怎樣添加輔助線構(gòu)造全等三角形

樸芳

全等三角形是初中幾何中重要的基礎(chǔ)知識(shí).利用全等三角形的相關(guān)性質(zhì)解答與之相關(guān)的幾何問(wèn)題是常見(jiàn)的解題思路.在幾何問(wèn)題中，有些全等三角形在圖形中會(huì)直接呈現(xiàn)，而有些全等三角形則比較隱蔽.當(dāng)已知圖形中并不存在全等三角形時(shí)，就要根據(jù)條件靈活地添加輔助線，構(gòu)造兩個(gè)全等三角形.下面介紹六種常見(jiàn)的證明三角形全等時(shí)作輔助線的方法，分別是作平行線法、作垂線段法、倍長(zhǎng)中線法、截長(zhǎng)補(bǔ)短法、平移變換法、旋轉(zhuǎn)變換法.

一、作平行線法

平行線的性質(zhì)通常被作為解答幾何問(wèn)題的重要依據(jù)，其作用常常是提供角與角之間的關(guān)系，而角正是證明三角形全等的重要元素.通過(guò)作平行線得到相等的角，是構(gòu)造全等三角形的一種有效方法.

二、作垂線段法

當(dāng)幾何圖形中有三角形的角平分線時(shí)，可向兩邊作垂線，構(gòu)造全等三角形.若圖中沒(méi)有角平分線，可以向兩個(gè)圖形的公共邊所在的直線作垂線，構(gòu)造直角三角形. 由于直角三角形的全等判定定理比較多，所以，作垂線段可為證明直角三角形全等創(chuàng)造條件，從而獲得解題的方法.

例 2 如圖 2，D 為 CE的中點(diǎn)，F(xiàn) 為 AD 上一點(diǎn)，且 EF=AC.求證：∠DFE=∠DAC.

分析：首先根據(jù)全等

三角形的判定得出△DEN ≌△DCM，進(jìn)而得出 EN=MC，即可得出 Rt△FEN ≌ Rt△CAM，進(jìn)而得出∠DFE=∠DAC.

∴∠DFE=∠DAC.

三、“倍長(zhǎng)”中線法

中線、中點(diǎn)往往是倍長(zhǎng)線段的“提示”，如果已知條件中存在線段的中點(diǎn)或三角形的中線，可通過(guò)將線段延長(zhǎng)至原來(lái)的 2 倍的方法構(gòu)造相等線段，從而為三角形全等的證明提供所需的條件.

四、截長(zhǎng)補(bǔ)短法

截長(zhǎng)補(bǔ)短法是在較長(zhǎng)的線段中截取一條線段等于已知線段或延長(zhǎng)較短的線段使之與較長(zhǎng)的線段相等的作圖法.它雖包括“截長(zhǎng)”和“補(bǔ)短”兩種方法，但這兩種方法的實(shí)質(zhì)是相通的，都是將長(zhǎng)度不等的線段轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度相等的線段，從而為三角形全等的判定增添?xiàng)l件.

例 4 如圖 4 所示，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求證：AB=AC+CD.

分析：利用已知條件，求得∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD，得出△ABD ≌△AED

（AAS），∴ AE=AB . ∵ AE=AC + CE=AC +CD，∴ AB=AC + CD.

五、平移變換法

在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿著某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)方式稱為“平移”.平移是一種只改變圖形的位置而不改變圖形大小及形狀的變換，其實(shí)質(zhì)是構(gòu)造了有特殊位置關(guān)系的全等三角形.利用這一特征可以解答較多關(guān)于全等的幾何問(wèn)題.

例 5 如圖 6 所示，在△ABC 的邊 BC 上取兩點(diǎn) D 、E ，且 BD=CE .試運(yùn)用三角形三邊的關(guān)系和平移的知識(shí)發(fā)現(xiàn)并證明：AB+AC 與 AD+AE 之間的長(zhǎng)度關(guān)系.

分析：本題結(jié)論直接證明較為困難，若利用平移變換，將△AEC 平移到△A′BD 構(gòu)造全等三角形，如圖6所示，則線段 AB ，AC ，AD ，AE 就集中在四邊形 A′BDA 中，這樣只要證明AB+A′D>AD+A′B ，即可證明所求目標(biāo).

解：如圖 6 所示，將△AEC 沿著線段 EB的方向由 E 點(diǎn)移動(dòng)到 B 點(diǎn)得到△A′BD ，（即過(guò) B 點(diǎn)作 BA′∥ EA ，過(guò) D 點(diǎn)作 DA′∥ CA ，DA′交 BA′于點(diǎn) A′）.

由平移的性質(zhì)可知：

A′B =AE，A′D=AC.設(shè)A′D與AB的交點(diǎn)為O，∵ A′O+OB>A′B ，AO+OD>AD ，∴ AB+A′D=（AO+OB）+（A′O+OD） ，= （AO+OD）+（A′O+OB）>AD+A′B ，∴ AB+AC>AD+AE .

六、旋轉(zhuǎn)變換法

旋轉(zhuǎn)是在平面內(nèi)將一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度得到一個(gè)新圖形的一種變換.旋轉(zhuǎn)與平移一樣，是一種全等變換，通過(guò)旋轉(zhuǎn)可以對(duì)線段、角、圖形進(jìn)行合并，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)變換的特征，找到對(duì)應(yīng)的全等三角形，通過(guò)線段、角的轉(zhuǎn)換達(dá)到解題目的.

添加輔助線是求解平面幾何問(wèn)題的重要手段. 構(gòu)造全等三角形則是解答幾何問(wèn)題的常見(jiàn)方法.在作輔助線構(gòu)造全等三角形時(shí)，要仔細(xì)斟酌題中所給的已知條件與所要求的問(wèn)題，只有深度挖掘條件，靈活選取方法，才能將問(wèn)題逐個(gè)擊破.