非負(fù)弱鞅的Marshall型極小值不等式的推廣

馮德成，魯雅莉，藺 霞

西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，蘭州 730070

1 預(yù)備知識(shí)

定義1設(shè){Sn，n≥1}是L1(Ω，F(xiàn)，P)上的隨機(jī)變量序列，如果對(duì)任意1≤i≤j<∞，有

E[(Sj-Si)f(S1，…，Sn)]≥0

則稱隨機(jī)變量序列{Sn，n≥1}是一個(gè)弱鞅(demimartingale)，其中f是使上述期望存在且分量不減的函數(shù)．若進(jìn)一步假設(shè)f是一個(gè)非負(fù)函數(shù)，則稱{Sn，n≥1}是一個(gè)弱下鞅(demisubmartingale)．

弱鞅的概念最先是由文獻(xiàn)[1]提出的，之后很多學(xué)者對(duì)弱(下)鞅進(jìn)行了研究，給出了弱(下)鞅的一些概率不等式以及這些不等式的應(yīng)用[2-12]．

對(duì)于零均值的平方可積隨機(jī)變量X和任意函數(shù)ε，有

文獻(xiàn)[2]進(jìn)一步推廣，對(duì)任意函數(shù)ε

(1)

在上述條件下，如果令

那么{Sn，n≥1}就是一個(gè)鞅．文獻(xiàn)[4]在E|Xi|p<∞，i≥1，且p≥2的條件下，將(1)式推廣，對(duì)于任意ε>0，得到如下形式的Marshall型不等式

其中α是下列函數(shù)的最大值

h(x)=1-x+(1-x)2-qxq-1，x∈[0，1]

之后，文獻(xiàn)[5]將文獻(xiàn)[4]中的若干結(jié)論推廣到弱鞅的情形下，得到了弱鞅的Marshall型概率不等式．文獻(xiàn)[14]將文獻(xiàn)[5]中關(guān)于非負(fù)弱鞅{Sn，n≥1}的Marshall型極小值不等式推廣到了形如{g(Sn)，n≥1}的弱鞅的情形．

受文獻(xiàn)[5]和[14]的啟發(fā)，本文將文獻(xiàn)[5]和[14]中關(guān)于非負(fù)弱鞅{Sn，n≥1}的Marshall型極小值不等式推廣到{cng(Sn)，n≥1}的情形下，其中g(shù)是R上不減的凸函數(shù)，{cn，n≥1}是R上不增的正數(shù)序列．

2 弱鞅的Marshall型極小值不等式

引理1[13]若E|X|p<∞，E|Y|q<∞，則

(2)

(3)

引理2[15]設(shè){Sn，n≥1}是一個(gè)非負(fù)弱鞅，g(·)是一個(gè)不減的凸函數(shù)，使得g(0)=0，且對(duì)任意的n≥1，有Eg(Sn)<∞．{cn，n≥1}是一個(gè)不增的正數(shù)序列，那么對(duì)任意n≥1，ε>0，有

(4)

引理3設(shè){Sn，n≥1}是一個(gè)非負(fù)弱鞅，g(·)是一個(gè)不減的凸函數(shù)，使得g(0)=0．若00，有

(5)

證記Y=IA，運(yùn)用H?lder不等式(3)和引理2，可以得到

(6)

由于

E|Y-EY|q=P(A)(1-P(A))q+P(A)q(1-P(A))

原命題得證．

定理1設(shè){Sn，n≥1}是一個(gè)非負(fù)弱鞅，{cn，n≥1}是R上不增的正數(shù)序列，g(·)是R上不減的凸函數(shù)，且g(0)=0．若存在00有

(7)

(8)

其中M1，M2是下面方程的正解，且M1≤M2，

xq=(β-1)x+β，x∈(0，+∞)

(9)

其中

當(dāng)P(A)>0時(shí)，通過引理3可以得到：

兩邊同時(shí)除以P(A)q，有

即有

從而有

因此有

即有

(10)

不難發(fā)現(xiàn)

若在定理1中，令cn≡1，那么就有以下推論1．

推論1設(shè){Sn，n≥1}是一個(gè)非負(fù)弱鞅，g(·)是R上不減的凸函數(shù)，且g(0)=0．若存在00，那么對(duì)于任意ε>0有

其中M1，M2是方程(9)的正解，且M1≤M2，其中

若在定理1中，取cn≡1，g(x)=x，則又有以下推論2．

注推論1是文獻(xiàn)[14]中的定理3.1，推論2是文獻(xiàn)[5]中的定理2.2，因此本文中的定理1是文獻(xiàn)[14]中定理3.1和文獻(xiàn)[5]中定理2.2的推廣．