康托羅維奇：對(duì)線性規(guī)劃方法的開創(chuàng)性貢獻(xiàn)

張樂

列奧尼德·康托羅維奇，蘇聯(lián)經(jīng)濟(jì)學(xué)家，于1912年1月出生于俄國(guó)彼得堡。1926年他考入列寧格勒大學(xué)數(shù)學(xué)系，1930年畢業(yè)?？低辛_維奇在大學(xué)讀書時(shí)期由于對(duì)函數(shù)論的興趣，就著重培養(yǎng)自己這方面的研究能力，寫出不少關(guān)于函數(shù)論和集（合）論方面的著作，并大量發(fā)表在國(guó)外。康托羅維奇從20歲開始就專心鉆研解析函數(shù)論，解析函數(shù)論是函數(shù)論中復(fù)變函數(shù)的主要分支。1934年，康托羅維奇在畢業(yè)四年后憑借自己的數(shù)學(xué)成就升任列寧格勒大學(xué)教授。1935年，他23歲時(shí)未經(jīng)論文答辯就獲得了列寧格勒大學(xué)博士學(xué)位。

他隨后又堅(jiān)持不懈地鉆研泛函分析，這是關(guān)于函數(shù)的抽象空間理論。他緊緊圍繞函數(shù)論、解析函數(shù)論和泛函分析一步步深入研究，為后來在數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)中作出重大貢獻(xiàn)奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

康托羅維奇的研究成果主要表現(xiàn)在：

利用解乘數(shù)法求解線性規(guī)劃問題。1937年，膠合板托拉斯派來一些代表請(qǐng)康托羅維奇為其解決壓紙膠合板產(chǎn)量的一個(gè)難題。代表們描述的問題要旨為：托拉斯有八臺(tái)不同類型的機(jī)器，每臺(tái)機(jī)器能夠生產(chǎn)五種不同型號(hào)的膠合板。每種類型的機(jī)器能夠生產(chǎn)的這五種膠合板的能力不同；各種不同的膠合板的生產(chǎn)率是由現(xiàn)有的需求量基數(shù)決定的。為根據(jù)所需比例獲得最大數(shù)量的全套膠合板，應(yīng)怎樣選用不同類型的機(jī)器？

列出這類問題的數(shù)學(xué)方程式是簡(jiǎn)單的，但是想利用拉格朗日乘數(shù)的常規(guī)數(shù)學(xué)分析來求解則行不通，因?yàn)樯婕暗匠汕先f(wàn)個(gè)聯(lián)立方程組。康托羅維奇發(fā)揮了在數(shù)學(xué)方面的才華，提出了“解乘數(shù)法”這一計(jì)算方法，代替求解M×N個(gè)未知變量，只需求解M個(gè)乘數(shù)λ，便可解決整個(gè)問題。他于1938年首次提出求解線性規(guī)劃問題的方法——解乘數(shù)法，這對(duì)現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展有著深遠(yuǎn)的影響。

康托羅維奇指出，提高企業(yè)的勞動(dòng)效率有兩個(gè)途徑，一是技術(shù)上的各種改進(jìn)，二是生產(chǎn)組織和計(jì)劃方面的改革。過去，由于沒有必要的計(jì)算工具，后者很少被利用。解乘數(shù)法的提出，對(duì)于求解線性規(guī)劃問題，進(jìn)而為科學(xué)地組織和計(jì)劃生產(chǎn)提供了條件?？低辛_維奇將該方法推廣應(yīng)用于一系列實(shí)踐，諸如合理地分配機(jī)床機(jī)械的作業(yè)，最佳地利用原材料和燃料，最大限度地減少?gòu)U料，最適當(dāng)?shù)匕才呸r(nóng)作物的布局，有效地組織貨物運(yùn)輸?shù)取＝鉀Q上述問題的一般步驟為建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)問題條件，將生產(chǎn)目標(biāo)、資源約束、所求變量三者間的數(shù)量關(guān)系用線性方程式表達(dá)出來并求解。這類模型通常被稱為“康托羅維奇問題數(shù)學(xué)模型”。

最優(yōu)化理論?？低辛_維奇不僅研究一個(gè)企業(yè)范圍內(nèi)如何科學(xué)地組織和計(jì)劃生產(chǎn)的問題，他還研究了企業(yè)間以及整個(gè)國(guó)民經(jīng)濟(jì)范圍內(nèi)如何運(yùn)用線性規(guī)劃方法。

康托羅維奇通過建立資源最優(yōu)利用的線性數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用解乘數(shù)法求解出各種乘數(shù)。他認(rèn)識(shí)到這些乘數(shù)在衡量資源稀缺程度、最合理地選擇生產(chǎn)方法、編制國(guó)民經(jīng)濟(jì)最優(yōu)計(jì)劃以及使國(guó)家整體利益和企業(yè)局部利益相互協(xié)調(diào)等方面具有獨(dú)特作用。于是，他將這些乘數(shù)λ稱為“客觀制約估價(jià)”?？陀^制約估價(jià)包括對(duì)各種產(chǎn)品的估價(jià)和對(duì)各種資源的估價(jià)?？低辛_維奇提出的客觀制約估價(jià)可以實(shí)現(xiàn)全社會(huì)范圍的資源最優(yōu)分配和利用。

在現(xiàn)有資源條件下，全社會(huì)能夠以最小的勞動(dòng)消耗，獲得最大限度的生產(chǎn)量，由此得出的生產(chǎn)計(jì)劃叫做最優(yōu)計(jì)劃。有時(shí)把客觀制約估價(jià)稱為最優(yōu)計(jì)劃價(jià)格，這體現(xiàn)了他對(duì)資源最優(yōu)利用理論的革新、推廣和發(fā)展。

隨機(jī)規(guī)劃。線性規(guī)劃模型中有一個(gè)非常重要的假定，即系數(shù)a和資源b都是肯定型數(shù)據(jù)。在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的基本特征不發(fā)生重大變化時(shí)，該假定可以成立，但在長(zhǎng)期計(jì)劃中，誤差則不可避免地存在。

康托羅維奇認(rèn)為未來自然資源、新技術(shù)、農(nóng)作物產(chǎn)量、需求等都是隨機(jī)變量，只能以某種概率知道一個(gè)可能的數(shù)值范圍。長(zhǎng)期計(jì)劃如果不考慮參數(shù)的隨機(jī)性，計(jì)劃決策可能會(huì)犯嚴(yán)重錯(cuò)誤。

康托羅維奇將隨機(jī)規(guī)劃應(yīng)用于制定最優(yōu)計(jì)劃。他提出了一個(gè)二階段隨機(jī)規(guī)劃模型，即在不確定的條件下建立選擇計(jì)劃的模型，第一階段是選擇使執(zhí)行計(jì)劃所預(yù)期的花費(fèi)最小，第二階段是選擇從原計(jì)劃及其調(diào)整中所獲得的平均效果最大。多階段隨機(jī)規(guī)劃模型的思路與二階段模型相似。

康托羅維奇在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的最大成就在于他將資源最優(yōu)利用這一傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)學(xué)問題，由定性研究和一般定量分析推進(jìn)到現(xiàn)實(shí)計(jì)量階段，對(duì)現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)的重要分支——線性規(guī)劃方法的建立和發(fā)展作出了開創(chuàng)性貢獻(xiàn)。

1975年，由于對(duì)資源最優(yōu)分配理論作出的貢獻(xiàn)，康托羅維奇與美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家佳林·庫(kù)普曼斯共同獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)，成為第一個(gè)獲此殊榮的前蘇聯(lián)經(jīng)濟(jì)學(xué)家。63歲的康托羅維奇在領(lǐng)取諾貝爾獎(jiǎng)獎(jiǎng)金時(shí)發(fā)表了《數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用：成就、困難、前景》的演講，他表示：“盡管困難重重，我依然樂觀地期待著數(shù)學(xué)方法，尤其是那些最優(yōu)規(guī)劃方法，在經(jīng)濟(jì)學(xué)及各級(jí)經(jīng)濟(jì)控制上的普及。它可以給我們的規(guī)劃活動(dòng)帶來顯著改善，能讓我們更好地利用資源、增加國(guó)民收入、提高生活水平。”

康托羅維奇的主要著作包括：《生產(chǎn)組織與計(jì)劃的數(shù)學(xué)方法》（1939）、《求解某些極值問題的一種有效方法》（1940）、《大宗貨物的調(diào)運(yùn)問題》（1942）、《工業(yè)材料合理剪裁的計(jì)算》（1951）、《資源最優(yōu)利用的經(jīng)濟(jì)計(jì)算》（1959）、《最優(yōu)計(jì)劃動(dòng)態(tài)模型》（1964）、《遠(yuǎn)景計(jì)劃最優(yōu)模型》（1965）、《最優(yōu)計(jì)劃的數(shù)學(xué)問題》（1966）、《經(jīng)濟(jì)最優(yōu)決策》（1972）等。