基于迭代加權(quán)最小二乘的基擴展模型信道估計

田 瑋，鐘子發(fā)，張 玉

（1.解放軍電子工程學(xué)院，安徽 合肥 230037；2.安徽省電子制約技術(shù)重點實驗室，安徽 合肥 230037）

0 引言

接收機在高速移動環(huán)境下，信道的快速時變會引起OFDM系統(tǒng)載波間干擾，給準(zhǔn)確的信道估計帶來挑戰(zhàn)。傳統(tǒng)的方法是通過統(tǒng)計的多普勒頻譜來描述信道抽頭響應(yīng)［1］，但信道的快時變會導(dǎo)致信道待估計參數(shù)的增加，傳統(tǒng)信道估計方法無法求解，因此如何減少待估計參數(shù)，并準(zhǔn)確估計出快時變信道狀態(tài)信息成為當(dāng)前研究的熱點。

為減少信道的待估計參數(shù)，文獻［2］首先提出利用基擴展模型來擬合信道的快速時變特性，即利用實際信道的多普勒頻率擴展具有有限帶寬的性質(zhì)，把一個塊內(nèi)的時變多徑信道用數(shù)量很少的塊內(nèi)時不變的參數(shù)來表示。此外，由于信道快速時變破壞了子載波間的正交性，頻域信道矩陣不再是一個對角陣，信道估計在受到噪聲影響的同時還受到了來自其他數(shù)據(jù)子載波的干擾，這些為信道估計帶來了新的難題。文獻［3］針對信道的時變BEM模型，給出了時頻雙選信道的估計方法以及優(yōu)化訓(xùn)練序列，但所用估計算法性能受吉布斯效應(yīng)影響較大，隨著多普勒頻移的增大，性能逐漸惡化。文獻［4—5］在采用基擴展模型的基礎(chǔ)上，提出一種基于統(tǒng)計信道信息的LMMSE估計方法，吉布斯效應(yīng)得到明顯的遏制，但該方法需要信道的統(tǒng)計先驗信息，這在快時變信道環(huán)境下往往難以獲取。為更好的適應(yīng)快時變信道環(huán)境，本文在不需要先驗信道信息的前提下，提出基于迭代加權(quán)最小二乘的基擴展模型信道估計方法。

1 快時變信道系統(tǒng)模型及現(xiàn)有估計方法

在慢衰落信道下，由于多普勒頻移較小，信道狀態(tài)在一個OFDM符號內(nèi)往往是不變的，與慢衰落信道不同，快時變信道往往需要考慮的多普勒頻移較大，這會導(dǎo)致載波間干擾等一系列問題，符號內(nèi)的信道參數(shù)也較慢衰落信道大大增加。針對快時變信道的特點，本節(jié)主要給出時變狀態(tài)下的系統(tǒng)模型和基于基擴展模型的時變信道展開模型，此外還對當(dāng)前經(jīng)典的快時變信道估計算法進行了簡單介紹。

1.1 時變信道的OFDM系統(tǒng)模型

如圖一所示，對于一個具有N個子載波的OFDM系統(tǒng)，第k個OFDM符號s（k）經(jīng)過傅里葉逆變換成時域矢量，為消除OFDM符號干擾（ISI），每個符號發(fā)送到信道之前添加長度為Lcp的循環(huán)前綴（CP）作為保護，在接收端去CP后將信號通過一個時域窗口Γ＝ ［Γ0，…，ΓN－1］T的整形以減少多普勒效應(yīng)的影響，得到接收符號為y（t）（k），再經(jīng)過FFT解調(diào)恢復(fù)得到頻域接收符號y（k）。其中N點離散傅里葉變換矩陣可以表示 為 ［F］m，n＝1／exp（－j2πmn／N）。

圖1 時變信道下的OFDM模型Fig.1 The time－varying channel model

由圖1可以得出頻域接收向量為：

其中

當(dāng)信道為慢衰落是，信道狀態(tài)在一個OFDM符號內(nèi)不發(fā)生變化，H（t）（k）是一個循環(huán)的 Toeplitz矩陣；但在快變信道情形下，隨著多普勒頻移的增大，H（t）（k）不再是一個循環(huán)的 Toeplitz矩陣，因此對應(yīng)頻域信道響應(yīng)H（k）也不再是一個對角矩陣，意味著子載波間存在ICI，H（k）存在（L＋1）N非零的參數(shù)需要估計，即使符號s（k）是已知的，也無法求解?；鶖U展模型用相互正交的基函數(shù)逼近信道，使單個可分徑待估計量從符號長度減小到基函數(shù)的個數(shù)，從而達到減少待估計參數(shù)的效果。因此需要通過BEM模型將信道估計參數(shù)減小到小于N。

1.2 基于基擴展模型的時變信道模型

若將第l個信道抽頭在第k個OFDM符號中的變化寫成一個N×1維向量（k）＝，…，h］T，用 BEM 形式可以表示為（k）＝Bcl（k）＋εl（k），其中B表示BEM 矩陣，cl（k）為BEM 系數(shù)，εl（k）為建模誤差。把第k個OFDM符號中的抽頭對疊成一個向量，可以得到

通過最小化MSE，可以得到BEM系數(shù)：

常用的BEM模型有Karhuen－Loéve基擴展模型［5］（KL－BEM）、多項式基擴展模型［7］（Polynomial－BEM，P－BEM）、復(fù)指數(shù)基擴展模型［8］（Complex exponential BEM，CE－BEM）及 其 改 進 模 型［9］。KL－BEM實質(zhì)上是多普勒功率譜的降秩分解，在基于 最 小 均 方 誤 差 （Minimum mean square error，MSE）的意義上是最優(yōu)的，但該方法依賴于信道的統(tǒng)計特性；P－BEM模型采用多項式插值逼近的方法，但該方法不是基于多普勒頻移展開的，性能波動比較大；CE－BEM模型構(gòu)造簡單，但該方法存在嚴(yán)重的吉布斯（Gibbs）效應(yīng)，近似誤差較大。

通過分析各種BEM模型的優(yōu)缺點，本文采用過采樣 CE－BEM 模型［5］，基函數(shù) 可以表 示bq＝ej2πn（q－Q／2）／N／2，過 采 樣 CE－BEM 模 型 作 為 改 進 CE－BEM模型的一種，它在CE－BEM模型的基礎(chǔ)上通過提高采樣精度，能夠明顯降低CE－BEM模型的展開誤差。該模型構(gòu)造相對簡單，且對多普勒頻移不敏感，對快時變信道環(huán)境有很強的適應(yīng)性。由于討論算法僅基于一個OFDM符號，可以省略符號下標(biāo)k，把（2）代入（1）式可得到：

1.3 現(xiàn)有快時變信道估計方法

目前針對快時變信道的估計方法主要有LS算法和LMMSE算法。LS算法由于其計算簡單，且不需要任何信道狀態(tài)和噪聲的統(tǒng)計信息，在實際中應(yīng)用最為廣泛。然而本文中對于快速時變信道，由于ICI的存在，接收導(dǎo)頻信號不僅僅受到系統(tǒng)噪聲的影響，還受到其他非導(dǎo)頻子載波的干擾。隨著干擾的增大LS方法性能逐漸惡化，出現(xiàn)了明顯的吉布斯效應(yīng)。針對LS算法的不足，如何提高信道估計的精度，降低誤差平底成為我們要解決的關(guān)鍵問題，因此一種適用于時變信道環(huán)境的LMMSE算法被提出［10］。

兩種算法具體描述如下：令Θ為一個線性濾波器，待估計的BEM系數(shù)為，滿足＝Θy（ρ），通過最小化BEM系數(shù)c的方法，針對公式（4）得出的數(shù)據(jù)模型，可得出LS估計的表達式為：

LMMSE估計的表達式如下：

LMMSE方法對比LS算法能夠有效提高信道估計的性能。但該方法是基于統(tǒng)計和先驗信息的基礎(chǔ)上，并假設(shè)信道參數(shù)與噪聲和數(shù)據(jù)符合互不相關(guān)，在實際中這些都是很難成立的，尤其在信道嚴(yán)重惡化的快速時變信道環(huán)境下，子載波間的正交性遭到破壞，信道抽頭與噪聲和數(shù)據(jù)符號不相關(guān)難以保持，這導(dǎo)致該算法在實際應(yīng)用中受到一定的限制。

2 基于迭代加權(quán)最小二乘的基擴展模型信道估計算法

2.1 改進算法的導(dǎo)頻數(shù)據(jù)模型

快速時變信道往往采用導(dǎo)頻輔助的方法，到目前為止，如何設(shè)置快時變信道環(huán)境下的最優(yōu)導(dǎo)頻仍然是未知的，為了跟蹤信道各徑在一個符號間隔內(nèi)的變化，本文采用文獻［10］給出的導(dǎo)頻簇的導(dǎo)頻設(shè)計方法，假設(shè)系統(tǒng)有M個導(dǎo)頻簇，每一組的長度為dρ，記作，m＝0，1，…，M－1，如圖2所示，對于第m個導(dǎo)頻簇，數(shù)據(jù)符合也可以組成一個符號向量。此外，由于ICI的影響，導(dǎo)頻能量擴展到整個頻帶上，接收端需要決定利用哪部分來估計信道，觀測數(shù)據(jù)的選取將有利于提高信道的估計性能。

圖2 OFDM導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)Fig.2 OFDM pilot structure

由于信道的時變性，信道響應(yīng)矩陣近似帶狀結(jié)構(gòu)，假設(shè)Aq是嚴(yán)格帶限的，即僅在2R＋1個對角線上非零，根據(jù)這一特征，可以得到由導(dǎo)頻向量s（ρ）確定的 最 大 接 收 數(shù) 據(jù) 向 量 為 y（ρ）m ＝［［y］ρm＋R，…，［y］ρm＋dρ－R－1］T。由上一 節(jié) 中 式 （4）可以得出：

實際中由于Aq不是嚴(yán)格帶限的［11］，因此ξd項通常不為0，這給信道估計帶來了新的困難，把變量h代入上式，可以得到：

其中，

2.2 改進的迭代加權(quán)最小二乘估計算法

針對LS算法和LMMSE算法的不足，本文提出了一種基于基擴展模型的迭代加權(quán)的最小二乘方法（簡稱IWLS算法），該算法將信道矩陣h看作一個確定性的變量，將ICI干擾和噪聲看作一個干擾量ξ，然后通過該干擾量的協(xié)方差Rξ對LS估值濾波器進行加權(quán)，最后通過迭代獲得較為精確的估計值。具體步驟如下：

1）計算干擾量的協(xié)方差。

這里將信道矩陣h視為一個確定性的變量，并將式（11）中的噪聲干擾量ξn和數(shù)據(jù)干擾量ξd相加作為一個統(tǒng)一的干擾量ξ，然后通過協(xié)方差定義計算干擾量的協(xié)方差Rξ。由于噪聲干擾量ξn和數(shù)據(jù)干擾量ξd相互獨立，互協(xié)方差為0，干擾協(xié)方差Rξ可以通過分別計算出對應(yīng)的自協(xié)方差得到。

2）對LS估值濾波器加權(quán)。

將（9）中的接收數(shù)據(jù)模型代入式（5）中求出LS的估值濾波，并將之前得出的干擾量協(xié)方差Rξ求出后對其進行加權(quán)。由此可以得出本文IWLS算法估計值濾波器的遞歸表達式：

其中κ表示迭代次數(shù)。

3）迭代過程初始化。

3 仿真驗證

為了驗證本文提出的信道估計方法的有效性和實用性，在OFDM系統(tǒng)環(huán)境下進行仿真驗證。設(shè)置OFDM系統(tǒng)的仿真參數(shù)如下：子載波個數(shù)N＝256，循環(huán)前綴CP＝16，導(dǎo)頻數(shù)目占整個子載波數(shù)目的1／4，如圖2所示，采用插入均勻?qū)ьl簇的方式，每組導(dǎo)頻數(shù)目為dρ＝8，BEM模型基函數(shù)個數(shù)Q＝4，時變信道多徑數(shù)目L＝5，信道的抽頭系數(shù)為滿足Jakes多普勒頻譜、延時功率服從指數(shù)分布的復(fù)高斯隨機過程。采用歸一化的多普勒頻移fD來描述時變信道的多普勒擴展。仿真結(jié)果為500次蒙特卡羅仿真實驗得到的信道估計MSE，定義如下：

在采用本文仿真參數(shù)的前提下，圖3給出了幾種常見的BEM模型的誤差性能比較，為評價模型參數(shù)與實際信道參數(shù)不匹配造成的影響，實驗在歸一化多普勒頻移fD從0變化到0.5的條件下，得到幾種模型的 MSE，P－BEM和KL－BEM模型誤差性能總體上雖然較優(yōu)，但其受多普勒頻移的影響較為嚴(yán)重，且構(gòu)造不如CE－BEM簡單；CE－BEM其誤差較高，實際應(yīng)用中難以滿足估計性能的要求。綜合分析幾種模型的優(yōu)缺點，本文采用的過采樣CEBEM模型可以獲得遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于CE－BEM模型的誤差性能，且構(gòu)造較為簡單，受多普勒頻移的影響較小，能夠很好地擬合高速移動信道環(huán)境下的快時變特性。

圖3 BEM模型誤差性能比較Fig.3 BEM model error performance comparison

圖4、圖5分別給出了歸一化多普勒頻移fD為0.2和0.5條件下，本文所提的IWLS算法、LS算法與LMMSE算法的MSE性能隨信噪比變化的比較曲線。對比可以看出，LS算法始終存在較高的誤差平底，尤其在高信噪比的條件下，性能明顯劣與其他兩種方法。當(dāng)多普勒頻移較小時，LMMSE算法優(yōu)于另外兩種算法，但IWLS算法由于克服了LS算法較高誤差平底的缺陷，性能上已接近LMMSE算法；當(dāng)多普勒頻移較大時，LMMSE算法受影響較大，性能出現(xiàn)惡化，而IWLS算法依然保持較為理想的估計性能，明顯降低了LS算法的誤差平底。因此，在快時變信道下，IWLS算法具有更強的魯棒性。

圖4 歸一化多普勒頻移fD＝0.2時MSEFig.4 MSE when normalized Doppler shift fD＝0.2

圖5 歸一化多普勒頻移fD＝0.5時MSEFig.5 MSE when normalized Doppler shift fD＝0.5

圖6、圖7分別給出在SNR為10dB和40dB時，歸一化多普勒頻移fD在0到1之間變化時，三種算法MSE性能比較。對比可以看出：隨著多普勒頻移的增大，三種算法性能都受到不同程度的影響，LS在多普勒頻移較大時，存在較高的誤差平底；由于LMMSE依賴于信道統(tǒng)計狀態(tài)信息，可以看出其性能受多普勒頻移影響最為嚴(yán)重；IWLS算法不依賴于統(tǒng)計信道信息，對比可以看出，其MSE性能受多普勒頻移影響最小，當(dāng)多普勒頻移較大時，其性能優(yōu)于LMMSE算法，在信噪比較高時，這種現(xiàn)象尤為明顯。

圖6 SNR＝10dB時隨多普勒頻移變化的MSEFig.6 MSE changes with Doppler shift when SNR＝10dB

圖7 SNR＝40dB時隨多普勒頻移變化的MSEFig.7 MSE changes with Doppler shift when SNR＝40dB

4 結(jié)論

本文提出了一種基于迭代加權(quán)最小二乘的基擴展模型信道估計算法。首先通過一種過采樣的CE－BEM模型擬合信道的快時變特性；然后把信道看作一個確定性的變量，在最小二乘估計算法的基礎(chǔ)上利用噪聲和ICI干擾量的協(xié)方差對最小二乘估計器進行加權(quán)迭代，從而獲取更為精確的信道估計值。該方法在不需要信道統(tǒng)計先驗信息的前提下能夠獲取較為準(zhǔn)確的信道狀態(tài)。仿真結(jié)果表明，該方法能有效降低信道估計的誤差平底，且受多普勒頻移影響較小，能有效抵抗快時變信道環(huán)境帶來的吉布斯效應(yīng)。但該方法在實際也存在當(dāng)OFDM系統(tǒng)子載波數(shù)較多時運算量較大的問題，因此如何在實際中降低計算復(fù)雜度是下一步研究的重點。

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