基于牛頓迭代二值采樣信號參數(shù)估計的魯棒算法*

陸敏杰，劉兆霆

(杭州電子科技大學通信工程學院，浙江 杭州 310000)

在諸如目標定位跟蹤、系統(tǒng)辨識、語音合成和分析、雷達和聲納信號處理、回歸分析等方面，其中的許多問題本質(zhì)上可以歸結(jié)為參數(shù)估計問題。近年來，由于大規(guī)模無線傳感器網(wǎng)絡(Wireless Sensor Networks，WSNs)的發(fā)展，基于WSNs的參數(shù)估計成為國內(nèi)外研究的熱點。它利用WSNs末梢大量無線傳感器節(jié)點收集周圍的物理或環(huán)境狀況(比如溫度、聲音、振動、壓力、運動或污染物等)，并對其進行分析、加工、傳輸，以實現(xiàn)對感興趣的物理目標和信息的提取、識別或控制等目的。針對這個問題，國內(nèi)外已經(jīng)報道大量的理論研究成果，并探索了在自適應系統(tǒng)[1]、無線通信[2－3]、目標跟蹤[4－5]、雷達和聲吶[6－7]等方面的相關(guān)應用。這些研究成果利用WSNs節(jié)點的冗余性提高了信號的空間分集增益，顯示出WSNs具有為人們生產(chǎn)生活提供高質(zhì)量服務的潛能。

然而，無線傳感器節(jié)點的特點是能量存儲、數(shù)據(jù)處理能力、和通信能力等都十分有限。低比特數(shù)據(jù)傳輸和處理有利于節(jié)約網(wǎng)絡的開支和降低節(jié)點的能耗，但這給基于低比特數(shù)據(jù)且滿足性能要求的算法設計帶來較大的挑戰(zhàn)。目前，國內(nèi)外學者也已經(jīng)開展了大量基于WSNs低比特參數(shù)估計問題的研究[8－12]。值得注意的是，在實際應用中，某些節(jié)點可能處于較為惡劣的環(huán)境，其信道容易受到干擾；另外，低比特(單比特)數(shù)據(jù)本身在傳輸過程中也很容易受到干擾，這些干擾將導致比特值隨機反相。由于這些低比特數(shù)據(jù)不包含校驗位，因此接收端無法判斷數(shù)據(jù)的真實性。直接利用這些數(shù)據(jù)進行分析會導致現(xiàn)有參數(shù)估計算法出現(xiàn)嚴重偏差。另一方面，信號參數(shù)估計問題也常常受到乘性噪聲的影響，典型的例子如雷達圖像中的散斑噪聲、信號傳輸中的多徑干擾等。不同于加性噪聲，乘性噪聲難以從信號中單獨分離出噪聲成分，會對估計結(jié)果造成很大影響。

針對這個問題，本文討論了基于WSNs二值測量信號的參數(shù)估計問題，研究了在信號加性噪聲、二值信道擾動噪聲，以及乘性噪聲存在情況下的魯棒估計算法。我們將問題建模為二值變量含誤差(Errors-In-Variables，EIV)系統(tǒng)模型的參數(shù)估計問題，提出了一種基于極大似然框架下的牛頓法和擬牛頓法。論文推導了參數(shù)估計的克拉美羅下界(Cramér-Rao lower bound，CRLB)，并與本文提出算法的估計結(jié)果進行了仿真比較，驗證了算法具有較快的收斂性和較好的魯棒性。

1 信號模型

考慮由N個無線節(jié)點構(gòu)成的傳感器網(wǎng)絡，每個節(jié)點能夠感知網(wǎng)絡環(huán)境周圍1比特信息yi，i＝1，2，…，N，并且滿足下列二值EIV模型:

考慮到網(wǎng)絡并非是處于理想環(huán)境，節(jié)點與處理中心之間的二值傳輸信道存在隨機擾動，導致處理中心接收到的比特信號可能發(fā)生反相。也就是說，當?shù)趇個節(jié)點發(fā)送的真實比特信息值為yi＝＋1(或者－1)，而處理中心接收到的信號可能變成了＝－1(或＋1)，它們之間可以表示為如下關(guān)系式:

式中，εi∈(1，－1)表示二值干擾噪聲。本論文假設存在擾動的差錯概率為μ，即P(εi＝－1)＝μ。

論文的目的是在受到乘性噪聲ei、加性噪聲ni、以及二值噪聲εi同時干擾的情況下，利用獲得的二值測量值{~yi，i＝1，2，…，N}設計相應的算法，使得處理中心能夠提供參數(shù)矢量w的有效估計。為了提高在不同環(huán)境噪聲干擾情況下參數(shù)估計的魯棒性，同時又保證算法具有較快的收斂性，我們分別提出基于極大似然框架下的牛頓和擬牛頓的循環(huán)迭代算法。

2 極大似然估計

我們首先將模型(1)等價表示為:

令I(lǐng)＋和I—分別表示事件{i｜yi＝1，i＝1，2，…，N}和事件{i｜yi＝－1，i＝1，2，…，N}的集合，根據(jù)式(3)，和P(yi＝－1；，我們可以得到似然函數(shù):

式中，v＝w/σz，y＝[y1，y2，……，yN]T，Φ(u)＝。根據(jù)(4)，對數(shù)似然函數(shù)可以表示為。理想情況下，我們可以通過

獲得w的估計；但是實際情況下，從節(jié)點到處理中心的二值信道是非理想的，處理中心接收到的數(shù)據(jù)矢量為~y，它并不完全等于y。如果忽略這一點而仍舊按照(5)直接采用

那么相應的估計算法是非魯棒的，利用該方法獲得的參數(shù)估計值將出現(xiàn)嚴重偏差。

因此，不同于式(6)，為了獲得更具魯棒性的算法，我們考慮

注意到，

3 二值牛頓法

假設在第k次迭代后得到的參數(shù)估計值為vk，對應的梯度值為gk、Hessian矩陣為Gk，那么第k＋1次迭代后所得到的參數(shù)值vk＋1可通過牛頓法更新為:

式中，αk表示搜索步長，符號[·]－1表示矩陣的逆。

值得注意的是，在整個算法迭代的過程中，當搜索步長αk為固定值時，如果αk較大，可能會導致算法無法收斂、計算結(jié)果不夠理想；如果αk較小，會導致算法收斂速度變得緩慢。為了使每一次迭代的結(jié)果更精確，可以通過線性搜索準則來計算出一個較為合適的搜索步長αk，即:

否則將:

式中，δ1和δ2均為給定的參數(shù)(0＜δ1＜1，0＜δ2＜1)。在獲得vML后，我們可以通過下面的關(guān)系式計算wML:

4 二值擬牛頓法

由于Hessian矩陣求逆的運算量大，并且目標函數(shù)l(~y；v)的Hessian矩陣的正定性無法保證，從而不能保證搜索方向是下降方向。為了解決這個問題，考慮使用擬牛頓法進行二值信道的參數(shù)估計。擬牛頓法利用近似Hessian矩陣的正定逆矩陣計算搜索方向，這既減少了算法的運算量，也保證了搜索方向的正確性。

假設Dk－1為第k－1次迭代循環(huán)后的近似Hessian矩陣的逆矩陣(D0設置為p×p的單位矩陣)，vk－1為第k－1次循環(huán)得到的參數(shù)估計值，gk－1為第k－1次循環(huán)的梯度值，那么第k次迭代循環(huán)后的近似Hessian矩陣的逆矩陣Dk可以通過下式得到:

式中，Δv＝vk－vk－1，Δg＝gk－gk－1，符號(·)T表示向量的轉(zhuǎn)置。結(jié)合Dk，通過二值擬牛頓法獲得參數(shù)v的更新為

二值擬牛頓法

獲取估計值vML后，最后利用式(16)計算出估計值wML。

具體算法步驟總結(jié)如下表:

顯然，當近似Hessian矩陣Dk由真實的Hessian矩陣Gk的逆矩陣代替時，上述二值擬牛頓算法即為上一節(jié)的二值牛頓算法。二值擬牛頓法避免了Hessian矩陣Gk的求逆運算，一般矩陣求逆的運算量級是矩陣維數(shù)的3次方，因此二值擬牛頓法比二值牛頓法節(jié)省了大約p3量級的運算量。

5 克拉美羅下界(CRLB)

在一定的正則條件下，極大似然估計量的均方誤差漸進達到CRLB。因此CRLB為算法的性能提供了一個合理的準則。根據(jù)定義，我們可以先計算費歇耳(Fisher)信息矩陣的逆矩陣J:

另外，利用Sherman-Morrison公式[13]，偏導?vt(v)可以計算為:

式中，H∈?p×N為感測矩陣，H＝[h1，h2，…，h3]，符號Λ表示對角矩陣，對角元素

均方誤差的CRLB是矩陣J的跡，即CRLB＝tr{[MHΛ(MH)T]－1}。

6 性能測試分析

本節(jié)通過MATLAB的性能測試來分析和驗證算法的性能，測試數(shù)據(jù)均通過1 000次的蒙特卡羅平均得到。并且給出了均方誤差和克拉美羅下界的實驗對比。

不失一般性，假設待估計參數(shù)真實值w0＝[－0.5，1.06，0.7]T，加性噪聲方差＝0.6，乘性噪聲方差＝0.8，傳感器個數(shù)N＝800。圖1比較了分別利用梯度下降算法和牛頓算法得到的均方誤差，并且考慮了在理想(μ＝0)和非理想(μ＝0.1)信道兩種情況，其中橫坐標為算法的迭代次數(shù)?？梢钥闯觯蹬ｎD法比二值梯度下降法收斂速度更快，這一結(jié)果也與統(tǒng)計信號處理經(jīng)典理論是一致的。

圖1 二值牛頓法與二值梯度下降法的均方誤差與迭代次數(shù)的關(guān)系對比

圖2對比了二值牛頓法與二值梯度下降法的均方誤差與傳感器個數(shù)的關(guān)系，設待估計參數(shù)真實值w0＝[－0.5，1.06，0.7]T，加性噪聲方差＝0.6，乘性噪聲方差＝0.8。考慮理想(μ＝0)和非理想(μ＝0.1)信道兩種情況，觀察圖2，發(fā)現(xiàn)隨著傳感器個數(shù)的增加，二值牛頓法的收斂速度依舊比二值梯度下降法快，這進一步驗證了圖1的實驗結(jié)論。通過對比圖2(a)和圖2(b)，可以發(fā)現(xiàn)在具有擾動的環(huán)境下，二值牛頓法具有較好的魯棒性。

圖2 二值牛頓法與二值梯度下降法的均方誤差與傳感器個數(shù)的關(guān)系對比

圖3對比了基于式(10)得到的魯棒二值牛頓算法和基于式(6)得到的二值牛頓算法。設置待估計參數(shù)真實值w0＝[0.3，0.4，0.5]T，加性噪聲方差＝1，乘性噪聲方差＝0.3，信道的干擾差錯概率μ分別設置為0.1，0.15，0.2。從圖3中可以看出在非理想信道環(huán)境中，隨著傳感器個數(shù)N的增加，估計值的均方誤差逐漸減?。磺以谙嗤母蓴_差錯概率μ下，基于式(10)的魯棒性二值牛頓算法的均方誤差明顯小于基于式(6)的非魯棒性算法的均方誤差。前者具有更好的抗干擾能力，其算法精度明顯高于后者。

圖3 非理想信道下，基于式(6)非魯棒性二值牛頓法與基于式(10)的魯棒性二值牛頓法的對比

我們進一步驗證乘性噪聲和加性噪聲對二值牛頓算法的影響。圖4(a)的性能測試結(jié)果給出了加性噪聲固定的情況下，不同的乘性噪聲方差對均方誤差的影響；而圖4(b)給出了在乘性噪聲固定的情況下，不同的加性噪聲方差對均方誤差的影響。該性能測試結(jié)果進一步驗證了基于式(10)推導的二值牛頓法具有更好的估計性能。

圖4 乘性噪聲和加性噪聲對二值牛頓法的均方誤差的影響

圖5對比了在不同噪聲環(huán)境下二值牛頓法和二值擬牛頓法的均方誤差以及對應的CRLB。設置擾動差錯概率μ＝0.1，待估計參數(shù)真實值w0＝[－0.5，0.6，0.7]T?？梢钥吹?，當傳感器個數(shù)N增大時，兩種算法的估計值的均方誤差都將減小，且均方誤差的曲線均逐漸趨向于對應的CRLB曲線。同時從圖5也可以看出，隨著傳感器數(shù)量的增加，二值擬牛頓法和二值牛頓法的估計誤差逐漸縮小。注意到，二值擬牛頓法避免了Hessian矩陣求逆運算，比二值牛頓法的運算量更低。在本次性能測試中，得到牛頓法的平均時間開銷為4.582 88 s，而擬牛頓法的平均時間開銷為2.967 44 s。因此，在傳感器數(shù)量足夠多的情況下，我們可以利用二值擬牛頓法代替二值牛頓法。

圖5 二值牛頓法與二值擬牛頓法的均方誤差和對應的CRLB的對比

7 結(jié)束語

本文研究了在乘性噪聲環(huán)境下，基于傳感器網(wǎng)絡的二值測量信號的矢量參數(shù)估計問題，分別提出了二值牛頓算法和二值擬牛頓算法，并且推導了克拉美羅下界。性能測試結(jié)果表明，提出的算法具有較快的收斂性，并且針對傳感器節(jié)點到處理中心的二值信道存在噪聲擾動的非理想情況具有較好的魯棒性；同時，隨著傳感器數(shù)量的增加，算法的均方估計誤差逐漸接近克拉美羅下界。