方程S（SL（n））＝φe（n）（e＝3，4，6）的可解性

王慧莉， 廖群英， 杜 珊

（四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都610066）

1 引言及主要結(jié)果

早在18世紀(jì)，杰出數(shù)學(xué)家歐拉就提出了著名的歐拉函數(shù)的概念.正整數(shù)n的歐拉函數(shù)φ（n）定義為序列1，2，…，n－1中與n互素的整數(shù)個數(shù)［1］.該函數(shù)在數(shù)論中具有重要的地位，并且在研究數(shù)論函數(shù)方程中應(yīng)用十分廣泛，早在20世紀(jì)70年代，歐拉函數(shù)就成為RSA公鑰密碼體制得以建立的重要數(shù)學(xué)工具之一.歐拉函數(shù)的出現(xiàn)引發(fā)了數(shù)學(xué)界對含有歐拉函數(shù)的數(shù)論方程的廣為探討.2002—2007年，Cai等［2］將歐拉函數(shù)進行推廣，提出了廣義歐拉函數(shù)的概念.對任意給定的正整數(shù)e，正整數(shù)n的廣義歐拉函數(shù)φe（n）定義為序列中與n互素的數(shù)的個數(shù)，即

后來，人們根據(jù)Smarandache函數(shù)定義了偽Smarandache函數(shù)Z（n）和Smarandache LCM函數(shù).其中，Smarandache LCM函數(shù)SL（n）定義為最小的正整數(shù)m，使得1，2，…，m的最小公倍數(shù)能被n整除［11］，即

關(guān)于Smarandache函數(shù)的性質(zhì)的研究，已有一些結(jié)果.例如：羅文力等［12］研究了Smarandache函數(shù)的準(zhǔn)確計算公式以及相關(guān)數(shù)論方程，白海榮等［13］給出了Smarandache函數(shù)S（pα）的準(zhǔn)確計算公式，并且給出了Smarandache函數(shù)的幾類推廣函數(shù)及其性質(zhì).基于Smarandache函數(shù)的性質(zhì)，有很多關(guān)于Smarandache函數(shù)相關(guān)的方程問題的研究［14-18］.張利霞等［19-20］研究了函數(shù)方程S（SL（n））＝φe（n）（e＝1，2）的可解性，并得出它的所有正整數(shù)解；文獻［21-22］研究了數(shù)論函數(shù)方程S（SL（n2））＝φe（n）（e＝1，2）的可解性，并得出它的所有正整數(shù)解；等等.最近，廖群英等［23］研究了函數(shù)方程S（SL（n2））＝φ3（n）的可解性，并給出了其全部正整數(shù)解.本文在此基礎(chǔ)上，進一步討論數(shù)論函數(shù)方程的問題，利用已有的廣義歐拉函數(shù)的計算公式，討論當(dāng)e∈｛3，4，6｝時，廣義歐拉函數(shù)與Smarandache函數(shù)S（n）和Smarandache LCM函數(shù)SL（n）的復(fù)合函數(shù)之間的關(guān)系，旨在討論當(dāng)e∈｛3，4，6｝時，數(shù)論函數(shù)方程

的可解性，并給出其全部正整數(shù)解，即證明如下主要結(jié)果.

2 相關(guān)引理

為敘述方便，設(shè)n為正整數(shù)，記Ω（n）為n的素因子個數(shù)（重復(fù)計數(shù)），ω（n）為n的不同的素因子的個數(shù)，并規(guī)定Ω（1）＝ω（1）＝0.為證明本文主要結(jié)果，需要以下幾個引理.

3 主要結(jié)果的證明

定理1.1的證明可直接計算知，n＝1，2，3均不是方程（1）的解.

綜上所述，定理1.1得證.

定理1.2的證明可直接計算知，n＝1，2，3，4均不是方程（1）的解.

比較兩邊ps的個數(shù)可得αs＝1，此時（10）式即為（ps－1）φ（m）＋（－1）Ω（n）·2s＝4ps.又ps為奇素數(shù)，不妨設(shè)ps－1＝2r t，其中r≥1，gcd（2，t）＝1.此時（10）式即為

當(dāng)r≥2時，顯然s≥2，此時φ（m）為偶數(shù)，則方程（11）即為

對比（13）式兩邊的奇偶性可知s＝2，即2r－2tφ（m）＝2r t＋1＋（－1）Ω（n）＋1.若Ω（n）為偶數(shù)時，則2r－2tφ（m）＝2r t，即φ（m）＝4，故m＝5，8，10，12，相應(yīng)地，n＝5ps，23ps，2×5ps，22×3ps，與題設(shè)矛盾.故Ω（n）為奇數(shù)，則2r－2tφ（m）＝2r t＋2，故2r－2t｜2，即t＝1，r＝2，3，此時ps＝5或9，與題設(shè)矛盾.

4 小結(jié)與展望

本文基于Smarandache函數(shù)、Smarandache LCM函數(shù)基本性質(zhì)，以及φe（n）（e＝3，4，6）的準(zhǔn)確計算公式，利用初等的方法和技巧，研究了數(shù)論方程S（SL（n））＝φe（n）（e＝3，4，6）的可解性，并確定了其全部正整數(shù)解.對于e＝3，4，6的情形，后續(xù)可以研究方程S（SL（n2））＝φe（n）（e＝3，4，6）的正整數(shù)解問題.