一類條件協(xié)方差估計及其大樣本性質(zhì)

甘勝進(jìn)

1. 福建師范大學(xué) 福清分校電子與信息工程學(xué)院，福建 福清 350300； 2. 臺灣政治大學(xué) 統(tǒng)計學(xué)系，臺北 11605

設(shè)p維隨機(jī)變量X=(X1，X2，…，Xp)T，在給定協(xié)變量U=u條件下，考慮X的條件協(xié)方差矩陣，即

ΣXX(u)=cov(X|U=u)

當(dāng)p=1時，條件協(xié)方差矩陣特殊化為條件方差Var(X|U=u)．條件方差及協(xié)方差函數(shù)的估計已在文獻(xiàn)[1-6]中有較為詳細(xì)討論．依據(jù)

ΣXX(u)=E((X-mX(u))((X-mX(u))T|U=u)，其中mX(u)=E(X|U=u)

文獻(xiàn)[7]通過極小化擬似然函數(shù)：

構(gòu)造ΣXX(u)的估計量：

其中mX(u)的N-W核估計量為

ΣXX(u)=E(XXT|U=u)-mX(u)mX(u)T

故一種顯而易見的核估計量為

1 估計量的大樣本性質(zhì)

在導(dǎo)出估計量的漸近性質(zhì)之前，一些限制性條件十分必要，它們經(jīng)常在非參數(shù)核估計中用到，盡管它們不是最弱的，但能使證明變得簡便．

(C1)U的邊緣密度f(u)具有緊支集，并且在支撐集中，f(u)顯著大于0，具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)．

(C3)核密度函數(shù)K(v)滿足以下條件：K(v)有界并且關(guān)于原點對稱，K(v)≥0，

(C4) 存在常數(shù)c使得窗寬h→0，nh5→c，c>0，當(dāng)n→+∞．

在類似于(C1)-(C4)的條件下，文獻(xiàn)[7]得到條件協(xié)方差矩陣的核估計大樣本形式：

(1)

其中：

引理1令u為U的支撐的內(nèi)點，在條件(C1)-(C4)下

逐點依分布收斂，其中

Σ1=(σj1，j2(u))p×p，σj1，j2(u)=f-1(u)K0Var(Xj1Xj2|U=u)

證令

Xi，j為X的第j個分量第i次觀測，則有

不難得到

E(A1|U=Ui)=0，Var(A1)=Var(E(A1|U=Ui))+E(Var(A1|U=Ui))=

故有

類似以上討論，

引理得證．

值得注意的是，盡管引理1給出核估計量的漸近正態(tài)性，但是這沒有必要，只須將估計量寫成以下相合形式：

(2)

其中

類似引理1過程，不難得到以下結(jié)果：

(3)

其中

通過以上討論，由(2)式、 (3)式，根據(jù)條件(C1)-(C4)和Cr不等式[9]可得定理1．

定理1令u為U的支撐的內(nèi)點，在條件(C1)-(C4)下，

逐點依分布收斂，其中

定理2給出逆協(xié)方差矩陣估計量的大樣本性質(zhì)．

定理2設(shè)u為協(xié)變量U的內(nèi)點，在條件(C1)-(C4)下，

證由定理1，根據(jù)文獻(xiàn)[10]討論，假設(shè)

左邊是

故

定理得證．

同理可得

2 隨機(jī)模擬

借助文獻(xiàn)[7]采用留一交叉驗證擬似然函數(shù)來選擇最優(yōu)窗寬：

表1 模型1下協(xié)方差矩陣的兩種估計量偏差比較

表2 模型1下逆協(xié)方差矩陣兩種估計量偏差比較

表3 模型2下協(xié)方差矩陣的兩種估計量偏差比較

續(xù)表3

表4 模型2下逆協(xié)方差矩陣兩種估計量的偏差比較

3 結(jié) 語