基于壓縮感知的Massive MIMO信道估計(jì)算法

張朝柱，施 炯

(哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引言

在高速環(huán)境中，由于基站和用戶之間存在較高的相對(duì)速度導(dǎo)致較高的多普勒頻移，使得信道沖激響應(yīng)受到干擾出現(xiàn)時(shí)間選擇性衰落[1-3]。對(duì)OFDM系統(tǒng)造成非常明顯的影響。正交時(shí)頻空間(Orthogonal Time Frequency and Space，OTFS)調(diào)制[4]在處理時(shí)變信道有很大優(yōu)勢(shì)，通過基展開模型，來(lái)消除信道中時(shí)間的影響，在時(shí)延-多普勒域中進(jìn)行，獲得高于OFDM調(diào)制的性能增益。文獻(xiàn)[4-5]中，Hadani R等人通過對(duì)信道在時(shí)延方向和多普勒方向的結(jié)構(gòu)和稀疏特性，提出了OTFS調(diào)制技術(shù)，在時(shí)延-多普勒域上完成數(shù)據(jù)傳輸，證明了OTFS調(diào)制技術(shù)與OFDM調(diào)制存在相適應(yīng)性。文獻(xiàn)[6]中，為了應(yīng)對(duì)高多普勒頻移，以信道的基展開模型，結(jié)合時(shí)延信道具有稀疏性，提出時(shí)延-多普勒二維信道模型，基于此提出基于分布式的壓縮感知算法，可以有效抑制載波間干擾，在保證性能的同時(shí)有效減少導(dǎo)頻子載波數(shù)量。文獻(xiàn)[7]利用Massive MIMO系統(tǒng)中時(shí)延維、多普勒維和角維的稀疏特性，提出了3D-OMP算法，該算法在高速場(chǎng)景下性能優(yōu)秀。本文針對(duì)高速場(chǎng)景下，Massive MIMO下行信道估計(jì)中導(dǎo)頻開銷大及存在較高多普勒頻移的問題，結(jié)合時(shí)延-多普勒-角域信道結(jié)構(gòu)，通過壓縮感知理論，在信道稀疏度未知情況下，提出了基于三維信道結(jié)構(gòu)的塊自適應(yīng)壓縮采樣匹配追蹤(3D-B2ACoSaMP)算法，該算法通過分別對(duì)多普勒域信道單一塊長(zhǎng)度估計(jì)，對(duì)角域維度唯一稀疏塊的塊位置及塊長(zhǎng)度進(jìn)行估計(jì)以及對(duì)時(shí)延維常規(guī)稀疏度進(jìn)行估計(jì)，有效提高信道估計(jì)性能。仿真表明,通過該算法進(jìn)行信道估計(jì)具有良好的性能。

1 Massive MIMO OTFS系統(tǒng)模型

1.1 SISO OTFS系統(tǒng)模型

高速運(yùn)動(dòng)場(chǎng)景下通信是現(xiàn)代通信必須面對(duì)的問題。OTFS調(diào)制是替代OFDM系統(tǒng)以應(yīng)對(duì)高速運(yùn)動(dòng)場(chǎng)景通信而提出的技術(shù)方案。OTFS技術(shù)通過信道維度轉(zhuǎn)換，達(dá)到降低時(shí)間影響的目的[8-9]。OTFS系統(tǒng)框圖如圖1所示。

圖1 OTFS系統(tǒng)框圖Fig.1 Block diagram of OTFS system

通過文獻(xiàn)[10]可以知道，OTFS技術(shù)和OFDM技術(shù)有良好的適應(yīng)性，可以在OFDM系統(tǒng)基礎(chǔ)上完成，如圖2所示，通過在系統(tǒng)的發(fā)射和接收端增加ISFFT和SFFT變換來(lái)完成，Heisenberg變換和Wigner變換如圖2所示進(jìn)行替代，實(shí)現(xiàn)OTFS技術(shù)與當(dāng)前OFDM技術(shù)的兼容[4,9,11-12]。

圖2 SISO OTFS信道估計(jì)框圖Fig.2 Block diagram of SISO OTFS channel estimation

使用正交調(diào)幅(Quadrature Amplitude Modulated，QAM)數(shù)據(jù)符號(hào)，其長(zhǎng)度為N×M，通過將一維轉(zhuǎn)為二維信號(hào)，得到延遲-多普勒域的OTFS幀XDD∈N×M，N和M分別為時(shí)延和多普勒方向的數(shù)據(jù)符號(hào)個(gè)數(shù)，其中，SFFT和ISFFT的數(shù)學(xué)表達(dá)式為[13-15]：

XDD[l,k]=SFFT(XFT[n,m])=

(1)

XFT[n,m]=ISFFT(XDD[l,k])=

(2)

假設(shè)發(fā)送窗Wtx為所有元素均為1的矩陣，則通過OTFS預(yù)處理模塊得到時(shí)頻域信號(hào)XFT∈N×M，表示為：

(3)

式中，F(xiàn)N∈N×N和M×M為離散傅里葉變換矩陣。

信號(hào)經(jīng)過OFDM模塊，首先通過IDFT變換獲得二維信號(hào)X∈N×M：

(4)

式中，X=[x1,x2,…,xM]，xn∈N×1為一個(gè)OFDM符號(hào)，每個(gè)OFDM符號(hào)帶寬為NΔf，持續(xù)時(shí)間為T；Δf為子載波間隔。

添加長(zhǎng)度為NCP的循環(huán)前綴來(lái)去除碼間干擾，隨后進(jìn)行維度轉(zhuǎn)換獲得一維發(fā)送信號(hào)x。定義其信道抽頭個(gè)數(shù)為L(zhǎng)+1，hk,l表示時(shí)變信道，zk為加性噪聲，則接收信號(hào)y的第k個(gè)元素yk為：

(5)

經(jīng)過OFDM解調(diào)后，通過維度轉(zhuǎn)換和移除循環(huán)前綴，得到二維信號(hào)YFT：

YFT=FNX。

(6)

通過OTFS后處理模塊，得到時(shí)延-多普勒域信號(hào)YDD，表示為：

YDD=XFM。

(7)

由文獻(xiàn)[7]可知，當(dāng)發(fā)送脈沖和接收脈沖在時(shí)間維上準(zhǔn)確滿足雙正交性，頻率維滿足近似雙正交性時(shí)，YDD中第(l,k)個(gè)元素表示為：

(8)

(9)

式中，l滿足l=0,1,…,N-1；k滿足k=0,1,…,M-1；ZDD(l,k)為時(shí)延-多普勒域加性噪聲，而且滿足H(l,k)=H(l+N,k+M)。

1.2 時(shí)延-多普勒-角域信道及稀疏性分析

考慮單小區(qū)Massive MIMO系統(tǒng)，基站天線數(shù)為Nt，將其排列成均勻線陣，相鄰兩天線之間的距離為半波長(zhǎng)，假設(shè)小區(qū)內(nèi)有K個(gè)單天線用戶，每個(gè)用戶的下行信道是相同的，可以先分析其中的一個(gè)用戶情況[16]。假設(shè)信道存在Np條長(zhǎng)度為L(zhǎng)的主路徑，分析第i條主路徑的第l條子路徑，定義該路徑信道增益為mli，多普勒頻率為vli，發(fā)射波束角度為γli，定義βli=(d/λ)sinγli，則βli∈[-1/2,1/2)，該主路徑下所有子路徑時(shí)延為τi，第nt個(gè)天線與用戶間信道為hnt，時(shí)延-多普勒-角域信道為Hl,k,a，時(shí)延-多普勒-空域信道為Hl,k,nt：

(10)

式中，Hl,k,a可以表示為Hl,k,nt沿空域維度的離散傅里葉逆變換(IDFT)[17]，則Hl,k,a為：

(11)

(12)

在實(shí)際信道之中，只有幾條主路徑。研究表明，無(wú)線信道在時(shí)延域上具有稀疏性，信道能量主要集中在這些散射路徑之中。假設(shè)最大路徑時(shí)延為τmax，則信道Hnt在時(shí)延維有限支撐為[0:Nmax-1]，其中，Nmax≈τmaxNΔf。

定義v為用戶移動(dòng)速度，λ為波長(zhǎng)，則第i條主路徑的第l條子路徑的多普勒頻率vli為：

(13)

式中，φl(shuí)i表示上述子路徑信號(hào)到達(dá)方向與用戶移動(dòng)方向的夾角，φl(shuí)i∈[-π/2，π/2)，所以最大多普勒頻率為vmax/2=v/λ，多普勒頻率vli∈[-vmax/2，vmax/2)，則時(shí)延-多普勒域信道Hnt沿多普勒方向的有限支撐為[-Mmax/2,Mmax/2-1]，其中，Mmax≈vmaxMT，T=1/Δf?，F(xiàn)定義存在一用戶乘坐在速度為250 km/h的高鐵上，其中，Δf=15 kHz，載波頻率為2.15 GHz，可以得到最大多普勒頻率vmax/2≈498 Hz，Nmax/2≈vmaxMT/2=vmaxM/2Δf≈0.07M/2，說(shuō)明在多普勒方向上，非零值大約存在7%。所以信道Hnt在多普勒方向存在唯一塊，其位置在多普勒信道中間向兩邊擴(kuò)展，隨著用戶移動(dòng)速度的增加，多普勒維擴(kuò)展也會(huì)隨著增大，其塊長(zhǎng)度未知[7]。

對(duì)于角維信道稀疏性，由于主路徑的角度擴(kuò)展很小，時(shí)延-多普勒-角域信道沿角維呈現(xiàn)突發(fā)塊稀疏特性[18]。定義H∈Ng×Mg×Nt為時(shí)延-多普勒-角域三維信道，其信道結(jié)構(gòu)如圖3所示，其中，角維的非零塊的位置和塊長(zhǎng)度是未知的。

圖3 時(shí)延-多普勒-角域信道稀疏結(jié)構(gòu)Fig.3 Time delay-Doppler-angle domain channel sparse structure

1.3 時(shí)延-多普勒-角域信道模型

假設(shè)時(shí)延-多普勒域上，OTFS幀結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 OTFS幀結(jié)構(gòu)Fig.4 Structure of OTFS frame

圖4大小為N×M，時(shí)延方向長(zhǎng)度為Nτ，沿多普勒方向長(zhǎng)度為Mv，為了避免干擾，需要設(shè)置保護(hù)間隔，沿多普勒方向和沿時(shí)延方向分別為Ng和Mg/2，根據(jù)上一節(jié)時(shí)延-多普勒域信道Hnt支撐判定，保護(hù)間隔沿多普勒方向大小滿足Mg/2≥Mmax/2-1，沿時(shí)延方向滿足Ng≥Nmax-1。為減少導(dǎo)頻開銷，本文之中使用非正交導(dǎo)頻，導(dǎo)頻序列為復(fù)高斯隨機(jī)序列，但導(dǎo)頻之間是互相獨(dú)立的，導(dǎo)頻位置相同。

定義xl,k,nt為第nt個(gè)天線發(fā)送的訓(xùn)練導(dǎo)頻符號(hào)，要求基站側(cè)的天線同時(shí)發(fā)送信號(hào)，接收端獲得的信號(hào)yl,k：

(14)

式中，l1=0,1,…,Ng-1；k1=-Mg/2,…,0,…,Mg/2-1；nt=0,1,…,Nt-1，將式(12)代入式(14)可得：

(15)

式中，

式(15)所得到的yl,k為接收到的導(dǎo)頻信號(hào)矩陣Y中第(l+1,k+1+Mv/2)個(gè)元素，將導(dǎo)頻信號(hào)矩陣Y轉(zhuǎn)化為列向量形式y(tǒng)，則yl,k為向量y的第lNτ+k+1+Mv/2個(gè)元素，Y∈Nτ×Mv，y∈NτMv×1。同理，Hl1,k1,a為列向量hk的第lNt+a+1+Nt/2個(gè)元素，所以，式(15)可表示為：

(16)

(17)

定義：

(18)

(19)

式中，Φ∈NτMv×NgMgNt，h∈NgMgNt×1。則式(17)可表示：

y=Φh+z，

(20)

得到壓縮感知基礎(chǔ)模型，Φ為測(cè)量矩陣，滿足不相關(guān)性[7,19]。對(duì)此將信道估計(jì)問題轉(zhuǎn)換為壓縮感知信號(hào)重構(gòu)問題。

2 算法設(shè)計(jì)及分析

3D-B2ACoSaMP算法主要部分為：一是創(chuàng)新性地通過結(jié)合角維和時(shí)延維信道，對(duì)時(shí)延維稀疏度估計(jì)以及角域維度塊位置及塊長(zhǎng)度估計(jì)；二是對(duì)于多普勒域信道稀疏塊位置已知，對(duì)塊長(zhǎng)度進(jìn)行估計(jì)。將h和Φ進(jìn)行初始分塊：

(21)

(22)

3D-B2ACoSaMP算法流程：

輸入：測(cè)量向量y，測(cè)量矩陣Φ，迭代次數(shù)t=1，步長(zhǎng)S=1，分塊索引λ=0；

步驟1：初始化：r0=y，索引J0=?，Λ0=?，支撐集Φ0=?，塊長(zhǎng)度Nt/2λ;

步驟 2：塊相關(guān)測(cè)試：

步驟 3：將列向量ut轉(zhuǎn)換為二維矩陣形式et，同時(shí)更新索引Λt：

et=invec{ut}；

步驟 5：求最小二乘解

步驟 8：更新支撐集

步驟 9：更新殘差

rt,v=y-Φ(ΦΩtTΦΩt)-1ΦΩtTy;

步驟11：如果‖rt‖2>‖r0‖2則重構(gòu)失敗，進(jìn)入步驟13；如果‖rt‖2≥‖rt-1‖2，令S=S+1，支撐集、殘差和估計(jì)信道均取上一次迭代結(jié)果。

步驟12：重復(fù)步驟2～11，直至滿足‖rt‖2/‖r0‖2≤pth。

步驟13：更新分塊索引

λ=λ+1;

步驟14：重復(fù)步驟1～13，當(dāng)滿足迭代停止條件或者塊長(zhǎng)度滿足Nt/2λ=1。

輸出：信道h，殘差rk。

通過上述分析，三維信道結(jié)構(gòu)之中，時(shí)延維稀疏度未知，多普勒維唯一塊長(zhǎng)度未知，角維唯一塊長(zhǎng)度和位置均未知，對(duì)此， 3D-B2ACoSaMP算法中將三維信道中時(shí)延-角域維度二維矩陣轉(zhuǎn)換為一維向量模式，結(jié)合多普勒維度，將三維信道矩陣轉(zhuǎn)化為二維信道模式，以方便接下來(lái)算法中信道支撐集獲取。

用戶移動(dòng)速度在同一時(shí)間相同，對(duì)此，定義每個(gè)主路徑多普勒維度的唯一塊長(zhǎng)度相同。下面將算法之中的主要步驟進(jìn)行解釋。步驟3～6為時(shí)延維信道估計(jì)，對(duì)于步驟3中：

et=invec{ut}，

(23)

et∈Mg×NgNt，是將步驟2得到的塊相關(guān)矩陣按照?qǐng)D3轉(zhuǎn)換成三維矩形，之后再以(Mg×Ng)為基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換成二維矩陣，以便于簡(jiǎn)化算法中對(duì)時(shí)延稀疏度估計(jì)的復(fù)雜度，步驟4～6為時(shí)延為支撐集的獲取。

步驟7中：

(24)

為多普勒維信道非零塊長(zhǎng)度的獲取，根據(jù)信道矩陣之中能量集中的原則，通過設(shè)定噪聲門限pth，可以排除大多數(shù)噪聲路徑，完成對(duì)多普勒維支撐集獲取。

步驟9～10，通過殘差比較，判斷本次迭代獲得的多普勒支撐是否優(yōu)于上一次迭代獲得的多普勒支撐集，最終選擇最優(yōu)支撐集，其步驟如圖5所示。

圖5 3D-B2ACoSaMP算法中判斷條件Fig.5 Decision conditions of 3D-B2ACoSaMP algorithm

步驟11～12為算法輸出判定。其中監(jiān)督條件為‖rt‖2/‖r0‖2≤pth，停止條件為‖rt‖2≤10-2pth，當(dāng)滿足監(jiān)督條件而不滿足停止條件時(shí)，進(jìn)入步驟13，更新塊長(zhǎng)度，通過迭代循環(huán)來(lái)獲得角維塊長(zhǎng)度和位置的判定，獲得角維支撐集的獲取。當(dāng)監(jiān)督條件和停止條件均滿足時(shí)，輸出信道估計(jì)結(jié)果。3D-B2ACoSaMP算法流程圖如圖6所示。

圖6 3D-B2ACoSaMP算法流程Fig.6 Flow chart of 3D-B2ACoSaMP algorithm

算法主要應(yīng)用了塊長(zhǎng)度和塊稀疏度自適應(yīng)思想。對(duì)于塊稀疏度自適應(yīng)，其思想來(lái)源于SAMP算法，對(duì)此不再敘述。塊長(zhǎng)度自適應(yīng)，通過迭代殘差來(lái)判斷塊長(zhǎng)度，當(dāng)重構(gòu)后殘差反向增大，則通過塊長(zhǎng)度減半來(lái)逐漸接近真實(shí)塊長(zhǎng)度。雖然提高了算法復(fù)雜度，但提高了其應(yīng)用優(yōu)勢(shì)，而且通過塊回溯思想，減少重構(gòu)錯(cuò)誤提高重構(gòu)概率。

3 仿真分析

以Massive MIMO系統(tǒng)下3GPP標(biāo)準(zhǔn)空間信道模型進(jìn)行建模，信道稀疏度未知，對(duì)LS算法、CoSaMP算法以及提出的3D-B2ACoSaMP算法進(jìn)行仿真，仿真參數(shù)如表1所示。OTFS幀沿多普勒維度數(shù)量M定義為M=Mv，比較了LS算法、CoSaMP算法及3D-B2ACoSaMP算法在信噪比、導(dǎo)頻數(shù)量、基站天線數(shù)量及用戶移動(dòng)速度等情況下的算法性能。算法性能通過歸一化均方誤差(NMSE)和誤比特率(BER)表示。

表1 仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters

算法性能將通過參數(shù)NMSE進(jìn)行評(píng)估，LS算法NMSE表示為：

(25)

最終結(jié)果為所有Nt根天線的平均值。根據(jù)式(20)，CoSaMP算法及3D-B2ACoSaMP算法NMSE表示為：

(26)

圖7為不同SNR下LS算法、CoSaMP算法及3D-B2ACoSaMP算法性能比較。其中基站有32根天線，導(dǎo)頻數(shù)量為240，用戶以100 m/s的速度前進(jìn)。LS算法性能較差，遠(yuǎn)低于基于CS的算法，這是因?yàn)閷?dǎo)頻數(shù)量較少導(dǎo)致的，難以實(shí)際應(yīng)用。從圖中可以看出，3D-B2ACoSaMP算法性能最優(yōu)，和CoSaMP算法比較，每次迭代對(duì)多普勒唯一塊進(jìn)行估計(jì)，提高了算法精度，在SNR上約有8 dB的性能優(yōu)勢(shì)。

圖7 不同信道估計(jì)算法性能與SNR之間的關(guān)系Fig.7 Relationship between the performance of different channel estimation algorithms and SNR

圖8為導(dǎo)頻數(shù)量對(duì)算法性能的影響?；居?2根天線，用戶以100 m/s的速度前進(jìn)，SNR=5 dB。LS算法性能最差，基本難以獲得可以使用的CSI，3D-B2ACoSaMP信道估計(jì)算法性能最優(yōu)，而且隨著導(dǎo)頻數(shù)量的增加，3D-B2ACoSaMP信道估計(jì)算法性能優(yōu)勢(shì)在加大，總體來(lái)說(shuō)，同CoSaMP算法相比，導(dǎo)頻占比少了約10%。

圖8 不同信道估計(jì)算法性能與導(dǎo)頻數(shù)量之間的關(guān)系Fig.8 Relationship between the performance of different channel estimation algorithms and the number of pilots

圖9為不同天線數(shù)量對(duì)算法的影響。SNR=5 dB，用戶以100 m/s的速度前進(jìn)，導(dǎo)頻數(shù)量為240?？梢钥闯?，LS算法性能最差，而且隨著天線數(shù)量的增多，其性能快速降低。3D-B2ACoSaMP信道估計(jì)算法性能最優(yōu)，算法利用了信道的三維稀疏結(jié)構(gòu)，獲得了比CoSaMP算法更高的性能。

圖9 不同信道估計(jì)算法性能與BS側(cè)天線數(shù)量之間的關(guān)系Fig.9 Relationship between the performance of different channel estimation algorithms and the number of BS side antennas

圖10給出了用戶移動(dòng)速度對(duì)算法性能的影響。設(shè)置基站有32根天線，SNR=5 dB，導(dǎo)頻數(shù)量為240。整體來(lái)說(shuō)，隨著速度的增加，多普勒頻移會(huì)提高，多普勒方向的信道也會(huì)隨之?dāng)U展，導(dǎo)致算法在性能會(huì)出現(xiàn)下降。在同一導(dǎo)頻開銷下，本文提出的算法性能優(yōu)于CoSaMP算法，遠(yuǎn)高于LS算法。

圖10 不同信道估計(jì)算法性能與用戶端移動(dòng)速度之間的關(guān)系Fig.10 Relationship between the performance of different channel estimation algorithms and the moving speed of user terminal

圖11為SNR和算法BER性能比較?；贠TFS系統(tǒng)，用戶以100 m/s的速度前進(jìn)，分別以理想狀態(tài)下CSI，通過LS算法、CoSaMP算法、3D-B2ACoSaMP算法估計(jì)得到的CSI，進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，通過時(shí)延-多普勒二維反褶積方法進(jìn)行信號(hào)檢測(cè)，BER為性能指標(biāo)，可以得到，傳統(tǒng)LS算法獲得的CSI精確度最差，3D-B2ACoSaMP算法性能優(yōu)于CoSaMP算法，在低信噪比情況下CoSaMP算法及3D-B2ACoSaMP算法性能接近，而且，對(duì)于3D-B2ACoSaMP算法，在SNR低于15的時(shí)候，非常接近理想狀態(tài)下BER性能曲線；在SNR大于15的時(shí)候，和理想狀態(tài)下BER性能曲線較為接近，基本也處于同一量級(jí)，BER大小均在10-3～10-5之間，算法性能優(yōu)秀。

圖11 信噪比和算法BER性能比較Fig.11 Comparison of SNR and algorithm BER performance

4 結(jié)束語(yǔ)

研究了Massive MIMO OTFS系統(tǒng)時(shí)延-多普勒-角域稀疏信道模型，提出了3D-B2ACoSaMP算法，通過Matlab在高速場(chǎng)景下進(jìn)行了仿真分析，仿真結(jié)果表明LS算法性能較差，3D-B2ACoSaMP算法性能相較于CoSaMP算法在信噪比上約有8 dB的性能優(yōu)勢(shì)。在BER性能上，3D-B2ACoSaMP算法性能優(yōu)于CoSaMP算法，接近理想狀態(tài)下BER性能曲線。本文并未在毫米波頻段下進(jìn)行信道估計(jì)研究，而且對(duì)導(dǎo)頻矩陣設(shè)計(jì)未進(jìn)行深入研究，接下來(lái)可以研究毫米波下Massive MIMO OTFS系統(tǒng)信道估計(jì)以及對(duì)導(dǎo)頻序列進(jìn)行研究，來(lái)提高信道估計(jì)性能。