后,yi→xizi,(i=1,2,3),誤差函數(shù)ei(i=1,2,3)趨向于零,QCNN系統(tǒng)實現(xiàn)了異結(jié)構(gòu)縮階混沌函數(shù)投影同步。

    圖5 與R?ssler系統(tǒng)同步的狀態(tài)變量波形圖

    有必要指出的是,一般的函數(shù)投影同步方案中,響應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)變量的穩(wěn)態(tài)波形只是混沌狀態(tài)變量與正弦函數(shù)等簡單函數(shù)的乘積。而由圖3、5和式(15)、(21)可知,本方案得到的響應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)波形是兩個混沌信號的乘積,其波形具有更強的隨機性和不可預(yù)測性。因此,如果以該響應(yīng)系統(tǒng)的波形作為載波信號進行保密通信,將具有更強的保密性能。

    4 結(jié)論

    本文基于六階QCNN超混沌系統(tǒng),提出了一種新的投影同步方案。利用該方案能實現(xiàn)不同階的響應(yīng)系統(tǒng)以混沌信號為比例函數(shù)投影同步的驅(qū)動系統(tǒng)上去。

    基于Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了該方案的正確性,并進一步通過MATLAB仿真驗證了所提方案的有效性。由于該方案不要求驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)具有相同的階數(shù),在實際應(yīng)用中將更加方便靈活。另外,該方案產(chǎn)生的響應(yīng)系統(tǒng)波形具有更強的隨機性和不可預(yù)測性,如將該方案應(yīng)用于混沌保密通信,將使得通信方案具有更強的保密性。

    有必要強調(diào)的是,QCNN系統(tǒng)具有豐富的混沌動力學(xué)行為,且易于大規(guī)模集成,將是低功率超小信號發(fā)射器的重要候選者。本文的研究結(jié)論將為QCNN應(yīng)用于混沌保密通信提供重要的理論支撐。

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