高考數(shù)學(xué)試卷中的奇異之美賞析

謝廣喜

奇異之美， 因在某處有奇特性質(zhì)而美，美在因稀少而不易發(fā)現(xiàn)，所以彌足珍貴（著名的發(fā)明家愛(ài)迪生試驗(yàn)了上千種材料，才找到用鎢材料制作的燈絲，可見(jiàn)鎢材料在高溫下具有一般材料所沒(méi)有的奇異性質(zhì)），如同懸崖百丈冰上的梅花，一株獨(dú)傲風(fēng)雪（引自毛澤東《卜算子·詠梅》風(fēng)雨送春歸，飛雪迎春到.已是懸崖百丈冰，猶有花枝俏. ……）;她的美又在于能將表面上的不可能變?yōu)榭赡苓M(jìn)而實(shí)現(xiàn)之，這好比兩軍對(duì)壘，其中一方卻要在對(duì)方百萬(wàn)軍中取上將首級(jí)，何等困難！它好比是黎明前沖破黑暗里的一絲微光，盡管希望渺小卻不可忽視;因?yàn)樗赡苁墙^處縫生，峰回路轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)折點(diǎn).

高中數(shù)學(xué)中的奇異之美，一方面，可以表現(xiàn)在某些函數(shù)某些點(diǎn)處的特殊性質(zhì)，比如函數(shù)f（x）=在x=0在處由于不定義而不連續(xù);又如函數(shù)g1（x）=x在x=0處雖然連續(xù)卻不可導(dǎo)（讀者可以畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖像，分別從x=0處的兩側(cè)觀(guān)察，從右側(cè)看斜率為1，而從左側(cè)看，斜率卻為-1），完全類(lèi)似地，函數(shù)g2（x）=lnx在x=1處也是連續(xù)卻不可導(dǎo)的. 值得注意的是，函數(shù)h（x）=xx在x=0處又可導(dǎo)了，真是奇了怪哉！ 當(dāng)然，也存在處處連續(xù)卻處處不可導(dǎo)的例子，這里不多說(shuō)了;又如：若Sn=1++++…+，則當(dāng)n→+∞，Sn的極限是否存在？直觀(guān)的看，所加上去的數(shù)越來(lái)越小，很有可能極限存在，然而，事實(shí)上當(dāng)n→+∞時(shí)，Sn卻是發(fā)散的，這就是有名的調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散性（如何證明當(dāng)n→+∞時(shí)，Sn發(fā)散呢？研究并進(jìn)行簡(jiǎn)單放縮即可），值得注意，好幾次全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的二試試題都用到這個(gè)知識(shí)，然而我們卻又有=，（這一結(jié)果高中無(wú)法嚴(yán)格證明，需要用到高等數(shù)學(xué)知識(shí)方可），事實(shí)上，P級(jí)數(shù)1++++…++…當(dāng)P >1都是收斂的（即和的極限存在）.

另一方面，也可以是一些解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法具有獨(dú)特性質(zhì)，典型的如夾逼法等等，我們覺(jué)得這些方法也具有數(shù)學(xué)奇異之美，本文討論的重點(diǎn)就放在大家熟知的夾逼法（有關(guān)夾逼法的一些具體說(shuō)明，讀者可參閱本刊2020年第9期P31，此處不再贅述）上，值得注意：夾逼法存在的問(wèn)題背景是非常廣泛的（盡管問(wèn)題本身有其特殊性），我們可以在函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、三角甚至立體幾何的背景下看到它的影子.

例1.（2021年江蘇南通高三上學(xué)期末模擬題）已知f（x）=（x-a-b）sin（？仔x+），若f（x）≤0在x∈[-1，1]上恒成立，則a+b=（ ）

A. ???B. ???C. 1?? D. 2

【解析】易知？坌x∈[-1，-）∪（，1]時(shí)有sin（？仔x+）<0，從而由題意有

當(dāng)？坌x∈[-1，-）∪（，1]時(shí)應(yīng)有（x-a-b）≥0，分別使x→--1及x→+2，（其中1，2為足夠小的正數(shù)），也有（x-a-b）≥0，也即（--a-b）≥0且（-a-b）≥0;

另一方面有？坌x∈（-，）時(shí)，sin（？仔x+）>0，從而由題意，？坌x∈（-，）時(shí)，應(yīng)有（x-a-b）≤0，分別使x→-+3及x→-4，（其中3，4為足夠小的正數(shù)），也有（x-a-b）≥0，也即（--a-b）≤0且（-a-b）≤0，綜上必有（--a-b）=0且（-a-b）=0，于是+a=-a，解得a=，進(jìn)而得b=，于是a+b=，選A.

【評(píng)注】這是一道較為新穎的夾逼法試題，以上解法在具體書(shū)寫(xiě)上，似乎有點(diǎn)啰嗦，但筆者以為這樣理解才較為嚴(yán)謹(jǐn).

例2.（2020年江蘇卷第19題第（1）小題）已知關(guān)于x的函數(shù)y=f（x），y=g（x）與h（x）=kx+b，（k，b∈R），在區(qū)間D上恒有f（x）≥h（x）≥g（x），若f（x）=x2+2x，g（x）=-x2+2x，D=（-∞，+∞），求h（x）的表達(dá)式.

【解析】由題意有在區(qū)間D=（-∞，+∞）上恒有x2+2x≥kx+b≥-x2+2x成立，取x=0，得0≥b≥0，即b=0，也即在區(qū)間D=（-∞，+∞）上恒有x2+2x≥kx≥-x2+2x成立，則x2+（2-k）x≥0，？坌x∈R恒成立，所以△=（2-k）2≤0，而由實(shí)數(shù)平方的非負(fù)性，必有（2-k）2≥0，只有k=2，此時(shí)2x≥-x2+2x恒成立，于是h（x）=2x為所求.

【評(píng)注】這道題先后兩次使用夾逼法，具有一定的典型性和代表性，值得注意，有的同學(xué)會(huì)問(wèn)：如何發(fā)現(xiàn)取x=0這個(gè)特殊值呢？一般地，如果在區(qū)間D上恒有？覬1（x）≥h（x）≥？覬2（x）成立，想要探求是否存在x0∈D，使得？覬1（x0）=？覬2（x0），只要解這個(gè)方程即可（注意對(duì)結(jié)果回頭驗(yàn)證是否在給定區(qū)間內(nèi)），這就給我們相對(duì)一般地處理此類(lèi)問(wèn)題指明了方法和方向.

例3.（2018年北京卷理第11題）設(shè)函數(shù)f（x）=cos（？棕x-），（？棕>0），若f（x）≤f（）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則？棕的最小值為????????????????? .

【解析】一方面顯然有f（）≤1，另一方面又有1=f（x）max≤f（），于是1≤f（）≤1，必有f（）=1，也即f（）=cos（？棕-）=1，即？棕-=2k？仔，（k∈Z）

所以？棕-=2k，（k∈Z）即？棕=8k+>0，（k∈Z），所以正數(shù)？棕的最小值為.

例4.（2012年江蘇卷理第20題）已知各項(xiàng)為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{an}和{bn}滿(mǎn)足：an+1=，（n∈N？鄢）.（1）設(shè)bn+1=1+，n∈N？鄢，求證：數(shù)列{（）2}是等差數(shù)列;

（2）設(shè)數(shù)列bn+1=·，n∈N？鄢，且{an}是等比數(shù)列，求a1和b1的值.

【解析】（1）這一問(wèn)比較簡(jiǎn)單，且與第（2）小問(wèn)沒(méi)有聯(lián)系，此處從略.

（2）由題意可令an=a1qn-1，其中a1>0，q>0，下面解題的關(guān)鍵是最終確定q=1，如何才能排除q>1及00，則==1+，所以1<≤2，即11，對(duì)于任意給定的正數(shù)a1，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，隨著n的增大，an=a1qn+1總有可能大于，與1

【評(píng)注】這道題難點(diǎn)在于求的是a1，b1，如果改成證明an=bn=就容易一些（盡管試題難度沒(méi)有實(shí)質(zhì)性改變，但卻為我們的求證工作指明了方向），其中對(duì)于數(shù)列{an}的公比的確定，正是用了夾逼法才最終能到q=1的結(jié)果.類(lèi)似地可運(yùn)用夾逼法求解的問(wèn)題在2012年的高考數(shù)學(xué)試卷中并不少見(jiàn)，比如浙江卷理第17題、遼寧卷理第7題、湖北卷理第7題等等，限于篇幅，此處從略（感興趣的讀者可自己上網(wǎng)搜索這些試題去體會(huì)一下）.

例5. 如圖1，四面體DABC的體積為，且滿(mǎn)足∠ACB=45°，AD+BC+=3，則CD=??????????? .

【解析】設(shè)D點(diǎn)到ABC面的距離為h，則h≤AD，已知VDABC=，也即SABC=，即hBC·AC·sin45°=，也即h·BC·=1，而AD+BC+=3，有1=≥3≥3=1，所以，必須有h=AD，且AD=BC==1，于是CD==.

【評(píng)注】本題需用到三元基本不等式取等號(hào)條件，供參考.

【反饋練習(xí)】

1.（2021年5月浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬題）若實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足ln（2a）-lnb≥a2+-1，則a+b=（ ）

A. ??B. ??C. ??D. 2

2.（2021年重慶預(yù)賽題）關(guān)于x的方程2- acos（1-x）=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則（ ）

A. a=-1? B. a=1? C. a=2? D. a的值不唯一

3.（2020年復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃試題）設(shè)x，y∈[-，]若x3+cos（x+）+2a=0，4y3+sinycos-a=0，則cos（x+2y）=?????????? .

4.（2020年河北正定中學(xué)高一月考試題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c，（a>0），對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，不等式2x≤ax2+bx+c≤（x+1）2恒成立，則a+b+c=???????????? .

5.定義：首項(xiàng)為1，且對(duì)任意自然數(shù)n∈N？鄢，數(shù)列{an}滿(mǎn)足數(shù)列an+1-an>3，則稱(chēng)數(shù)列{an}為“M數(shù)列”，已知公比為正整數(shù)的等比數(shù)列{bn}為“M數(shù)列”，記數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=an，且數(shù)列{bn}不是“M數(shù)列”，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為???????? ????.

6.（2011年安徽卷理第9題）已知函數(shù)f（x）=sin（2x+？漬），其中？漬為實(shí)數(shù)，若f（x）≤f（），對(duì)x∈R恒成立，且f（）>f（？仔），則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）

（A）[k？仔-，k？仔+]（k∈Z）

（B）[k？仔，k？仔+]（k∈Z）

（C）[k？仔+，k？仔+]（k∈Z）

（D）[k？仔-，k？仔]（k∈Z）

7.（2017廣西預(yù)賽）設(shè)函數(shù)f（x）=4x3+bx+1（b∈R），對(duì)任意的x∈[-1，1]，都有f（x）≥0成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

【參考答案】

1. 因?yàn)橛深}意有l(wèi)n（2a）-lnb=ln≥a2+-1≥-1，另一方面，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x>0有l(wèi)nx≤x-1，取x=，（其中a>0，b>0），又有l(wèi)n≤-1，于是只有l(wèi)n=-1，由圖像可知=1，此時(shí)基本不等式也去等號(hào)，也即ab=1，于是a=，b=，所以a+b=，選（C）.

2. 構(gòu)建函數(shù)f（x）=2-acos（1-x），即f（x）=2-acos（x-1），容易發(fā)現(xiàn)該函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，于是若函數(shù)有大于1的一個(gè)零點(diǎn)x=1+（>0），必有小于1的一個(gè)零點(diǎn)x=1-（>0），這樣就與已知題意矛盾，除非只有一個(gè)零點(diǎn)x=1才符合題意，所以，將函數(shù)零點(diǎn)（也即原方程的實(shí)數(shù)根）x=1代回得a=1，只有（B）.

3. 已知條件兩個(gè)等式中上一個(gè)即為x3+sinx+2a=0，下一個(gè)表達(dá)式整理即為（2y）3+sin2y-2a=0，而函數(shù)f（t）=t3+sint，t∈[-，]是奇函數(shù)，也是單調(diào)增函數(shù)，而現(xiàn)在f（x）=x3+sinx=-2a=-f（2y），利用單調(diào)性，只有x=-2y，于是cos（x+2y）=cos0=1.

4. 研究（x+1）2-2x=0的實(shí)根，發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1，2=1，于是對(duì)不等式2x≤ax2+bx+c≤（x+1）2取x=1，立得2≤a+b+c≤2，也即a+b+c=2.

5. 記等比數(shù)列{an}的公比為q，由題意q∈N？鄢，而數(shù)列{an}為“M數(shù)列”，即對(duì)任意自然數(shù)n∈N？鄢，an+1-an>3，取n=1，則a1（q-1）>3，已知a1=1，于是q>4，進(jìn)一步由q∈N？鄢知q≥5;再由bn=an，且數(shù)列{bn}不是“M數(shù)列”知n0∈N？鄢，使得b-b≤3，即a（q-1）≤3，前面已得q≥5，則有a≤，又1≤a≤，可得q≤5，則必有q=5，所以an=5n-1.

6. 由題意？坌x∈R，f（x）≤f（），已知函數(shù)f（x）=sin（2x+？漬），取x=-，立得1≤f（），而有正弦函數(shù)的有界性易知f（）≤1，于是由夾逼法立得f（）=1，即sin（+？漬）=1，得+？漬=k？仔+（k∈Z），也即？漬=k？仔+（k∈Z），又已知f（）>f（？仔），即sin（？仔+？漬）>sin？漬，即sin？漬<0，所以？漬=2k？仔+（k∈Z），

也即f（x）=-sin（2x+），聯(lián)系y=sinX的遞增、遞減區(qū)間，可知在2k？仔+≤2x+≤2k？仔+（k∈Z）上f（x）單調(diào)遞增，即x∈[k？仔+，k？仔+] （k∈Z）單調(diào)遞增，正確答案為（C）.

7. 已知對(duì)任意的x∈[-1，1] ，4x3+bx+1≥0恒成立，取x=-1，得b≤-3;再取x=，得b≥-3，所以只有b=-3，回頭驗(yàn)算，易知b=-3為所求.【注】如何想到上面的解法的呢？我們可以認(rèn)為是從一些最基本的數(shù)量關(guān)系出發(fā)嘗試的結(jié)果，顯然容易想到嘗試x=±1的情形，接著可以試探x=0，（x=±1的中點(diǎn)），接著就可以試x=，（x=0和x=1的中點(diǎn)），當(dāng)然，我們是求所有這些情況下實(shí)數(shù)b的取值范圍的交集，于是上述結(jié)果易得.

所以，要想發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的奇異之美，不僅要有清晰的學(xué)科概念，更要有敏銳的觀(guān)察能力，同時(shí)還要有持續(xù)深入研究的毅力和勇氣，這三者形成有效的合力，結(jié)合具體問(wèn)題的情境，才有可能挖掘到.

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)