有限維Banach空間中完備集的構(gòu)造

徐 珂，段博韜

(淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000)

0 引言

若n維歐氏空間Rn中一個(gè)內(nèi)部非空的緊凸集，其任意一對(duì)平行的支撐超平面之間的歐氏距離均等于該集合的直徑，則稱該凸集為等寬集.顯然，Rn中的球都是等寬集.此外，Rn中還有許多異于球的等寬集，關(guān)于Rn中等寬集的相關(guān)問(wèn)題和結(jié)論詳見文獻(xiàn)[1-3].Rn中等寬集的概念可以通過(guò)不同的方式推廣到一般的Banach空間中，其中常見的Banach空間中常寬集的定義方法如下[4]：設(shè)X*是Banach空間X的共軛空間，M是X中的一個(gè)有界閉凸集，集合δ(M)={‖x-y‖:x,y∈M}表示M的直徑.若對(duì)任意的單位泛函f∈X*，有

sup{f(z)∶z∈M-M}=δ(M)，

則稱M是X中的一個(gè)等寬集.當(dāng)X的維數(shù)有限時(shí)，有限維Banach空間中中心對(duì)稱的等寬集只能是球；當(dāng)X為無(wú)限維Banach空間時(shí)，該結(jié)論未必成立[5].

Banach空間完備集的概念最早是由Meissner在1911年研究Rn中的等寬集時(shí)給出[6]的(詳見定義1).自此以后，有關(guān)完備集和其特征及性質(zhì)的研究一直受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注[7-9].1958年，Eggleston 給出了在n維歐氏空間Rn中將集合完備化的方法，并且提到任何一個(gè)有界集都包含在一個(gè)與之直徑相同的等寬體中[10].利用Eggleston構(gòu)造法的思想，Papini和吳森林教授給出了在可分的Banach空間中將內(nèi)部非空的有界閉凸集完備化的一種方法，但該方法需要無(wú)窮次迭代[4].

現(xiàn)有的一些完備集的構(gòu)造方法通常都要利用過(guò)凸體直徑的超平面，將凸體分割再進(jìn)行完備化，其中Bavaud在文獻(xiàn)[11]中研究得到了將歐氏平面R2中的集合完備化的一個(gè)方法：設(shè)M是歐氏平面R2的一個(gè)凸體，記凸體M的邊界為?M，如果任意選取兩點(diǎn)x1,x2∈?M，使得‖x1-x2‖=δ(M).此時(shí)，令H是一個(gè)過(guò)原點(diǎn)的超平面，H+和H-分別是由過(guò)點(diǎn)x1和x2的直線確定的兩個(gè)閉半平面.構(gòu)造兩個(gè)集合Ma和Mb：

Ma=(η(M)∩H+)∪(θ(M)∩H-)，

Mb=(η(M)∩H-)∪(θ(M)∩H+)，

式中：η(M)和θ(M)分別表示M的寬球包和緊球包(詳見定義2)，則Ma，Mb是M的兩個(gè)完備化集.

2007年，Lachand-Robert和Oudet在文獻(xiàn)[12]中也利用過(guò)凸體直徑的超平面得到了將歐氏空間Rn中的集合完備化的一個(gè)方法.Papini和吳森林教授將Lachand-Robert和Oudet的構(gòu)造方法進(jìn)行了推廣并證明了如下結(jié)論[4]：設(shè)H是Banach空間X中的一個(gè)過(guò)原點(diǎn)的超平面，H+和H-是由H確定的兩個(gè)閉半平面，如果集合M滿足條件

δ(η(M)∩H+)=δ(M)=δ(η(M)∩H-)，

集合M1滿足條件M?M1?η(M)-，則MC=η(M1)∪η(η(M1)+)-，并且MC是M和M1在X中的完備化集.

不難發(fā)現(xiàn)，Bavaud,Lachand-Robert和Oudet以及Papini和吳森林教授都是從低一維的完備集出發(fā)去構(gòu)造高一維的完備集.本文將在文獻(xiàn)[4]中構(gòu)造法的基礎(chǔ)上，用任意子空間替代超平面，把Papini和吳森林教授的構(gòu)造法推廣到高維的Banach空間中.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X是實(shí)Banach空間，用BX和o分別表示其單位球和原點(diǎn).對(duì)于任意的x∈X，γ>0，BX(x,γ)=γBX+x表示以x為球心，γ為半徑的單位球.若M是X中的任意一個(gè)有界集，則稱

δ(M)=sup{‖x-y‖:x,y∈M}

為M的直徑.符號(hào)intM,convM，?M和clM分別表示M的內(nèi)部、凸包、邊界和閉包.對(duì)X中任意不同的兩點(diǎn)x和y，用[x,y],[x,y〉和〈x,y〉分別表示點(diǎn)x和y之間的線段，以點(diǎn)x為端點(diǎn)且過(guò)y點(diǎn)的射線和過(guò)點(diǎn)x和y的直線.

定義1[4]設(shè)K是Banach空間X中的任意一個(gè)有界閉凸集，若對(duì)于任意的x∈XK，都有

δ(K∪{x})>δ(K)，

則稱K是一個(gè)(直徑)完備集.

定義2[4]設(shè)K是Banach空間X中的任意一個(gè)有界閉凸集，若K0是X中的一個(gè)完備集，并且滿足K?K0，δ(K)=δ(K0)，則稱K0是K的一個(gè)完備化集.

完備集的特征及性質(zhì)通常借助于集合的寬球包和緊球包來(lái)進(jìn)行研究.

定義3[4]設(shè)M是Banach空間X中的一個(gè)有界集，集合

稱為M的寬球包.集合

稱為M的緊球包.

由文獻(xiàn)[13]可知，對(duì)任意a∈M，x∈η(M)，有‖x-a‖≤δ(M).此外，η(M)還有另一種表述：

從而對(duì)任意x∈θ(M)，y∈η(M)，有‖x-y‖≤δ(M).

根據(jù)定義，η(M)和θ(M)有以下性質(zhì)(詳見文獻(xiàn)[14-19])：

1)η(M)，θ(M)都是凸體；

2)η(M)和θ(M)分別表示M的所有完備化集的并集和交集；

3)M?θ(M)?MC?η(M)，其中MC為M的任一完備化集；

4)δ(M)=δ(θ(M))≤δ(η(M))；

5)M是完備的當(dāng)且僅當(dāng)η(M)=M；

6)若M1?M2，并且δ(M1)=δ(M2)，則η(M2)?η(M1)，θ(M1)?θ(M2).

2 主要結(jié)果

本節(jié)將在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上給出完備集的兩種構(gòu)造法，分別是對(duì)Bavaud構(gòu)造法和Lachand-Robert及Oudet構(gòu)造法的推廣.

2.1 Bavaud構(gòu)造法的推廣

設(shè)X是n(n≥2)維的Banach空間，V是Banach空間X中的任意子空間，H是X中包含原點(diǎn)的一個(gè)超平面，且V?H.令K是子空間V中的一個(gè)集合.用H+，H-分別表示由H確定的閉半空間，令

η(K)+=η(K)∩H+，η(K)-=η(K)∩H-，

θ(K)+=θ(K)∩H+，θ(K)-=θ(K)∩H-，

并且

Ka=η(K)+∪θ(K)-，Kb=η(K)-∪θ(K)+.

顯然，K?Ka∪Kb.

若K滿足δ(η(K)+)=δ(K)=δ(η(K)-)，則稱K滿足條件(dc).

定理1 設(shè)K是子空間V中的一個(gè)集合，H是Banach空間X中包含原點(diǎn)的一個(gè)超平面，且V?H.K0是一個(gè)不一定為凸的集合且滿足K=K0∩H，δ(K)=δ(K0).如果K滿足(dc)，那么(K0)a和(K0)b不僅是K的完備化集，同時(shí)也是K0的完備化集.

證明這里只證(K0)a是K和K0的完備化集的情形，(K0)b的情形類似.由于K0?(K0)a，從而有δ(K0)≤δ((K0)a).故要證δ(K0)=δ((K0)a)，只需要證明δ(K0)≥δ((K0)a).對(duì)任意的x,y∈(K0)a，若x,y∈η(K0)+，由于η(K0)?η(K)，所以

‖x-y‖≤δ(η(K0)+)≤δ(η(K)+)=δ(K).

若x,y∈θ(K0)-，由事實(shí)θ(K0)?η(K0)，有

‖x-y‖≤δ(θ(K0)-)≤δ(η(K0)-)≤δ(K).

若x，y由超平面H嚴(yán)格分隔開，不妨設(shè)x∈η(K0)+，y∈θ(K0)-，從而

‖x-y‖≤δ(K0)=δ(K)，

因此，δ((K0)a)=δ(K0)=δ(K).

下證(K0)a是完備的.設(shè)z是X(K0)a中的一點(diǎn)，若z?η(K0)，則存在w∈K0，使得‖z-w‖>δ(K0)，從而有

δ((K0)a∪{z})>δ(K0)=δ((K0)a).

假設(shè)z∈(X(K0)a)∩η(K0)=η(K0)-θ(K0)-，顯然z?θ(K0)，那么存在w∈η(K0)，使得‖z-w‖>δ(K0).又由于δ(η(K0)-)≤δ(η(K)-)=δ(K)=δ(K0)，所以w∈η(K0)+.故

δ((K0)a∪{z})>δ(K0)=δ((K0)a).

從而，(K0)a是完備的.

綜上，K?K0?(K0)a，δ(K)=δ(K0)=δ((K0)a)并且(K0)a是完備的，所以(K0)a是K的完備化集，同時(shí)也是K0的完備化集.同理可證(K0)b是K的完備化集，也是K0的完備化集.

2.2 Lachand-Robert和Oudet構(gòu)造法的推廣

Lachand-Robert和Oudet提出了一種更一般和更復(fù)雜的構(gòu)造法，與Bavaud的想法有相似之處.本文將推廣Lachand-Robert和Oudet的方法，即從低維的完備集出發(fā)去構(gòu)造任意有限維的完備集.

設(shè)K是子空間V中的一個(gè)集合，H是包含原點(diǎn)的一個(gè)超平面，且K?V?H.K1是一個(gè)不一定為凸的集合且滿足K?K1?η(K)-，令

K2∶=η(K1)+，K3∶=η(K2)-，KC∶=K2∪K3.

根據(jù)文獻(xiàn)[4]，顯然有K1?K3.

定理2 設(shè)V是Banach空間X中的子空間，H是X中包含原點(diǎn)的一個(gè)超平面，設(shè)K?V?H.如果K滿足

(dc):δ(η(K)+)=δ(K)=δ(η(K)-)，

集合K1滿足K?K1?η(K)-，那么，由

K2∶=η(K1)+，K3∶=η(K2)-，KC∶=K2∪K3，

可知KC不僅是K的完備化集，也是K1的完備化集.

證明由K?K1?η(K)-，有

δ(K)≤δ(K1)≤δ(η(K)-)=δ(K)，

即δ(K)=δ(K1)，從而η(K1)?η(K).又

K=K∩H+?K1∩H+?η(K1)∩H+=

η(K1)+=K2，

有

δ(K)≤δ(K2)=δ(η(K1)+)≤

δ(η(K)+)=δ(K)，

即δ(K)=δ(K2)，從而η(K2)?η(K).而K?K2?η(K2)意味著

K=K∩H-?K2∩H-?η(K2)∩H-=

η(K2)-=K3，

所以，δ(K)≤δ(K3)=δ(η(K2)-)≤δ(η(K)-)=δ(K)，即δ(K)=δ(K3).因此，

δ(K)=δ(K1)=δ(K2)=δ(K3).

由于K?K2且K?K3，所以K?K2∪K3=KC，從而δ(K)≤δ(KC).故要證δ(K)=δ(KC)，只需證δ(KC)≤δ(K).對(duì)任意的x,y∈KC，若x,y∈K2或x,y∈K3，此時(shí)‖x-y‖≤δ(K).不失一般性，不妨假設(shè)x∈K2，y∈K3，那么y∈η(K2)，從而‖x-y‖≤δ(K2)=δ(K).

下證KC是完備的.設(shè)c?KC.若c∈H-，那么c?η(K2)，因此，存在點(diǎn)y∈K2，使得‖c-y‖>δ(K2)=δ(K).若c∈H+H，那么c?η(K1).而η(K3)?η(K1)意味c?η(K3)，因此，存在點(diǎn)z∈K3，使得‖c-z‖>δ(K3)=δ(K).這就得到了δ(KC∪{c})>δ(K)，從而說(shuō)明了KC是完備的.

綜上，K?K1?K3?KC，δ(K)=δ(K1)=δ(KC)并且KC是完備的，因此，KC不僅是K的完備化集，也是K1的完備化集.

事實(shí)上，如果K?V?H且K滿足條件(dc)，則K的所有完備化集都可以根據(jù)Lachand-Robert和Oudet的構(gòu)造法得到.

定理3 設(shè)V是Banach空間X中的子空間，H是X中包含原點(diǎn)的一個(gè)超平面，K是子空間V中的一個(gè)集合，即K?V?H.如果K滿足

(dc):δ(η(K)+)=δ(K)=δ(η(K)-)，

那么，K的所有完備化集都可以由定理2的方法得到.

證明假設(shè)C是K的一個(gè)完備化集，由定義有K?C，δ(K)=δ(C)并且C是完備的.那么C=η(C)?η(K).令K1=C∩H-，則

K=K∩H-?C∩H-=K1?η(C)∩H-=

η(C)-?η(K)-，

即δ(K)≤δ(K1)≤δ(η(K)-)=δ(K)，從而δ(K1)=δ(K)=δ(C).

設(shè)K1，K2是由構(gòu)造法K2∶=η(K1)+，K3∶=η(K2)-，KC∶=K2∪K3得到的集合.由K1?C有η(C)?η(K1).因此，

C∩H+=η(C)∩H+?η(K1)∩H+=K2，

從而C=(C∩H+)∪(C∩H-)?K2∪K3.又C和K2∪K3都是完備的，故C=K2∪K3.