基于狀態(tài)觀測器的混沌系統(tǒng)滑?？刂?/h1>
2021-11-15 14:35:20孫春香李冠軍
四川師范大學學報（自然科學版） 2021年6期
孫春香， 杜 珺， 李冠軍
（淮南師范學院 金融與數(shù)學學院，安徽 淮南232038）
混沌控制自從1990年由Ott等［1］提出，就受到了廣泛的關(guān)注，因為它在許多領(lǐng)域都具有重要的應(yīng)用前景.學者們給出了很多有效的控制方法，如自適應(yīng)控制［2-3］、反饋控制［4-5］、模糊控制［6-7］、滑?？刂疲?-9］、反推控制［10-11］等，并將其應(yīng)用到實際工程技術(shù)中，如擺振控制［12］、機器人控制［13］.
滑模控制是基于變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)理論的一種控制方法，由于對非線性系統(tǒng)具有很好的魯棒性，并且具有響應(yīng)速度快、暫態(tài)性能好以及對植物參數(shù)變化、外部干擾不敏感等優(yōu)點，從而在工程中得到廣泛的應(yīng)用，吸引了研究者們的注意［14-18］.文獻［19］針對具有不可用狀態(tài)的非線性多變量系統(tǒng)，采用模糊自適應(yīng)技術(shù)和滑模控制相結(jié)合的方法，設(shè)計了一個穩(wěn)定的自適應(yīng)模糊滑?？刂破?在許多混沌系統(tǒng)中，不可避免地會受到未知參數(shù)變化和外界干擾的影響，滑模變結(jié)構(gòu)控制在同步控制器設(shè)計中得到了廣泛應(yīng)用.文獻［20］中研究了具有參數(shù)不確定的2個混沌系統(tǒng)的滑模動態(tài)同步控制方法；文獻［21］研究了不同時變條件下，具有未知參數(shù)的Rossler和Chen混沌系統(tǒng)的魯棒自適應(yīng)同步問題，而文獻［22］則研究了基于滑模觀測器的非線性系統(tǒng)故障診斷問題.
在已有文獻研究的滑?？刂浦校蠖鄶?shù)要求系統(tǒng)的狀態(tài)變量是已知的，然而這在實際工程領(lǐng)域是很難實現(xiàn)的.通常情況下，狀態(tài)變量是未知的或部分未知的.因此，上述通過狀態(tài)反饋的控制策略就很難實現(xiàn)，所以需要利用觀測器對狀態(tài)變量進行估計，基于觀測器的智能自適應(yīng)滑?？刂品椒ㄊ且粋€非常必要的控制策略.
基于上述討論，本文主要研究Genesio系統(tǒng)的自適應(yīng)滑?？刂疲跔顟B(tài)變量未知的情況下，構(gòu)造觀測器，對未知變量估計，利用估計值建立滑?？刂撇呗?，使得控制系統(tǒng)是指數(shù)漸進穩(wěn)定的，并且觀測器和追蹤誤差是指數(shù)趨于0.
1 系統(tǒng)描述
Genesio系統(tǒng)由Genesio和Tesi［23］提出的一類比較典型的非線性混沌系統(tǒng)，可以表示為
其中，x1、x2、x3是系統(tǒng)狀態(tài)變量，α1、α2、α3、α4是系統(tǒng)參數(shù).當選擇α1＝1.2、α2＝2.92、α3＝6、α4＝1，初值為x1＝1、x2＝1、x3＝－1時，Genesio系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌狀態(tài)，如圖1所示.對于Genesio混沌系統(tǒng)，文獻［24］利用迭代變換法討論了Genesio系統(tǒng)的同步問題，給出了同步流形的穩(wěn)定性的充分條件；文獻［25］提出了自適應(yīng)同步控制方案，基于Lyapunov方法，使2個Genesio-Tesi系統(tǒng)的狀態(tài)漸近同步，給出了基于線性矩陣不等式的控制律存在性判據(jù).
圖1 Genesio系統(tǒng)（1）混沌吸引子Fig.1 The chaotic attractor of Genesio system（1）
2 滑模控制器設(shè)計及穩(wěn)定性分析
2.1 傳統(tǒng)滑?？刂破髟O(shè)計 設(shè)計滑模控制器，使混沌Genesio系統(tǒng)（1）的軌跡到達理想信號xd.下面給出一些有用的引理.
定理1對于系統(tǒng)（2），設(shè)計滑模面（3）和滑?？刂破鳎?），則存在正常數(shù)k和γ，使得當t→∞時追蹤誤差ei指數(shù)收斂于0，i＝1，2，3.
證明由（2）和（3）式可得
從（6）式可知，當t→∞，追蹤誤差是指數(shù)收斂0，并且收斂速度由常數(shù)η確定.
注1滑模函數(shù)（3）和控制器（4）的設(shè)計都依賴于狀態(tài)變量x1、x2、x3.因此，只有當這些狀態(tài)變量是已知的情況下，該控制策略才能實現(xiàn).
為了說明設(shè)計的滑?？刂品椒ㄓ行?，對（2）式，假設(shè)理想信號
滑模函數(shù)和控制器分別是（3）和（4）式給出的形式，選擇β1＝8、β2＝16、γ＝4、k＝4，從圖2～圖5中可以看出所設(shè)計的滑?？刂破髟诨煦缦到y(tǒng)控制中，具有非常好的效果.圖2給出了追蹤信號xi和理性信號xd的狀態(tài)軌跡，可以看出它們在較短的時間內(nèi)就可以達到同步；而圖5中反映了追蹤誤差趨于0.
圖2 理想信號和追蹤信號的狀態(tài)軌跡Fig.2 The state trajectories of ideal signal and tracking signal
圖5 追蹤誤差Fig.5 Tracking error
2.2 基于狀態(tài)觀測器的滑?？刂?/p>
2.2.1 狀態(tài)觀測器的設(shè)計 在控制器（4）中，需要知道系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量，這在實際問題中是很難實現(xiàn)的，因為系統(tǒng)的狀態(tài)變量大多數(shù)是未知的.為了解決這類問題，用設(shè)計狀態(tài)觀測器來估計系統(tǒng)中的狀態(tài)變量x1、x2、x3，即根據(jù)狀態(tài)變量的觀測值來設(shè)計滑?？刂破?，達到控制效果.為了運算方便，在系統(tǒng)（1）中令
圖3 滑模函數(shù)Fig.3 Sliding function
圖4 控制輸入Fig.4 Control input
則估計誤差為
2.2.2 基于觀測器的滑?？刂圃O(shè)計
定理2對于系統(tǒng)（2），設(shè)計觀測器（7）和狀態(tài)變量估計值（8），則存在正常數(shù)k、ρ1和η，使得當t→∞時，觀測器（7）是穩(wěn)定的，觀測誤差~ei和追蹤誤差ei指數(shù)收斂于0，i＝1，2，3.
證明下面分3部分來討論.
1）設(shè)計觀測器的穩(wěn)定性.構(gòu)造Lyapunov函數(shù)
則
因此，設(shè)計的觀測器（7）是指數(shù)收斂的.
2）觀測誤差是收斂的.假設(shè)控制目標為xd，定義追蹤誤差為
從而當t→∞時，V（t）指數(shù)收斂于0，從而追蹤誤差收斂于0，并且收斂速度由常數(shù)ρ1確定.
注2從（16）式中可以看到，滑模控制器的設(shè)計僅依賴于狀態(tài)變量的估計值，而且能夠使得追蹤控制達到較好的效果，控制系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的，追蹤誤差趨于0.圖6～圖10給出了所設(shè)計的控制策略數(shù)值模擬圖.通過比較可以看出，利用估計值所構(gòu)造的控制器能夠達到實際值一樣的效果.
圖6 狀態(tài)變量估計Fig.6 The state variables estimation
圖10 狀態(tài)估計誤差Fig.10 The state estimation error
圖7 控制輸入Fig.7 The control input
圖8 追蹤軌跡Fig.8 The trajectories of tracking
圖9 滑模函數(shù)估計Fig.9 The estimation of sliding function
3 結(jié)論
為了獲得混沌系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制，提出了一種基于狀態(tài)觀測器的自適應(yīng)滑?？刂品椒?與傳統(tǒng)的滑?？刂圃O(shè)計不同，在研究的方法中，設(shè)計了觀測器對狀態(tài)變量進行估計，滑模面和控制器的構(gòu)造僅依賴于估計值.實踐證明，仍能達到傳統(tǒng)滑?？刂破鞯男Ч軌虮ＷC狀態(tài)變量跟蹤所需的信號，追蹤誤差指數(shù)趨于0.
致謝淮南師范學院自然科學基金重點項目（2019XJZD09）和淮南師范學院微分代數(shù)系統(tǒng)的分析控制及應(yīng)用創(chuàng)新團隊項目（XJTD202008）給予了本文資助，謹致謝意.
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滑模控制是基于變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)理論的一種控制方法，由于對非線性系統(tǒng)具有很好的魯棒性，并且具有響應(yīng)速度快、暫態(tài)性能好以及對植物參數(shù)變化、外部干擾不敏感等優(yōu)點，從而在工程中得到廣泛的應(yīng)用，吸引了研究者們的注意［14-18］.文獻［19］針對具有不可用狀態(tài)的非線性多變量系統(tǒng)，采用模糊自適應(yīng)技術(shù)和滑模控制相結(jié)合的方法，設(shè)計了一個穩(wěn)定的自適應(yīng)模糊滑?？刂破?在許多混沌系統(tǒng)中，不可避免地會受到未知參數(shù)變化和外界干擾的影響，滑模變結(jié)構(gòu)控制在同步控制器設(shè)計中得到了廣泛應(yīng)用.文獻［20］中研究了具有參數(shù)不確定的2個混沌系統(tǒng)的滑模動態(tài)同步控制方法；文獻［21］研究了不同時變條件下，具有未知參數(shù)的Rossler和Chen混沌系統(tǒng)的魯棒自適應(yīng)同步問題，而文獻［22］則研究了基于滑模觀測器的非線性系統(tǒng)故障診斷問題.
在已有文獻研究的滑?？刂浦校蠖鄶?shù)要求系統(tǒng)的狀態(tài)變量是已知的，然而這在實際工程領(lǐng)域是很難實現(xiàn)的.通常情況下，狀態(tài)變量是未知的或部分未知的.因此，上述通過狀態(tài)反饋的控制策略就很難實現(xiàn)，所以需要利用觀測器對狀態(tài)變量進行估計，基于觀測器的智能自適應(yīng)滑?？刂品椒ㄊ且粋€非常必要的控制策略.
基于上述討論，本文主要研究Genesio系統(tǒng)的自適應(yīng)滑?？刂疲跔顟B(tài)變量未知的情況下，構(gòu)造觀測器，對未知變量估計，利用估計值建立滑?？刂撇呗?，使得控制系統(tǒng)是指數(shù)漸進穩(wěn)定的，并且觀測器和追蹤誤差是指數(shù)趨于0.
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圖1 Genesio系統(tǒng)（1）混沌吸引子Fig.1 The chaotic attractor of Genesio system（1）
2 滑模控制器設(shè)計及穩(wěn)定性分析
2.1 傳統(tǒng)滑?？刂破髟O(shè)計 設(shè)計滑模控制器，使混沌Genesio系統(tǒng)（1）的軌跡到達理想信號xd.下面給出一些有用的引理.
定理1對于系統(tǒng)（2），設(shè)計滑模面（3）和滑?？刂破鳎?），則存在正常數(shù)k和γ，使得當t→∞時追蹤誤差ei指數(shù)收斂于0，i＝1，2，3.
證明由（2）和（3）式可得
從（6）式可知，當t→∞，追蹤誤差是指數(shù)收斂0，并且收斂速度由常數(shù)η確定.
注1滑模函數(shù)（3）和控制器（4）的設(shè)計都依賴于狀態(tài)變量x1、x2、x3.因此，只有當這些狀態(tài)變量是已知的情況下，該控制策略才能實現(xiàn).
為了說明設(shè)計的滑?？刂品椒ㄓ行?，對（2）式，假設(shè)理想信號
滑模函數(shù)和控制器分別是（3）和（4）式給出的形式，選擇β1＝8、β2＝16、γ＝4、k＝4，從圖2～圖5中可以看出所設(shè)計的滑?？刂破髟诨煦缦到y(tǒng)控制中，具有非常好的效果.圖2給出了追蹤信號xi和理性信號xd的狀態(tài)軌跡，可以看出它們在較短的時間內(nèi)就可以達到同步；而圖5中反映了追蹤誤差趨于0.
圖2 理想信號和追蹤信號的狀態(tài)軌跡Fig.2 The state trajectories of ideal signal and tracking signal
圖5 追蹤誤差Fig.5 Tracking error
2.2 基于狀態(tài)觀測器的滑?？刂?/p>
2.2.1 狀態(tài)觀測器的設(shè)計 在控制器（4）中，需要知道系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量，這在實際問題中是很難實現(xiàn)的，因為系統(tǒng)的狀態(tài)變量大多數(shù)是未知的.為了解決這類問題，用設(shè)計狀態(tài)觀測器來估計系統(tǒng)中的狀態(tài)變量x1、x2、x3，即根據(jù)狀態(tài)變量的觀測值來設(shè)計滑?？刂破?，達到控制效果.為了運算方便，在系統(tǒng)（1）中令
圖3 滑模函數(shù)Fig.3 Sliding function
圖4 控制輸入Fig.4 Control input
則估計誤差為
2.2.2 基于觀測器的滑?？刂圃O(shè)計
定理2對于系統(tǒng)（2），設(shè)計觀測器（7）和狀態(tài)變量估計值（8），則存在正常數(shù)k、ρ1和η，使得當t→∞時，觀測器（7）是穩(wěn)定的，觀測誤差~ei和追蹤誤差ei指數(shù)收斂于0，i＝1，2，3.
證明下面分3部分來討論.
1）設(shè)計觀測器的穩(wěn)定性.構(gòu)造Lyapunov函數(shù)
則
因此，設(shè)計的觀測器（7）是指數(shù)收斂的.
2）觀測誤差是收斂的.假設(shè)控制目標為xd，定義追蹤誤差為
從而當t→∞時，V（t）指數(shù)收斂于0，從而追蹤誤差收斂于0，并且收斂速度由常數(shù)ρ1確定.
注2從（16）式中可以看到，滑模控制器的設(shè)計僅依賴于狀態(tài)變量的估計值，而且能夠使得追蹤控制達到較好的效果，控制系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的，追蹤誤差趨于0.圖6～圖10給出了所設(shè)計的控制策略數(shù)值模擬圖.通過比較可以看出，利用估計值所構(gòu)造的控制器能夠達到實際值一樣的效果.
圖6 狀態(tài)變量估計Fig.6 The state variables estimation
圖10 狀態(tài)估計誤差Fig.10 The state estimation error
圖7 控制輸入Fig.7 The control input
圖8 追蹤軌跡Fig.8 The trajectories of tracking
圖9 滑模函數(shù)估計Fig.9 The estimation of sliding function
3 結(jié)論
為了獲得混沌系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制，提出了一種基于狀態(tài)觀測器的自適應(yīng)滑?？刂品椒?與傳統(tǒng)的滑?？刂圃O(shè)計不同，在研究的方法中，設(shè)計了觀測器對狀態(tài)變量進行估計，滑模面和控制器的構(gòu)造僅依賴于估計值.實踐證明，仍能達到傳統(tǒng)滑?？刂破鞯男Ч軌虮ＷC狀態(tài)變量跟蹤所需的信號，追蹤誤差指數(shù)趨于0.
致謝淮南師范學院自然科學基金重點項目（2019XJZD09）和淮南師范學院微分代數(shù)系統(tǒng)的分析控制及應(yīng)用創(chuàng)新團隊項目（XJTD202008）給予了本文資助，謹致謝意.
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