應(yīng)用型高校數(shù)學(xué)專業(yè)實驗課程的改革實踐
——以呂梁學(xué)院為例

李香林,高靈芝

(呂梁學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 離石 033001)

一、數(shù)學(xué)專業(yè)實驗課程改革思路

圍繞“重基礎(chǔ)、強技能、多實踐、求創(chuàng)新”人才培養(yǎng)思路，數(shù)學(xué)實驗按照學(xué)科的發(fā)展規(guī)律和學(xué)生的認(rèn)知層次進行整合和優(yōu)化，將以前一門數(shù)學(xué)實驗課程內(nèi)容內(nèi)化在多門專業(yè)課程中，根據(jù)學(xué)科發(fā)展前沿和教師科研課題，不斷更新實驗實踐教學(xué)內(nèi)容。

首先按照數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展規(guī)律，系統(tǒng)地構(gòu)建由課程內(nèi)實驗—課外社會實踐—課外科研實踐—畢業(yè)論文(設(shè)計)四大類實踐課程模塊構(gòu)成的實踐教學(xué)體系。

其次根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律分別對四大類實踐課程模塊設(shè)立由基礎(chǔ)性實驗/實踐(注重專業(yè)基本知識、技能和方法訓(xùn)練)—綜合性、設(shè)計性實驗/實踐(注重對科學(xué)研究方法、科學(xué)探究過程的了解和體驗)—創(chuàng)新性實驗/實踐(注重研究能力和創(chuàng)新能力培養(yǎng))構(gòu)成的三層次實踐教學(xué)內(nèi)容。

第三，層次性教學(xué)同時體現(xiàn)在隨著年級的升高，基礎(chǔ)性實驗比例減少，創(chuàng)新性實驗比例增加。

二、實驗課程體系設(shè)計

圖1 實踐教學(xué)體系

(一)實驗環(huán)境的選擇

數(shù)學(xué)實驗可以有多種軟件可選擇，最為流行通用的軟件有Maple,Matlab，Mathmatics,SPSS，SAS,C語言等。每種工具有其各自的擅長之處，Matlab、SPSS在數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中廣泛使用。

(二)實驗內(nèi)容設(shè)計

遵循實驗內(nèi)容的層次性教學(xué)，將實驗內(nèi)容設(shè)計成基礎(chǔ)性實驗—綜合性、設(shè)計性實驗-創(chuàng)新性實驗三個層次，在有限的時數(shù)內(nèi)，選擇不同層次的實驗內(nèi)容，基礎(chǔ)性實驗基本是簡單的命令及驗證性內(nèi)容，可以讓學(xué)生看到驗證結(jié)果；綜合性、設(shè)計性實驗以解決實驗問題為主，綜合運用到所學(xué)課程內(nèi)容。隨著年級的升高，專業(yè)課程的增加，實驗內(nèi)容應(yīng)由第1學(xué)期以基礎(chǔ)驗證為主，第2-4學(xué)期以設(shè)計、綜合運用為主，到第5-8學(xué)期以創(chuàng)新運用為主。

表1 數(shù)學(xué)專業(yè)各年級實驗課程層次圖

(三)教學(xué)過程設(shè)計

實驗教學(xué)不同于理論教學(xué)，且實驗時數(shù)較少，教學(xué)過程中可以將基礎(chǔ)性驗證性實驗由學(xué)生自己課下完成，設(shè)計、綜合性實驗分小組課前討論，完成建模、編程、求解，同時教師根據(jù)學(xué)生實驗過程中存在的問題進行分析修改，以幫助學(xué)生完成全部實驗。即實驗課主要以學(xué)生為主體，老師為主導(dǎo)進行，讓學(xué)生完整體驗數(shù)學(xué)解決實際問題的樂趣。

(四)課外社會實踐

數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生需獲得4個學(xué)分的創(chuàng)新實踐學(xué)分，該學(xué)分不占課堂時間，其中數(shù)學(xué)建模競賽、挑戰(zhàn)杯比賽、行業(yè)數(shù)據(jù)分析、創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)等活動都可以獲得相應(yīng)學(xué)分。在這些活動中能運用數(shù)學(xué)實驗的思想方法將理論運用于實際生活與工作。

(五)課外科研實踐

在大一完成基礎(chǔ)實驗的情況下，從大二開始選拔優(yōu)秀的學(xué)生參與教師科研項目。如圖像處理、信息隱藏、數(shù)據(jù)挖掘、數(shù)據(jù)分析等。同時將學(xué)生組成學(xué)習(xí)小組，開展學(xué)習(xí)活動，學(xué)習(xí)內(nèi)容包括數(shù)學(xué)實驗中用到的典型算法、工具、論文寫作以及數(shù)學(xué)在各學(xué)科、行業(yè)中的最新應(yīng)用等。

(六)畢業(yè)論文(設(shè)計)

畢業(yè)論文是專業(yè)學(xué)習(xí)的綜合應(yīng)用，要求有創(chuàng)新性。在前期分層次的數(shù)學(xué)實驗學(xué)習(xí)中，學(xué)生已培養(yǎng)起初步的綜合性能力，在畢業(yè)論文寫作期間可以發(fā)揮創(chuàng)造性，獨立運用數(shù)學(xué)實驗?zāi)芰鉀Q論文或設(shè)計中的問題。

(七)課程考核

實驗課程考核圍繞課程理論的應(yīng)用及自主動手能力進行。實驗課程考核主要以實驗項目報告為依據(jù)，每個實驗項目都設(shè)置了考察點，從數(shù)學(xué)理論的理解、建模、編程求解等方面考察，另外實驗報告的排版及其整體的美觀性也是考察之一。設(shè)計性、綜合性實驗以小組考察為主，每組2-3人。一般實驗課程的考核占到本門課程總成績的10%。畢業(yè)論文實踐性是考察有無實際意義的主要指標(biāo)。

三、《高等代數(shù)》實驗課教學(xué)實例

高等代數(shù)是一門專業(yè)基礎(chǔ)課，其在實際生產(chǎn)生活中應(yīng)用廣泛。圍繞以培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力為重點，以問題為載體,以計算機為手段,以數(shù)學(xué)軟件為工具,以學(xué)生為主體開展高等代數(shù)實驗教學(xué)。

表2 高等代數(shù)實驗內(nèi)容

(一)基礎(chǔ)性實驗

1.大量的驗證計算

矩陣在高等代數(shù)中有著特殊的地位和作用，矩陣的眾多運算，如加減法、乘法、轉(zhuǎn)置、逆矩陣、行列式、秩、特征值等相關(guān)的知識基本構(gòu)成高等代數(shù)內(nèi)容的骨架和血肉。Matlab 數(shù)學(xué)軟件有強大的矩陣運算功能，如多項式的相關(guān)運算(尤其是多項式的求根)、計算行列式、解方程組、求特征值與特征向量、求矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形等可以作為驗證性實驗內(nèi)容。

教學(xué)案例1：講行列式的計算時，由于行列式的計算比較困難，需要很強的技巧性，而且計算量也大，通過命令det( )很方便得出結(jié)果。

教學(xué)案例2：講矩陣秩的計算時，需利用矩陣的初等變換把該矩陣階梯化才可求其秩，通過命令rank( )很方便得出結(jié)果，并且還可以通過矩陣的秩進一步判斷向量組的線性相關(guān)性。

2.抽象問題直觀化

高等代數(shù)具有高度抽象性使得學(xué)生學(xué)起來非常吃力。面對高度抽象的知識，除了幫助學(xué)生找到豐富的直觀背景外，還可以通過數(shù)學(xué)實驗，將諸多抽象的問題直觀化。如，在線性空間與線性變換學(xué)習(xí)中，要求學(xué)生利用數(shù)學(xué)軟件，對向量的坐標(biāo)與夾角、向量的線性變換等進行演示，便于學(xué)生理解，也可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

實驗過程：

x=[0 1 1 0;0 0 1 1]；

subplot(2,3,1),fill([x(1,:),0],[x(2,:),0],'r')

A1=[-1,0;0,1],y1=A1*x；

subplot(2,3,2),fill([y1(1,:),0],[y1(2,:),0],'g')

A2=[1.5,0;0,1],y2=A2*x；

subplot(2,3,3),fill([y2(1,:),0],[y2(2,:),0],'g')

A3=[1,0;0,1.5],y3=A3*x；

subplot(2,3,4),fill([y3(1,:),0],[y3(2,:),0],'g')

A4=[1,0.5;0,1],y4=A4*x；

subplot(2,3,5),fill([y4(1,:),0],[y4(2,:),0],'g')

t=pi/6

A5=[cos(t),sin(t)；-sin(t),cos(t)],y5=A5*x；(%t為逆時針旋轉(zhuǎn)的角度)

subplot(2,3,6),fill([y5(1,:),0],[y5(2,:),0],'g')

實驗結(jié)果如圖3.

圖3 案例3實驗結(jié)果

3.知識點融會貫通

利用Matlab的繪圖功能，能清楚描繪各種圖形，利用它可以將數(shù)學(xué)知識點融會貫通。如，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的過程，其實質(zhì)就是利用坐標(biāo)變換，將解析幾何中所涉及的一般二次曲面方程化為標(biāo)準(zhǔn)形，這也是二次型的幾何意義所在。為此，在進行高等代數(shù)實驗時，首先繪出一般二次曲面的三維圖形；其次，繪出該二次型標(biāo)準(zhǔn)形所表示的二次曲面的三維圖形；最后，通過形象的對比、分析新舊二次曲面三維圖形的聯(lián)系與區(qū)別。這樣，不僅可以將學(xué)生所學(xué)知識點得到驗證，而且也能與解析幾何所學(xué)知識相結(jié)合，很好地做到了知識點的融會貫通。

教學(xué)案例4：作二次型z=x2-8xy-5y2與其標(biāo)準(zhǔn)形z=-7x2+3y2的三維圖形

實驗過程：

clf,clear

x=-5:0.1:5;

y=-5:0.1:5;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

Z=X.^2-8*X*Y-5*Y.^2;(%作z=x2-8xy-5y2的三維圖形)

Z=X.^2-Y.^2;(%作z=-7x2+3y2的三維圖形)

mesh(X,Y,Z);

實驗結(jié)果如圖4和圖5.

(二)綜合性實驗

綜合性實驗是指實驗內(nèi)容涉及本課程的綜合知識或相關(guān)課程知識，通過運用綜合實驗方法、實驗手段，對學(xué)生實驗技能進行的綜合訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的綜合分析能力、實驗動手能力、數(shù)據(jù)處理以及查閱資料的能力。

圖4 z=x2-8xy-5y2的三維圖

圖5 z=-7x2+3y2的三維圖

1.數(shù)學(xué)建模思想滲透

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)知識的載體，把數(shù)學(xué)建模的思想滲透到高等代數(shù)實驗的教學(xué)中，可將所學(xué)高等代數(shù)知識與實際問題有機地結(jié)合，達(dá)到理論與實踐的統(tǒng)一。培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型，解決實際問題的能力。

2.教學(xué)方法

實驗教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的一個重要手段，教師引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實生活中抽象出數(shù)學(xué)問題，再運用高等代數(shù)以及其它學(xué)科的相關(guān)理論知識建立數(shù)學(xué)模型，并通過數(shù)學(xué)軟件對該模型進行求解與結(jié)果的驗證，最終又將該結(jié)果應(yīng)用到實踐中去。

教學(xué)案例5：隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，信息安全得到了更多的關(guān)注。利用矩陣進行加密是信息編碼的技巧,請同學(xué)們自己寫出明文(至少包含20個字母)，通過密鑰矩陣，利用矩陣的運算對其進行加密與解密。

教學(xué)案例6：根據(jù)呂梁學(xué)院數(shù)學(xué)系2013級專業(yè)人才培養(yǎng)模式(2+1+1模式)，要求學(xué)生在第三學(xué)年根據(jù)興趣和志愿分流為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育、應(yīng)用統(tǒng)計、信息安全、計算數(shù)學(xué)、軟件設(shè)計幾個方向，請學(xué)生依據(jù)自己的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、奮斗目標(biāo)等至少擬定3個選擇準(zhǔn)則，為自己選擇一個合適的學(xué)習(xí)方向。

在這兩個實驗中，學(xué)生需要分析問題—建立模型—解決問題。這兩個實驗中，綜合應(yīng)用了矩陣運算、特征值、特征向量、層次分析等不少數(shù)學(xué)理論知識。

(三)創(chuàng)新性實踐

實驗課上，老師不給現(xiàn)成的結(jié)論，而是根據(jù)學(xué)生所掌握的基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思想的發(fā)展等，創(chuàng)造問題情景，讓學(xué)生進行大量的圖形觀察、實際問題分析，從直觀想象進入到發(fā)現(xiàn)、猜想和歸納，然后進行驗證及理論證明。學(xué)生通過自己的探索實踐對數(shù)學(xué)現(xiàn)象進行認(rèn)真觀察、研究分析，從中發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，在觀察—分析—解決問題的過程中，嘗試著用所學(xué)數(shù)學(xué)知識對這些問題進行解決與修正。鼓勵并幫助學(xué)生組團申報“大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃項目”，無論這些創(chuàng)新點是做成畢業(yè)論文，還是申報成大學(xué)生創(chuàng)新項目，都可以使他們感覺到學(xué)有所得，體會到數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)用所學(xué)知識解決實際問題的學(xué)習(xí)興趣。

教學(xué)案例7：在綜合性實驗中，對矩陣加密同學(xué)們想法很多。如改變密鑰矩陣、利用矩陣的其它運算加密、利用高等代數(shù)中化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法加密、利用向量內(nèi)外積加密等等。源于同學(xué)們的這些想法，曾指導(dǎo)學(xué)生把“化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法加密”這一創(chuàng)新想法寫成了一篇畢業(yè)論文，把“利用向量內(nèi)外積加密”這一創(chuàng)新想法申報成了省級的大學(xué)生創(chuàng)新項目。

高等代數(shù)中基礎(chǔ)驗證性實驗簡單、易操作，綜合性實驗運用數(shù)學(xué)建模的思想方法對實際問題建模求解，創(chuàng)新性實驗發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，力求創(chuàng)新。實驗教學(xué)整體設(shè)計做到抽象與具體、理論與實踐的統(tǒng)一，達(dá)到了課程大綱教學(xué)目標(biāo)。

四、結(jié)語

數(shù)學(xué)實驗可以將數(shù)學(xué)抽象問題直觀化，數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)實驗教學(xué)是其著力點。隨著人工智能、虛擬現(xiàn)實技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)實驗課程的改革將是長期的，實驗項目內(nèi)容的不斷更新將使得數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容越來越豐富。

[1]許建強,樂經(jīng)良,胡良建.國內(nèi)數(shù)學(xué)實驗開展的現(xiàn)狀調(diào)查大學(xué)數(shù)學(xué)[J].2010(4).

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