自由設(shè)站法在地鐵竣工測(cè)量中的應(yīng)用研究

葛 文，井發(fā)明，徐長(zhǎng)虹，何文峰，李學(xué)濤

（1.寧波市測(cè)繪和遙感技術(shù)研究院，浙江 寧波 315402；2.寧波市阿拉圖數(shù)字科技有限公司，浙江 寧波 315402）

城市軌道交通作為一種新型的城市交通工具，極大地方便了人們的出行。地鐵隧道竣工測(cè)量是建設(shè)完成后的一項(xiàng)重要基礎(chǔ)工作，其竣工資料可為今后的隧道設(shè)計(jì)、周邊施工以及規(guī)劃督察提供重要的參考信息。如何準(zhǔn)確獲取隧道的外輪廓線及拱頂、拱底斷面線是竣工測(cè)量的主要工作[1]。

采用全站儀三維自由設(shè)站法測(cè)量隧道外輪廓線及斷面線時(shí)，如何準(zhǔn)確獲得設(shè)站點(diǎn)的三維坐標(biāo)是整個(gè)工作的核心內(nèi)容，對(duì)此，本文嘗試將方差分量估計(jì)理論和穩(wěn)健抗差估計(jì)理論相結(jié)合，提出一種新的抗差Helmert三維自由設(shè)站法。相比傳統(tǒng)的自由設(shè)站法，該方法不僅能夠解決不同種類觀測(cè)值的權(quán)值問題，更能抵抗已知點(diǎn)的坐標(biāo)粗差對(duì)設(shè)站點(diǎn)坐標(biāo)解算的影響[2]。最后，根據(jù)在某地鐵隧道的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，將所建模型應(yīng)用于竣工測(cè)量中[3]，得出了一些有益的 結(jié)論。

1 三維自由設(shè)站間接平差模型

1.1 三維自由設(shè)站

全站儀三維自由設(shè)站是指通過觀測(cè)設(shè)站點(diǎn)到兩個(gè)或兩個(gè)以上已知點(diǎn)的斜距LS、水平角LH、垂直角LV，利用已知點(diǎn)的坐標(biāo)、定向角以及觀測(cè)數(shù)據(jù)采用間接平差模型處理后，得到設(shè)站點(diǎn)的三維空間坐標(biāo)的測(cè)量 方法[4]。

令設(shè)站點(diǎn)S的坐標(biāo)為（XS、YS、ZS），已知點(diǎn)的坐標(biāo)為（Xi、Yi、Zi），i≥2，設(shè)站定向角為A，則觀測(cè)值方程為：

式中，

根據(jù)設(shè)站點(diǎn)坐標(biāo)的改正數(shù)與近似坐標(biāo)，即可推算出設(shè)站點(diǎn)的三維坐標(biāo)。

1.2 基于Helmert方差分量估計(jì)的三維自由設(shè)站

采用傳統(tǒng)的間接平差模型解算設(shè)站點(diǎn)三維坐標(biāo)時(shí)，最重要的工作就是各類觀測(cè)值的賦權(quán)，以往人們通常將權(quán)值定為單位權(quán)，而不考慮不同觀測(cè)值的類型不同，從而導(dǎo)致平差結(jié)果失準(zhǔn)，無法達(dá)到預(yù)期的目的。

距離LS、水平角LH以及垂直角LV屬于3種不同種類的觀測(cè)值，一般情況下全站儀的垂直角觀測(cè)精度要低于水平角。Helmert方差分量估計(jì)法，可以解決多個(gè)不同種類觀測(cè)值定權(quán)的問題，進(jìn)而避免經(jīng)驗(yàn)定權(quán)導(dǎo)致觀測(cè)值改正數(shù)分配不合理的情況。

將三維自由設(shè)站的觀測(cè)值分為3類，即距離觀測(cè)值L1、水平方向觀測(cè)值L2、垂直角觀測(cè)值L3，可得觀測(cè)值的誤差方程為：

為了合理確定3種觀測(cè)值的權(quán)[5]，通常根據(jù)全站儀的標(biāo)稱精度確定初始權(quán)陣P1、P2、P3。首先進(jìn)行預(yù)平差，然后利用平差后各類觀測(cè)量的殘差平方和，對(duì)其驗(yàn)前方差做出估計(jì)，重新定權(quán)。通過反復(fù)計(jì)算迭代，使得不同類觀測(cè)值的單位權(quán)中誤差趨向一致，從而達(dá)到最佳平差效果。

1.3 基于胡貝爾法與Helmert模型的觀測(cè)值權(quán)陣解算

地鐵隧道內(nèi)的已知點(diǎn)往往含有粗差[6]，而Helmert方差分量估計(jì)是基于最小二乘原理的一種數(shù)學(xué)模型，并不具備抵抗粗差的能力。自由設(shè)站觀測(cè)時(shí)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)粗差將直接導(dǎo)致觀測(cè)的角度、距離含有誤差，進(jìn)而設(shè)站點(diǎn)的坐標(biāo)也不精確，粗差同樣會(huì)使Helmert方差分量估計(jì)的權(quán)陣出現(xiàn)波動(dòng)現(xiàn)象，最終導(dǎo)致迭代計(jì)算的權(quán)陣不收斂。

為解決粗差帶來的影響，在Helmert方差分量估計(jì)模型的基礎(chǔ)上，引入抗差估計(jì)理論的胡貝爾法[7]，通過選擇ρ函數(shù)構(gòu)造權(quán)因子ω，進(jìn)行迭代平差求解，以此抵抗粗差對(duì)方差分量解算的觀測(cè)值權(quán)陣的影響。迭代計(jì)算公式為：

式中，c為常系數(shù)，通常取c=2σ；v為觀測(cè)值的改正數(shù)；σ為改正數(shù)的中誤差，由此可得相應(yīng)的權(quán)因子為：

由權(quán)因子的方程可知：當(dāng)所有觀測(cè)值的改正數(shù)都在-c和c之間時(shí)，胡貝爾估計(jì)其實(shí)就是最小二乘估 計(jì)[8]；當(dāng)改正數(shù)大于C時(shí)，其權(quán)因子w與改正數(shù)成反比，改正數(shù)越大，對(duì)應(yīng)的權(quán)因子越小，權(quán)也越小，與此相應(yīng)的觀測(cè)值對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響也越小。

2 地鐵隧道竣工測(cè)量

規(guī)劃竣工測(cè)量是地鐵隧道建設(shè)完成后一項(xiàng)重要的基礎(chǔ)工作，可為軌道的設(shè)計(jì)、維護(hù)以及周邊施工提供重要的基礎(chǔ)信息。通過抗差Helmert三維自由設(shè)站模型進(jìn)行地鐵隧道竣工測(cè)量的主要步驟如下：

1）全站儀架設(shè)于隧道軌行區(qū)中間位置，觀測(cè)其到各CPIII（軌道控制點(diǎn)）點(diǎn)的空間距離LS、水平角LH以及垂直角LV，根據(jù)全站儀標(biāo)稱精度對(duì)三類觀測(cè)值確定各自的初始權(quán)值P1、P2、P3。

2）采用最小二乘法以及上述確定的初始權(quán)陣，通過式（4）進(jìn)行首次平差，計(jì)算各觀測(cè)值的

3）利用Helmert方差分量估計(jì)公式（6）計(jì)算3種觀測(cè)值的單位權(quán)方差估值，根據(jù)式（8）重新調(diào)整三類觀測(cè)值的權(quán)。

4）利用胡貝爾法的選權(quán)迭代公式（9）重新定權(quán)，依次抵抗CPIII點(diǎn)的坐標(biāo)粗差以及各觀測(cè)值的偶然誤差對(duì)平差結(jié)果的影響。

7）每隔10～15 m，通過全站儀極坐標(biāo)法測(cè)量隧道同一橫斷面上的兩個(gè)點(diǎn)（一般測(cè)量隧道斷面與軌道道床的相交點(diǎn)），進(jìn)而計(jì)算出隧道中心點(diǎn)坐標(biāo)和高程，最后，根據(jù)隧道壁設(shè)計(jì)厚度可推算出外輪廓平面坐標(biāo)和高程。

地鐵軌道的道床往往會(huì)有一定的傾斜度，如果取左右斷面點(diǎn)坐標(biāo)的平均值作為軌道中心點(diǎn)坐標(biāo)會(huì)導(dǎo)致軌道外輪廓線含有一定的誤差，實(shí)際計(jì)算時(shí)，需作一定的改正計(jì)算。如圖1所示，A、C為隧道某一斷面與道床的兩個(gè)相交點(diǎn)；OX1為垂直于軌道中心線的橫軸；斷面圓心坐標(biāo)（XH，YH，ZH）可由A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)通過公式（12）計(jì)算所得。

圖1 軌道中心點(diǎn)坐標(biāo)改正計(jì)算圖

3 案例分析

某市軌道交通四號(hào)線計(jì)劃于2020年底通車，為了充分掌握隧道外輪廓、拱頂及拱底高程信息，需對(duì)其進(jìn)行竣工測(cè)繪，即利用已知CPIII控制點(diǎn)，采用三維自由設(shè)站法通過觀測(cè)角度和距離，平差計(jì)算獲取設(shè)站點(diǎn)的平面坐標(biāo)和高程，進(jìn)而利用極坐標(biāo)法獲取斷面點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)公式（12）計(jì)算出斷面中心點(diǎn)坐標(biāo)和高程，從而根據(jù)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，可推算出隧道外輪廓以及拱頂、拱底坐標(biāo)。

本文采用某軌道區(qū)間的一個(gè)斷面作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，以驗(yàn)證抗差Helmert模型的可行性。實(shí)際測(cè)量時(shí)，首先采用兩個(gè)沒有粗差的已知點(diǎn)后視定向獲取設(shè)站點(diǎn)的 三維坐標(biāo)為（107020.088，602705.351，-15.464），以此作為設(shè)站點(diǎn)坐標(biāo)的真值。為了方便觀測(cè)，將全站儀架設(shè)于軌道中心，利用兩組已知點(diǎn)（每組已知點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)），其中一組已知點(diǎn)坐標(biāo)含有粗差，一組已知點(diǎn)沒有粗差，分別通過最小二乘三維自由設(shè)站法、Helmert三維自由設(shè)站法以及抗差Helmert三維自由設(shè)站法平差計(jì)算設(shè)站點(diǎn)的三維坐標(biāo)，如表1所示。

圖2 兩組已知點(diǎn)獲取的設(shè)站點(diǎn)的點(diǎn)位誤差

表1 兩組已知點(diǎn)獲取的設(shè)站點(diǎn)的點(diǎn)位偏差

由圖表數(shù)據(jù)可知，當(dāng)已知點(diǎn)坐標(biāo)沒有粗差時(shí)，Helmert三維自由設(shè)站模型得到的設(shè)站點(diǎn)的點(diǎn)位偏差低于最小二乘數(shù)學(xué)模型所計(jì)算出的點(diǎn)位偏差，抗差Helmert三維自由設(shè)站模型得到的設(shè)站點(diǎn)的點(diǎn)位偏差最小。當(dāng)已知點(diǎn)的坐標(biāo)含有粗差時(shí)，抗差Helmert三維自由設(shè)站數(shù)學(xué)模型獲取的設(shè)站點(diǎn)的點(diǎn)位誤差最小，且遠(yuǎn)低于其他兩種數(shù)學(xué)模型，故可知，抗差Helmert數(shù)學(xué)模型不僅可以抵抗粗差影響且精度最高，Helmert數(shù)學(xué)模型的精度要優(yōu)于最小二乘法。

實(shí)際地鐵隧道竣工時(shí)，每隔10～15 m采集一個(gè)斷面數(shù)據(jù)，由全站儀自由設(shè)站法獲取設(shè)站點(diǎn)三維坐標(biāo)后，即可通過極坐標(biāo)法采集斷面上的兩個(gè)點(diǎn)，由改正公 式（12）可計(jì)算出圓心三維坐標(biāo)，根據(jù)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，可得到斷面的左右外輪廓以及最高、最低點(diǎn)坐標(biāo)，采用CAD畫弧工具連接相關(guān)點(diǎn)，即可得到地鐵隧道竣工平面及斷面圖。

圖3 地鐵隧道平面竣工圖

圖4 地鐵隧道縱斷面竣工圖

4 結(jié) 語

如何確保自由設(shè)站點(diǎn)三維坐標(biāo)的準(zhǔn)確性是地鐵隧道竣工測(cè)量的重中之重，將決定整個(gè)竣工成果的精度。本文深入研究了基于抗差Helmert方差分量估計(jì)模型，推導(dǎo)了三維自由設(shè)站的平差數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)，總結(jié)出一套坐標(biāo)改正公式。最后通過地鐵隧道某一斷面的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算和分析，驗(yàn)證了模型的正確性及可行性，主要研究結(jié)果如下：

1）地鐵隧道竣工測(cè)量是一項(xiàng)重要的基礎(chǔ)性工作，通過三維自由設(shè)站法獲取設(shè)站點(diǎn)坐標(biāo)，然后，利用極坐標(biāo)法每隔10m左右獲取一組斷面點(diǎn)，最終由斷面點(diǎn)坐標(biāo)及隧道設(shè)計(jì)厚度可以獲取隧道的外輪廓線以及拱頂、拱底斷面線。

2）基于抗差Helmert三維自由設(shè)站是一種有效實(shí)用的數(shù)學(xué)模型，不僅可以解決不同種類觀測(cè)值的定權(quán)問題，而且能夠抵抗已知點(diǎn)的粗差對(duì)設(shè)站點(diǎn)坐標(biāo)解算的影響。

3）地鐵隧道橫斷面上任意不同高度的兩個(gè)點(diǎn)都可以通過改正公式（12）計(jì)算出圓心坐標(biāo)，從而可以得到隧道的外輪廓、拱頂以及拱底信息，使外業(yè)斷面點(diǎn)采集工作更加靈活、方便，提高了工作效率。