氣體變質(zhì)量問題

余建剛

2021年廣東省高中學(xué)業(yè)水平選擇性考試第15題，試題如下：“為了方便抽取密封藥瓶里面的藥液，護(hù)士一般先用注射器注入少量氣體到藥瓶里面然后再抽取藥液，如圖1所示，某藥瓶的容器為0.9 mL，內(nèi)裝有0.5 mL的藥液，瓶?jī)?nèi)氣體的壓強(qiáng)為1.0×105 Pa，護(hù)士把注射器內(nèi)橫截面積約為0.3 cm2，長(zhǎng)度為0.4 cm，壓強(qiáng)為1.0×105 Pa的氣體注入藥瓶，若瓶?jī)?nèi)外溫度相同且保持不變，氣體視為理想氣體，求此時(shí)藥瓶?jī)?nèi)氣體的壓強(qiáng).”

一、試題評(píng)析

本題以日常生活中鮮活常見的實(shí)例，原理考查情境化，回歸生活，考查變質(zhì)量氣體問題中的充氣模型，根據(jù)題目條件可知這是等溫變化過程，找出兩部分混合氣體初始狀態(tài)的壓強(qiáng)、體積以及末狀態(tài)的體積，再結(jié)合氣體問題常見處理方法如等效法、分態(tài)式法或克拉伯龍方程，即可以得到答案.具體有以下兩種解法：

方法一、設(shè)原瓶?jī)?nèi)氣體體積為V1，則V1=（0.9-0.5）mL=0.4 mL，

注射器內(nèi)為V2=LS=0.3×0.4 mL=0.12 mL

對(duì)瓶中氣體及注射器氣體作為研究對(duì)象，即可等溫壓縮過程.

根據(jù)波意耳定律，得

P1（V1+V2）=P2 V1

得P2 =1.3×105 Pa

方法二、設(shè)原瓶?jī)?nèi)氣體體積為V1，則

V1=（0.9-0.5）mL=0.5 mL，

注射器內(nèi)為V2=LS=0.3×0.4 mL=0.12 mL

根據(jù)克拉伯龍方程，對(duì)原瓶?jī)?nèi)氣體有P1V1=n1RT，對(duì)注射器氣體P1V2=n2RT，

對(duì)注入氣體后瓶?jī)?nèi)氣體有P2V1=n3RT

由n1+n2=n3得P1V1+P1V2=P2V1

得P2 =1.3×105 Pa

二、氣體變質(zhì)量問題的常見解題方法與策略

理想氣體實(shí)驗(yàn)定律的研究對(duì)象必須是一定量的封閉氣體，即質(zhì)量不變的氣體. 但充氣、放氣或兩種氣體相互混合這類題出現(xiàn)一個(gè)迷惑點(diǎn)，就是變化前后，容器內(nèi)的氣體質(zhì)量發(fā)生改變. 這類題的難點(diǎn)是正確找出質(zhì)量不變的研究對(duì)象. 對(duì)理想氣體變質(zhì)量問題，可根據(jù)不同情況用克拉珀龍方程、理想氣體狀態(tài)方程和理想氣體實(shí)驗(yàn)定律進(jìn)行解答.

方法一、化變質(zhì)量為恒質(zhì)量——等效法

在充氣、抽氣的問題中可以假設(shè)把充進(jìn)或抽出的氣體包含在氣體變化的始末狀態(tài)中，即用等效法把變質(zhì)量問題轉(zhuǎn)化為恒定質(zhì)量的問題.

方法二、應(yīng)用克拉珀龍方程

克拉珀龍方程是一氣體狀態(tài)方程為PV=nRT，這個(gè)方程有4個(gè)變量：p是指理想氣體的壓強(qiáng)，V為理想氣體的體積，n表示氣體物質(zhì)的量，而T則表示理想氣體的熱力學(xué)溫度;還有一個(gè)常量：R為理想氣體常數(shù)，R=8.31J/mol·K. 注意對(duì)氣體的初、末狀態(tài)可以分別列出克拉珀龍方程.

方法三、應(yīng)用理想氣體分態(tài)式方程

若理想氣體在狀態(tài)變化過程中，質(zhì)量為m的氣體分成兩個(gè)不同狀態(tài)的部分m1、m2，或由若干個(gè)不同狀態(tài)的部分m1、m2的同種氣體的混合，則應(yīng)用克拉珀龍方程=R易推出：+=+

上式表示在總質(zhì)量不變的前提下，同種氣體進(jìn)行分、合變態(tài)過程中各參量之間的關(guān)系，可謂之“分態(tài)式”狀態(tài)方程.

方法四、應(yīng)用密度方程

一定質(zhì)量的氣體，若體積發(fā)生變化，氣體的密度也隨之變化，由于氣體密度？籽=，故將氣體體積V=代入狀態(tài)方程并化簡(jiǎn)得：=，這就是氣體狀態(tài)發(fā)生變化時(shí)的密度關(guān)系方程.

此方程是由質(zhì)量不變的條件推導(dǎo)出來的，但也適用于同一種氣體的變質(zhì)量問題;當(dāng)溫度不變或壓強(qiáng)不變時(shí)，由上式可以得到：=和？籽1T1=？籽2T2，這便是玻意耳定律的密度方程和蓋·呂薩克定律的密度方程.

方法五、道爾頓氣體分壓定律

對(duì)氣體混合問題求混合后的總壓可以采用道爾頓氣體分壓定律，即某一氣體在氣體混合物中產(chǎn)生的分壓等于它單獨(dú)占有整個(gè)容器時(shí)所產(chǎn)生的壓強(qiáng);而氣體混合物的總壓強(qiáng)等于其中各氣體分壓強(qiáng)之和，這就是氣體分壓定律.

三、典題例析

1. 充氣中的變質(zhì)量問題.

設(shè)想將充進(jìn)容器內(nèi)的氣體用一根無形的彈性口袋收集起來，那么當(dāng)我們?nèi)∪萜骱涂诖鼉?nèi)的全部氣體為研究對(duì)象時(shí)，這些氣體狀態(tài)不管怎樣變化，其質(zhì)量總是不變的. 這樣，我們就將變質(zhì)量的問題轉(zhuǎn)化成質(zhì)量一定的問題了.

【例1】一個(gè)籃球的容積是2.5L，用打氣筒給籃球打氣時(shí)，每次把105 Pa的空氣打進(jìn)去125cm3. 如果在打氣前籃球里的空氣壓強(qiáng)也是105 Pa，那么打30次以后籃球內(nèi)的空氣壓強(qiáng)是多少Pa？（設(shè)在打氣過程中氣體溫度不變）

解析： 由于每打一次氣，總是把ΔV體積，相等質(zhì)量、壓強(qiáng)為p0的空氣壓到容積為V0的容器中，所以打n次氣后，共打入壓強(qiáng)為p0的氣體的總體積為nΔV，因?yàn)榇蛉氲膎ΔV體積的氣體與原先容器里空氣的狀態(tài)相同，故以這兩部分氣體的整體為研究對(duì)象. 取打氣前為初狀態(tài)：壓強(qiáng)為p0、體積為V0+nΔV;打氣后容器中氣體的狀態(tài)為末狀態(tài)：壓強(qiáng)為pn、體積為V0.

令V2為籃球的體積，V1為n次所充氣體的體積及籃球的體積之和

則V1=2.5L+30×0.125L

由于整個(gè)過程中氣體質(zhì)量不變、溫度不變，可用玻意耳定律求解.

p1×V1=p2×V2

p2==pa=2.5×105Pa

2. 抽氣中的變質(zhì)量問題.

用打氣筒對(duì)容器抽氣的的過程中，對(duì)每一次抽氣而言，氣體質(zhì)量發(fā)生變化，其解決方法同充氣問題類似：假設(shè)把每次抽出的氣體包含在氣體變化的始末狀態(tài)中，即用等效法把變質(zhì)量問題轉(zhuǎn)化為恒定質(zhì)量的問題.

【例2】用容積為ΔV的活塞式抽氣機(jī)對(duì)容積為V0的容器中的氣體抽氣，如圖2所示.

設(shè)容器中原來氣體壓強(qiáng)為p0，抽氣過程中氣體溫度不變.求抽氣機(jī)的活塞抽動(dòng)n次后，容器中剩余氣體的壓強(qiáng)pn為多大？

解析：如圖2是活塞抽氣機(jī)示意圖，當(dāng)活塞下壓，閥門a關(guān)閉，b打開，抽氣機(jī)氣缸中ΔV體積的氣體排出. 活塞第二次上提（即抽第二次氣），容器中氣體壓強(qiáng)降為P2. 根據(jù)玻意耳定律得

第一次抽氣

p0 v0 = p1（v0 +Δv），p1=p0

第二次抽氣

p1v0 = p2（v0+Δv），p2 =（）2p0

以此類推，第n次抽氣容器中氣體壓強(qiáng)降為pn=（）np0.

【拓展】某容積為20L的氧氣瓶里裝有30atm的氧氣，現(xiàn)把氧氣分裝到容積為5L的小鋼瓶中，使每個(gè)小鋼瓶中氧氣的壓強(qiáng)為4atm，如每個(gè)小鋼瓶中原有氧氣壓強(qiáng)為1atm. 問最多能分裝多少瓶？（設(shè)分裝過程中無漏氣，且溫度不變）

解析：設(shè)最多能分裝N個(gè)小鋼瓶，并選取氧氣瓶中的氧氣和N個(gè)小鋼瓶中的氧氣整體為研究對(duì)象.

按題設(shè)，分裝前后溫度T不變.

分裝前整體的狀態(tài)

p1 = 30atm，V1 = 20L

p2 = 1atm，V2 = 5NL

分裝后整體的狀態(tài)：

p11 = p21 = 4atm，V11? = 20L，V21? = 5NL

由此有分類式：

p1V1+p2V2 =p11V11= p21V21

代入數(shù)據(jù)解得：

N=34.7，取34瓶

說明：分裝后，氧氣瓶中剩余氧氣的壓強(qiáng)p11應(yīng)大于或等于小鋼瓶中氧氣應(yīng)達(dá)到的壓強(qiáng)p21，即p11≥p21，但通常取p11≥p21. 千萬不能認(rèn)為p11=0，因?yàn)橥ǔＧ闆r下不可能將氧氣瓶中的氧氣全部灌入小鋼瓶中.

3. 浮力中的變質(zhì)量問題.

對(duì)于熱氣球問題，經(jīng)常會(huì)涉及到氣球內(nèi)氣體的密度問題，而氣球內(nèi)氣體一加熱便有部分氣體“跑”到球外，對(duì)此變質(zhì)量問題，若用常規(guī)方法則會(huì)比較繁瑣，可以用密度方程，壓強(qiáng)不變時(shí)，溫度與密度成反比，即？籽1T1 = ？籽2T2，便可迎刃而解.

【例3】一熱氣球體積為V，內(nèi)部充有溫度為Ta的熱空氣，氣球外冷空氣的溫度為Tb. 已知空氣在1個(gè)大氣壓、溫度T0時(shí)的密度為ρ0，該氣球內(nèi)、外的氣壓始終都為1個(gè)大氣壓，重力加速度大小為g.

（1）求該熱氣球所受浮力的大小;

（2）求該熱氣球內(nèi)空氣所受的重力;

（3）設(shè)充氣前熱氣球的質(zhì)量為m0，求充氣后它還能托起的最大質(zhì)量.

【解析】（1）設(shè)1個(gè)大氣壓下質(zhì)量為m的空氣在溫度T0時(shí)的體積為V0，密度為ρ0 =……①

溫度為T時(shí)的體積為VT，密度為：ρ（T）=……②

由蓋-呂薩克定律可得：=……③

聯(lián)立①②③解得：ρ（T）= ρ0 ……④

氣球所受的浮力為：f = ρ（Tb）gV……⑤

聯(lián)立④⑤解得：f = ……⑥

（2）氣球內(nèi)熱空氣所受的重力：G= ρ（Ta）Vg ……⑦

聯(lián)立④⑦解得：G= Vg ρ0 ……⑧

（3）設(shè)該氣球還能托起的最大質(zhì)量為m，由力的平衡條件可知：mg = f - G - m0g……⑨

聯(lián)立⑥⑧⑨可得：m=--m0

答案：（i）?? （ii）?? （iii）--m0

4. 氣體混合問題.

兩個(gè)或兩個(gè)以上容器的氣體混合在一起的過程也是變質(zhì)量氣態(tài)變化問題. 處理此類問題，通常有兩種解法，一種是巧選研究對(duì)象法;另一種是道爾頓分壓定律. 下面分別介紹一下兩種方法的具體應(yīng)用.

（1）巧選研究對(duì)象法.

兩個(gè)相連的容器中的氣體都發(fā)生了變化，對(duì)于每一個(gè)容器而言則屬于變質(zhì)量問題，但是如果能巧妙的選取研究對(duì)象，就可以把這類變質(zhì)量問題轉(zhuǎn)化為定質(zhì)量問題處理.

【例4】如圖3所示，A、B兩容器容積相同，用細(xì)長(zhǎng)直導(dǎo)管相連，二者均封入壓強(qiáng)為p，溫度為T 的一定質(zhì)量的理想氣體，現(xiàn)使A內(nèi)氣體溫度升溫至T′，穩(wěn)定后A容器的壓強(qiáng)為多少？

解析：因?yàn)樯郎厍昂?，A、B容器內(nèi)的氣體都發(fā)生了變化，是變質(zhì)量問題，我們可以把變質(zhì)量問題轉(zhuǎn)化為定質(zhì)量問題. 我們把升溫前整個(gè)氣體分為（V-ΔV）和（V+ΔV）兩部分（如圖4所示），以便升溫后，讓氣體（V-ΔV）充滿A容器，氣體（V+ΔV）壓縮進(jìn)B容器，于是由氣態(tài)方程或氣體實(shí)驗(yàn)定律有：

= ……①

ρ（V+ΔV）=P ′V……②

聯(lián)立上面連個(gè)方程解得：P ′=p.

【例5】某教室內(nèi)的空間為50m3，溫度為17℃，大氣壓強(qiáng)為76cmHg，室內(nèi)空氣質(zhì)量為60kg。由于使用暖氣，一段時(shí)間后，溫度恒為27℃，大氣壓為76cmHg，則教室內(nèi)空氣的質(zhì)量變?yōu)槎嗌伲?/p>

分析：本題主要考查密度、氣體實(shí)驗(yàn)定律，意在考查考生的理解能力和推理能力，采用假設(shè)和等效的方法假設(shè)升溫后"跑掉"的空氣全部用容積為ΔV的大容器裝起來，使其內(nèi)部空氣的壓強(qiáng)恰好也是p0=76cmHg，溫度為T2=（27 + 273）K=300K，則可等效為：體積V=50m3、溫度T1=（17 + 273）K=290K的空氣經(jīng)過等壓升溫后變成體積為V+ΔV、溫度為T2的空氣，根據(jù)蓋-呂薩克定律建立方程求解。

解析：假設(shè)升溫后“跑掉”的空氣全部用容積為ΔV的大容器裝起來，使其內(nèi)部空氣的壓強(qiáng)恰好也是p0=76cmHg，溫度為T2=（27+273）K=300K，

則可等效為：體積V=50m3、溫度T1=（17+273）K=290K的空氣經(jīng)過等壓升溫后變成體積為V+ΔV、溫度為T2的空氣。

根據(jù)蓋-呂薩克定律有=;

原來教室內(nèi)空氣的質(zhì)量m0=60kg，升溫后教室內(nèi)空氣的質(zhì)量變?yōu)閙=·V.

得m=m0=58kg.

（2）巧用道爾頓分壓定律.

兩個(gè)相連的容器中的氣體混合在一起，可以先單獨(dú)一種氣體“膨脹”到整個(gè)容器時(shí)所產(chǎn)生的壓強(qiáng);再求出另一種氣體“膨脹”到整個(gè)容器時(shí)所產(chǎn)生的壓強(qiáng)，根據(jù)道爾頓分壓定律，氣體混合物的總壓強(qiáng)等于其中各氣體分壓強(qiáng)之和.

【例6】（2020·新課標(biāo)Ⅰ）甲、乙兩個(gè)儲(chǔ)氣罐儲(chǔ)存有同種氣體（可視為理想氣體）. 甲罐的容積為V，罐中氣體的壓強(qiáng)為p;乙罐的容積為2V，罐中氣體的壓強(qiáng)為p. 現(xiàn)通過連接兩罐的細(xì)管把甲罐中的部分氣體調(diào)配到乙罐中去，兩罐中氣體溫度相同且在調(diào)配過程中保持不變，調(diào)配后兩罐中氣體的壓強(qiáng)相等. 求調(diào)配后：

（1）兩罐中氣體的壓強(qiáng);

（2）甲罐中氣體的質(zhì)量與甲罐中原有氣體的質(zhì)量之比.

解析：（1）氣體發(fā)生等溫變化，對(duì)甲乙中的氣體，可認(rèn)為甲中原氣體有體積V變成3V，乙中原氣體體積有2V變成3V，則根據(jù)玻意爾定律分別有pV=p1·3V，p·2V=p2·3V

則pV+p·2V=（p1+p2）×3V

根據(jù)道爾頓分壓定律，甲乙中氣體最終壓強(qiáng)P ′=p1+p2=p.

（2）若調(diào)配后將甲氣體再等溫壓縮到氣體原來的壓強(qiáng)為p，則p′V=pV′，計(jì)算可得V′=V.

由密度定律可得，質(zhì)量之比等于==.

責(zé)任編輯 李平安