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    特殊圖類的Harmonic能量

    2021-11-15 09:11:12劉海琴
    中北大學學報(自然科學版) 2021年5期
    關(guān)鍵詞:記作星圖頂點

    劉海琴

    (1.山西農(nóng)業(yè)大學 基礎部,山西 太谷 030801;2.中北大學 大數(shù)據(jù)學院,山西 太原 030051)

    0 引 言

    類似地,圖G的Randic矩陣R(G)=(rij)n×n定義為

    1 預備知識

    下面給出路圖Pn,圈圖Cn,星圖Sn,完全圖Kn,完全二部圖Km,n的具體定義.

    定義1 若簡單圖G的頂點集為V={1,2,3,…,n},邊集為E={12,23,34,…,(n-1)n},則簡單圖G稱為n個頂點的路,記作Pn.

    定義2 若簡單圖G的頂點集為V={1,2,3,…,n}(n≥3),邊集為E={12,23,34,…,(n-1)n,n1},則簡單圖G稱為n個頂點的圈,記作Cn.

    定義3 若簡單圖G的頂點集為V={1,2,3,…,n}(n≥3),邊集為E={1n,2n,3n,…,(n-1)n},則簡單圖G稱為n個頂點的星圖,記作Sn.

    定義4 若簡單圖G的任意兩個不同的頂點間恰有一條邊,則此簡單圖稱為完全圖,記作Kn.

    定義5 設G為簡單圖,若其頂點集V={1,2,3,…,n}可以分成兩個互不相交的子集V1,V2,且V1中每個頂點都與V2中每個頂點相鄰,則稱G為完全二部圖,記為Km,n,其中m=|V1|,n=|V2|.

    2 路圖和圈圖的Harmonic特征多項式

    定理1 當n≥5時,路圖Pn的Harmonic特征多項式滿足

    證明當k≥3時,定義

    設HP(Pn,λ)=det(λI-H(Pn)),則有

    HP(Pn,λ)=

    將此行列式按照第一列展開可得

    依次推導可得

    HP(Pn,λ)=

    所以

    定理2 當k≥3時,圈圖Cn的Harmonic特征多項式為

    將此行列式按照第一行展開得

    因此,

    注當G是圈圖Cn時,其Harmonic矩陣H(G)與Randic矩陣R(G)相等[2],故對應特征多項式也相同.

    3 星圖、完全圖、完全二部圖的Harmonic能量的上界

    對于星圖Sn,完全圖Kn,完全二部圖Km,n,其Harmonic能量的上界均為2.下文中運用圖的Harmonic特征多項式理論,給出了證明.

    引理1[1]如果M是非奇異矩陣,則有

    定理3 1)星圖Sn=K1,n-1(n≥2)的 Harmonic 特征多項式為

    證明由于K1,n-1的Harmonic矩陣為

    所以,

    det(λI-H(Sn))=

    由引理 1 可知,

    det(λI-H(Sn))=

    J(n-1)×1×J1×(n-1)=Jn-1,

    所以,

    由引理 2 可得,當n≥2時,HE(Sn)≤2.證畢.

    2)完全圖Kn(n≥2)的Harmonic能量為HE(Kn)=2.

    定理5 1)完全二部圖Km,n(m,n≠1)的Harmonic特征多項式為

    證明完全二部圖Km,n的Harmonic矩陣為

    HP(Km,n,λ)=det(λI-H(Km,n))=

    由引理 2 知

    det(λI-H(Km,n))=

    Jn×m×Jm×n=mJn,

    則有

    且有

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