基于經(jīng)典和Riesz導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff系統(tǒng)的Noether定理

周 穎,張 毅

(1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 蘇州 215009;2.蘇州科技大學(xué) 土木工程學(xué)院,江蘇 蘇州 215011)

Birkhoff力學(xué),作為Hamilton力學(xué)的自然推廣,是迄今最一般可能的一個(gè)力學(xué)[1,2]。完整力學(xué)和非完整力學(xué)均可納入Birkhoff力學(xué)[2]。廣義Birkhoff力學(xué)[3]是由梅鳳翔在Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究基礎(chǔ)上提出并創(chuàng)建而成,其基礎(chǔ)是廣義Pfaff-Birkhoff原理和廣義Birkhoff方程。微分方程的Birkhoff化有時(shí)很難實(shí)現(xiàn),廣義Birkhoff方程由于增加了一個(gè)可調(diào)節(jié)的附加項(xiàng),使微分方程很容易化為廣義Birkhoff方程。Birkhoff和廣義Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)及其對(duì)稱性研究近十年來有了一些新的進(jìn)展[4-12]。

分?jǐn)?shù)階微積分,作為一個(gè)有效的數(shù)學(xué)工具,為描述具有摩擦或其他耗散過程的非保守系統(tǒng)提供了一個(gè)新的方向[13-15]。Frederico和Torres[16,17]最早將經(jīng)典Noether定理及其證明的時(shí)間重新參數(shù)化方法推廣到分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng),通過定義分?jǐn)?shù)階守恒量建立了分?jǐn)?shù)階Noether定理。Bourdin等[18]給出了分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)的離散分?jǐn)?shù)階Noether定理,通過其提出的“傳遞公式”將分?jǐn)?shù)階守恒量表達(dá)成顯形式。2016年,Frederico等[19]研究并給出Lagrange函數(shù)依賴于經(jīng)典和Caputo導(dǎo)數(shù)的非保守系統(tǒng)的Noether定理。但是這些研究都限于分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)或分?jǐn)?shù)階Hamilton系統(tǒng)。分?jǐn)?shù)階Birkhoff系統(tǒng)是一類更廣泛的系統(tǒng),包含了分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)、分?jǐn)?shù)階Hamilton系統(tǒng)等[20,21]。近年來,分?jǐn)?shù)階Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性與守恒量的研究成為一個(gè)熱點(diǎn)并取得重要進(jìn)展[22,31]。但是,迄今研究尚未涉及經(jīng)典和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)聯(lián)合的分?jǐn)?shù)階Birkhoff系統(tǒng)。本文將提出并證明基于經(jīng)典和Riesz導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff系統(tǒng)的Noether定理,利用“傳遞公式”給出守恒量的顯形式。

1 經(jīng)典和Riesz-Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)下分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff系統(tǒng)的Noether定理

關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分的定義及基本性質(zhì),參見文獻(xiàn)[13,22]。

1.1 分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff方程

經(jīng)典和Riesz-Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)下的Pfaff作用量為

(1)

于是,分?jǐn)?shù)階廣義Pfaff-Birkhoff原理可表示為

B(t,aν))+δ′W]dt=0

(2)

且滿足交換關(guān)系

(3)

和邊界條件

δaμ|t=t1=δaμ|t=t2=0

(4)

由式(2)和式(3),容易導(dǎo)出

μ=1,2,…,2n

(5)

以及相應(yīng)的橫截性條件

(6)

1.2 分?jǐn)?shù)階Noether定理

根據(jù)時(shí)間重新參數(shù)化方法[16],定理及其證明可分兩步。

(1)第一步,在時(shí)間不變的特殊無限小變換下,建立并證明Noether定理。

假設(shè)在特殊無限小變換[16]

(7)

的作用下,對(duì)任意積分區(qū)間[T1,T2]?[t1,t2],始終成立

(8)

式中:ΔG=εG,G(t,av)是規(guī)范函數(shù),則此不變性可稱為式(5)分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性。

若生成元ξμ滿足如下分?jǐn)?shù)階Noether等式

(9)

則式(7)對(duì)應(yīng)于式(8)意義下的Noether對(duì)稱性。

實(shí)際上,由式(8)并考慮到積分區(qū)間[T1,T2]的任意性,可得

(10)

將式(10)等號(hào)兩邊對(duì)ε求導(dǎo),并令ε=0,有

這就是式(9)的Noether等式。

利用式(5),式(9)也可表示為

(11)

式(11)可寫成

(12)

下面,引入分?jǐn)?shù)階傳遞公式。文獻(xiàn)[18,19]中證明了如下結(jié)果:

(13)

(14)

利用傳遞式(13),令g=Rμ,f=ξμ,得到

(15)

同樣地,若令g=ξμ,f=Rμ,則有

(16)

于是有

定理1如果式(7)對(duì)應(yīng)于式(8)意義下的Noether對(duì)稱性,且函數(shù)Rμ和ξμ滿足傳遞公式的條件(C1),則表達(dá)式

(17)

是式(5)分?jǐn)?shù)階廣義Birhoff系統(tǒng)的Noether守恒量。

(2)第二步,在時(shí)間變更的一般無限小變換下,建立并證明Noether定理。

假設(shè)在一般無限小變換[16]

εξμ(t,av)+o(ε)

(18)

的作用下,對(duì)任意積分區(qū)間[T1,T2]?[t1,t2],始終成立

(19)

則此不變性可稱為式(5)分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性。

若生成元ξ0和ξμ滿足如下分?jǐn)?shù)階Noether等式

(20)

則式(18)對(duì)應(yīng)于式(19)意義下的Noether對(duì)稱性。

實(shí)際上,由式(19)可得

(21)

由積分區(qū)間[T1,T2]的任意性,可得

(22)

類似于文獻(xiàn)[21]的推導(dǎo),有

(23)

將式(23)代入式(22),并將式(22)等號(hào)兩邊對(duì)ε求導(dǎo),并令ε=0,易得式(20)。

定理2如果式(18)對(duì)應(yīng)于式(19)意義下的Noether對(duì)稱性,且函數(shù)Rμ以及生成元ξ0和ξμ滿足傳遞公式的條件(C1),則表達(dá)式

(24)

是式(5)分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff系統(tǒng)的Noether守恒量。

證明取關(guān)于時(shí)間t的李普希茨變換 [t1,t2]t|→σf(λ)∈[σ1,σ2],當(dāng)λ=0時(shí),滿足分?jǐn)?shù)階Pfaff作用量在上述變換作用下成為

B(t(σ),av(t(σ))]t′σdσ

(25)

類似于文獻(xiàn)[29]可得

(26)

將式(26)代入式(25)可得

(27)

(28)

當(dāng)λ=0時(shí),有

(29)

因此,可得到

(30)

以及

(31)

將式(31)和(30)代入式(28)即得式(24)。證畢。

定理1和定理2稱為經(jīng)典和Riesz-Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)下分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff系統(tǒng)的Noether定理,其證明采用了時(shí)間重參數(shù)化方法。當(dāng)ξ0=0時(shí),定理2退化為定理1;如果分?jǐn)?shù)階項(xiàng)不存在,則定理1和定理2給出經(jīng)典廣義Birkhoff系統(tǒng)的Noether定理[3]。

2 經(jīng)典和Riesz-Caputo導(dǎo)數(shù)下分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff系統(tǒng)的Noether定理

2.1 分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff方程

經(jīng)典和Riesz-Caputo導(dǎo)數(shù)下的Pfaff作用量為

B(t,av)]dt

(32)

于是,分?jǐn)?shù)階廣義Pfaff-Birkhoff原理可表示為

B(t,aν))+δ′W]dt=0

(33)

且滿足交換關(guān)系

(34)

和邊界條件

δaμ|t=t1=δaμ|t=t2=0

(35)

由式(33)和式(34),容易導(dǎo)出

μ=1,2,…,2n

(36)

以及相應(yīng)的橫截性條件

(37)

由式(35)可知式(37)恒成立。式(36)稱為經(jīng)典和Riesz-Caputo導(dǎo)數(shù)下的分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff方程。

2.2 分?jǐn)?shù)階Noether定理

(1)第一步,在時(shí)間不變的特殊無限小變換下,建立并證明該系統(tǒng)的Noether定理。

假設(shè)在特殊無限小變換[16]

(38)

的作用下,對(duì)任意積分區(qū)間[T1,T2]?[t1,t2],始終成立

(39)

則此不變性可稱為式(36)分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性。

若生成元ξμ滿足如下分?jǐn)?shù)階Noether等式

(40)

則式(38)對(duì)應(yīng)于式(39)意義下的Noether對(duì)稱性。

類似于定理1,容易得到如下定理。

定理3如果式(38)對(duì)應(yīng)于式(39)意義下的Noether對(duì)稱性,且函數(shù)Rμ和ξμ滿足傳遞公式的條件(C2),則表達(dá)式

(41)

是式(36)分?jǐn)?shù)階廣義Birhoff系統(tǒng)的Noether守恒量。

(2)第二步,在時(shí)間變更的一般無限小變換下,建立并證明Noether定理。

假設(shè)在一般無限小變換[16]

(42)

的作用下,對(duì)任意積分區(qū)間[T1,T2]?[t1,t2],始終成立

(43)

則此不變性可稱為式(36)分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性。

若生成元ξ0和ξμ滿足如下分?jǐn)?shù)階Noether等式

(44)

則式(42)對(duì)應(yīng)于式(43)意義下的Noether對(duì)稱性。

類似于定理2,我們有如下定理。

定理4如果式(42)對(duì)應(yīng)于式(43)意義下的Noether對(duì)稱性,且函數(shù)Rμ以及生成元ξ0和ξμ滿足傳遞公式的條件(C2),則表達(dá)式

(45)

是式(36)分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff系統(tǒng)的Noether守恒量。

定理3和定理4稱為經(jīng)典和Riesz-Caputo導(dǎo)數(shù)下分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff系統(tǒng)的Noether定理,其證明采用了時(shí)間重參數(shù)化方法。當(dāng)ξ0=0時(shí),定理4退化為定理3;若分?jǐn)?shù)階項(xiàng)不存在,則定理3和定理4給出經(jīng)典廣義Birkhoff系統(tǒng)的Noether定理[3]。

3 算例

研究Hojman-Urrutia例[32]。根據(jù)Santilli的研究[1],Hojman-Urrutia例具有Birkhoff表示,但是不具有Lagrange結(jié)構(gòu),原因在于其本質(zhì)上是非自伴隨的。Hojman-Urrutia問題也可表示為廣義Birkhoff系統(tǒng),即有

(46)

根據(jù)式(5),在經(jīng)典和Riesz-Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

(47)

式(20)Noether等式給出

(48)

式(48)有解

(49)

式(49)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的廣義準(zhǔn)對(duì)稱變換。由定理2可得

(50)

式(50)是由Noether對(duì)稱性式(49)導(dǎo)致的守恒量。當(dāng)α→1時(shí),式(50)成為

IN=2(a2+a3)

(51)

式(51)是經(jīng)典廣義Birkhoff系統(tǒng)的守恒量。

4 結(jié)束語

分?jǐn)?shù)階Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究是近年來分析力學(xué)研究的一個(gè)新方向。由于Birkhoff力學(xué)的普遍性,分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)模型的記憶性和非局域性,非保守和非完整系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Birkhoff動(dòng)力學(xué)研究具有重要意義。

本文主要工作如下:(1)提出并研究經(jīng)典和Riesz導(dǎo)數(shù)下分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué),建立了此情形下的變分原理和動(dòng)力學(xué)方程;(2)研究了經(jīng)典和Riesz導(dǎo)數(shù)下分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性與守恒量,用時(shí)間重新參數(shù)化方法證明了Noether定理;(3)利用傳遞公式給出了分?jǐn)?shù)階Noether守恒量的顯形式。

本文的主要結(jié)果是給出的4個(gè)定理,以及式(2)和(33)的原理、式(5)和(36)的方程、式(24)和(45)的守恒量。當(dāng)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)不存在時(shí),定理退化為經(jīng)典廣義Birkhoff系統(tǒng)的Noether定理。