廣義結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展
——由一道概率題引發(fā)的思考

陳海霞

（南平市教育科學(xué)研究院，福建 南平 354200）

為了體現(xiàn)高考評(píng)價(jià)體系里四翼考查要求中的“創(chuàng)新性”，近年來結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題順勢(shì)而出，結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題已經(jīng)成為廣大基礎(chǔ)教育教學(xué)研究工作者熱議的話題。這類試題中有些條件不全，有些結(jié)論開放，有些解題路徑不明確，甚至還有些往往會(huì)被部分師生誤認(rèn)為錯(cuò)題。當(dāng)前高中階段的師生對(duì)這類試題表現(xiàn)出極大的不適應(yīng)性，這類試題逐漸成為教學(xué)的攔路虎。這類試題在近兩年的高考試題中占有一定的份量，具有重要的區(qū)別和甄選功能。

教育部考試中心趙軒、任子朝等在《高考評(píng)價(jià)體系的數(shù)學(xué)學(xué)科化實(shí)踐》一文中提到，為有效考查學(xué)生的創(chuàng)新能力，今后要在高考試卷中適當(dāng)增加開放型試題，設(shè)問和解答都有較大的開放度是這類試題的最突出的特點(diǎn)，學(xué)生可以從多種角度進(jìn)行思考并作答，有利于培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維、創(chuàng)新思維等高階思維能力。［1］總而言之，這類試題將以“起點(diǎn)低，入口寬，方法多，落差高”的面貌呈現(xiàn)出來。

一、廣義結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題的界定

結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科和高考的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)科的結(jié)構(gòu)不良問題的主要特征有：?jiǎn)栴}條件或數(shù)據(jù)部分缺失或冗余；問題目標(biāo)界定不明確；具有多種解決方法、途徑；具有多種評(píng)價(jià)解決方法的標(biāo)準(zhǔn)；所涉及的概念、規(guī)則和原理等不確定。［2］普通高中階段結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題主要分成三類：條件開放型結(jié)構(gòu)不良試題、結(jié)論開放型結(jié)構(gòu)不良試題、策略開放型結(jié)構(gòu)不良試題，前兩者屬于狹義結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題，后者屬于廣義結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題。

例1.在①2ccosB=2a-b，②△ABC 的面積為，③cos2A-cos2B-sinAsinB，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答。（如果選擇多個(gè)條件作答，則按所選的第一個(gè)條件給分）已知△ABC 的內(nèi)角A，B，C 所對(duì)的邊分別是a，b，c，且____________。

（1）求角C的大小 ；（2）若c=2 且4 sinAsinB=3，求△ABC 的面積。

例2.請(qǐng)寫出與曲線f(x)=x3+1 在點(diǎn)(0,1)處具有相同切線的一個(gè)函數(shù)（非常數(shù)函數(shù)）的解析式為g(x)_________。

例1 屬于條件開放型結(jié)構(gòu)不良試題，從有限個(gè)已知條件中選取一個(gè)或幾個(gè)條件補(bǔ)齊題目，實(shí)現(xiàn)由結(jié)構(gòu)不良試題轉(zhuǎn)變?yōu)榻Y(jié)構(gòu)良好試題。例2 屬于結(jié)論開放型結(jié)構(gòu)不良試題，能很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，但由于答案不唯一增加了閱卷難度。類似于例1、例2 的結(jié)構(gòu)不良試題屬于狹義結(jié)構(gòu)不良試題。

例3.某企業(yè)計(jì)劃加大技改力度，需更換一臺(tái)設(shè)備，現(xiàn)有兩種品牌的設(shè)備可供選擇，A 品牌設(shè)備需投入60 萬(wàn)元，B 品牌設(shè)備需投入90 萬(wàn)元，企業(yè)對(duì)兩種品牌設(shè)備的使用年限情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查（如表1-2 所示）：

表1

表2

更換設(shè)備技改后每年估計(jì)可增加效益100 萬(wàn)元，從年均收益的角度分析：

A.不更換設(shè)備 B.更換為A 設(shè)備

C.更換為B 設(shè)備 D.更換為A 或B 設(shè)備均可

廣義結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題往往題目呈現(xiàn)的條件完整，問題表征也目標(biāo)明確，但往往沒有明確的解題路徑，解決方案中要用到的概念、規(guī)則、原理不明確，致使師生面對(duì)問題時(shí)無(wú)從下手，有多種解決方案。廣義結(jié)構(gòu)不良試題具有以下四個(gè)特點(diǎn)：題意難理解，運(yùn)算困難，考點(diǎn)不明確，推理困難。因此，策略開放型試題屬于廣義結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題。例3 符合廣義結(jié)構(gòu)不良試題的四個(gè)特點(diǎn)，屬于策略開放型結(jié)構(gòu)不良試題。

二、對(duì)一道概率題的熱議

“學(xué)科核心素養(yǎng)實(shí)際上就是一種把所學(xué)的學(xué)科知識(shí)和技能遷移到真實(shí)生活情境的能力和品格。要養(yǎng)成這種素養(yǎng)，意味著學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該是在一個(gè)又一個(gè)基于真實(shí)生活情境的主題或項(xiàng)目中通過體驗(yàn)、探究、發(fā)現(xiàn)來建構(gòu)自己的知識(shí)，發(fā)展自己的能力，養(yǎng)成自己的品格?！保?］結(jié)構(gòu)不良問題之所以相對(duì)結(jié)構(gòu)良好問題有更高的教學(xué)價(jià)值，根本上在于其與真實(shí)情境關(guān)聯(lián)。把結(jié)構(gòu)不良問題引進(jìn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)，最大的目的是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，挖掘和培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，以及挑戰(zhàn)現(xiàn)實(shí)的實(shí)踐能力。例3 選自筆者所在地級(jí)市某次高三質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷，它是一道企業(yè)決策更換哪一種設(shè)備以追求更大年均收益的真實(shí)生活情境問題，該題引發(fā)了該地區(qū)高三數(shù)學(xué)教師在微信工作群中的熱議。

（一）觀點(diǎn)1：此題不需要算，結(jié)論顯而易見

劉老師：更換A 設(shè)備與B 設(shè)備增加的收益都是100 萬(wàn)元，當(dāng)然是投入最少最劃算。

何老師：投入少但使用年限短，未必劃算，所以要考慮設(shè)備使用年限。

劉老師：A 設(shè)備20 萬(wàn)元使用一年（60 萬(wàn)元/3 年=20 萬(wàn)元），B 設(shè)備24 萬(wàn)元使用一年（90 萬(wàn)元/3。7 年=24 萬(wàn)元），增加收益一樣，投入少劃算。

何老師：可能要研究年均增加的收益更恰當(dāng)。

（二）觀點(diǎn)2：用總收益除以年限的均值得到年均收益，這樣算有沒有道理

黃老師：第7 題年均收益有歧義。

林老師：此題問得有問題。

黎老師：使用年限的均值，與收益均值，好像是兩個(gè)概念。使用年限的均值乘以100 得到的是收益？這個(gè)題能算的是使用年限內(nèi)總收益的期望值（要把原先收益考慮進(jìn)去，100 是增加的），年均收益沒法算，我覺得是錯(cuò)題。

彭老師：年均收益可以從年均器械損耗來考慮，比如A 只能用兩年的話一年消耗就相當(dāng)于用30 萬(wàn)，再求期望。

徐老師：第7 題我認(rèn)為無(wú)問題，從年平均收益角度出發(fā)，就是從年平均收益的變化來考慮問題，增加收益除年份，選B，設(shè)備可每隔幾年更換一次，只要年平均增加收益高就行。

（三）觀點(diǎn)3：雖然兩種算法都支持選項(xiàng)B，但得出的年均收益不一樣，兩種似乎都有道理

算法一：從年均增加收益的角度分析。

設(shè)更換為A 品牌設(shè)備使用年限為X，則E(X)=2 × 0.4+3× 0.3+4 × 0.2+5× 0.1=3 年，

設(shè)更換為B 品牌設(shè)備使用年限為Y，則E(Y)=2 × 0.1+3× 0.3+4 × 0.4+5× 0.2=3.7 年，

所以更換為A 品牌設(shè)備年均增加收益更多，從年均增加收益的角度分析選B。

算法二：從年均器械損耗的角度分析（如表3-4所示）。

表3

表4

設(shè)更換為A 品牌設(shè)備年均投入的金額為ξ，則E(ξ)=30 × 0.4=20 × 0.3+15× 0.2+12 × 0.1=22.2 萬(wàn)元，

更換為A 品牌設(shè)備年均增加收益為100 -22.2=77.8 萬(wàn)元；

設(shè)更換為B 品牌設(shè)備年均投入的金額為η，則E(η)=45× 0.1+30 × 0.3+22.5× 0.4+18× 0.2=26.1 萬(wàn)元，

更換為B 品牌設(shè)備年均增加收益為100 -26.1=73.9 萬(wàn)元。

所以更換為A 品牌設(shè)備年均增加收益更多，從年均器械損耗的角度分析選B。

事實(shí)上，算法一是正確的，算法二是錯(cuò)誤的，原因在于年均損耗的概率不能直接套用設(shè)備使用年限的概率。類似概率中的貝葉斯公式，比如A 品牌年均損耗30 萬(wàn)元的概率相當(dāng)于使用年限兩年的設(shè)備的使用年數(shù)占設(shè)備總使用年數(shù)的頻率，即P(x=30)=。（如 表5-6）

表5

表6

綜上所述，算法二與算法一并沒有矛盾，完全一致。本題問的是從年均收益的角度分析，只需考慮年均收益的變化即可。算法一相當(dāng)于平均每3 年更換一次A 品牌設(shè)備，比平均每3.7 年更換一次B 品牌設(shè)備每年新增的收益更高。這里應(yīng)注意，并非使用年限最長(zhǎng)越好。

三、對(duì)廣義結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題“應(yīng)激反應(yīng)”的思考

例3 為何會(huì)引發(fā)教師們的廣泛爭(zhēng)議呢？究其原因主要有以下兩個(gè)方面：

（一）去情景化的結(jié)構(gòu)不良問題的教學(xué)呈現(xiàn)方式容易造成機(jī)械學(xué)習(xí)

早在20 世紀(jì)90 年代，美國(guó)著名學(xué)者斯皮羅指出許多教學(xué)系統(tǒng)失敗的共同原因是“這些教學(xué)設(shè)計(jì)以脫離現(xiàn)實(shí)的簡(jiǎn)單化和結(jié)構(gòu)良好的方式呈現(xiàn)了教學(xué)的領(lǐng)域以及相關(guān)的行為要求”。

教育的重要目的就是讓學(xué)生掌握知識(shí)，并能夠創(chuàng)造性地實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移。而傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育只針對(duì)結(jié)構(gòu)優(yōu)良問題或某些去情景化的結(jié)構(gòu)不良問題（例如狹義結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題）展開教學(xué)，只停留在記憶、理解、運(yùn)用等低階思維的培養(yǎng)上，只實(shí)現(xiàn)讓學(xué)生掌握知識(shí)的教育目的，從而造就出一批批“高分低能”的考試能手，但學(xué)生面對(duì)結(jié)構(gòu)不良的現(xiàn)實(shí)問題時(shí)仍無(wú)法用分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造等高階思維實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移。

（二）單一化的結(jié)構(gòu)不良問題的問題表征方式容易造成低效學(xué)習(xí)

當(dāng)學(xué)生面對(duì)結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題時(shí)只是片面的描述和表征問題，這種單一化的問題表征方式必然導(dǎo)致學(xué)生解決此類問題的效率低下。求解結(jié)構(gòu)不良試題需要學(xué)生進(jìn)行整體認(rèn)知，從不同角度、不同立場(chǎng)主動(dòng)構(gòu)建多元化的問題表征，明確確定性知識(shí)存在的條件，尋找出各個(gè)量之間的異同點(diǎn)，擅于運(yùn)用類比和歸納猜想與知識(shí)儲(chǔ)備建立聯(lián)系，尋找最有利問題解決的理解方式。因此，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中積極思考和探索，尤其是鼓勵(lì)學(xué)生展開批評(píng)與自我批評(píng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行批判性思維訓(xùn)練，鼓勵(lì)學(xué)生用準(zhǔn)確的語(yǔ)言表達(dá)自己的不同想法與見解，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多維度思考。另外，教師應(yīng)堅(jiān)持“多角度、多層次、低位度、易學(xué)易懂逐步升級(jí)”的教學(xué)原則，讓學(xué)生養(yǎng)成多元化問題表征的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。

四、對(duì)廣義結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題教育價(jià)值的思考

（一）廣義結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題有利于“高階思維”的培養(yǎng)

以美國(guó)著名教育學(xué)家本杰明·布魯姆1956 年版的“教育目標(biāo)分類學(xué)”中認(rèn)知目標(biāo)分類為基礎(chǔ)，經(jīng)過泰勒等學(xué)者修改后，將學(xué)生的數(shù)學(xué)思維劃分為六個(gè)層次：記憶、理解和運(yùn)用，分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造。前三個(gè)層次屬于低階思維，后三個(gè)層次屬于高階思維。高階思維通常伴隨著新知識(shí)、新技能的獲得。發(fā)展學(xué)生高階思維獲取高級(jí)知識(shí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo)。由于結(jié)構(gòu)不良問題一般來源于真實(shí)生活，這類問題能夠幫助學(xué)生擺脫由結(jié)構(gòu)良好問題產(chǎn)生的低階思維。廣義結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題幫助形成學(xué)生學(xué)習(xí)的外部情境、建構(gòu)學(xué)生學(xué)習(xí)的心理場(chǎng)景、打造學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)踐場(chǎng)域，有利于引導(dǎo)學(xué)生深度思考、深度體驗(yàn)，從而發(fā)展學(xué)生高階思維實(shí)現(xiàn)獲得高級(jí)知識(shí)的目標(biāo)。例如上文中提到的觀點(diǎn)1，有些人只簡(jiǎn)單考慮設(shè)備損耗與收益，而忽略了設(shè)備的使用年限。

（二）廣義結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題有利于“能產(chǎn)性思維”的培養(yǎng)

當(dāng)前，廣大師生對(duì)狹義結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題普遍適應(yīng)，學(xué)生在自主建構(gòu)中已經(jīng)形成相應(yīng)的解題策略。而面對(duì)題目條件完整，問題表征明確，但解題路徑不確定的廣義結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題，普遍表現(xiàn)出極大的排斥和不適應(yīng)的否定反應(yīng)，甚至認(rèn)為他們是有歧義的錯(cuò)題（例如上文中提到的觀點(diǎn)2）。

德國(guó)心理學(xué)家韋特海默（M.Wertheimer）提出：“能產(chǎn)性思維”是指面對(duì)一個(gè)問題時(shí)能產(chǎn)生一個(gè)新的解決方案。結(jié)構(gòu)不良問題的解決過程更傾向于是一種前所謂有的開創(chuàng)性過程。問題解決者沒有可借鑒的模式，需要具體問題具體分析，權(quán)衡不同影響因子之間的利弊，最終確定最優(yōu)的解決方案。結(jié)構(gòu)良好問題往往與學(xué)生已經(jīng)解決過的問題相同或相似，學(xué)生只需調(diào)用已知的解決路徑就可以合理解決問題。而結(jié)構(gòu)不良問題往往沒有明確的解題路徑，需要學(xué)生進(jìn)行合理的猜想、大膽的推測(cè)，發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造一個(gè)“新”的問題解決方案。［4］例如上文中提到的觀點(diǎn)3，他們會(huì)從不同的兩個(gè)算法驗(yàn)證猜想的合理性，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，兩種算法實(shí)際上是殊途同歸。顯然，這種廣義結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題調(diào)動(dòng)了學(xué)生的能產(chǎn)性思維，促進(jìn)了學(xué)生問題解決能力的發(fā)展。

（三）廣義結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題有利于“批判性思維”的培養(yǎng)

解決結(jié)構(gòu)良好數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生只需要再現(xiàn)其習(xí)得的知識(shí)和技能就能解決問題，這使學(xué)生逐漸形成“惰性思維”和“定勢(shì)思維”，不利于其在具體情境中有效地遷移。反思是批判性思維的一種體現(xiàn)，而數(shù)學(xué)學(xué)科的反思是指主體主動(dòng)地對(duì)已完成的思維過程進(jìn)行周密且有批判性的再思考，是對(duì)已形成的數(shù)學(xué)思想、方法和知識(shí)從另一角度，以另一種方式進(jìn)行再認(rèn)識(shí)，從而得到新的認(rèn)識(shí)，或提出疑問作為新的思考起點(diǎn)。

在學(xué)習(xí)上習(xí)慣使用批判性思維的學(xué)生普遍更加敢于嘗試、探索和創(chuàng)新，這類學(xué)生善于運(yùn)用自己的推理能力和客觀性去分析問題，也往往會(huì)得出較好的結(jié)論和較理想的結(jié)果。由于廣義結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題解決沒有固定的解決方案，需要學(xué)生不斷地反思判斷，理解問題，提出可能的解決方案，對(duì)方案的有效性不斷地進(jìn)行監(jiān)控、評(píng)估來實(shí)施方案等。因此，教師在教學(xué)反饋中鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行自我反思，有利于學(xué)生檢查自己是否達(dá)到目標(biāo)，下一步?jīng)Q定做什么，以及此問題對(duì)彼問題的解決有何啟示，自己獲得了什么新知識(shí)新策略，是否有所提高和收獲。這種批判性思維幫助學(xué)生明確方向、理清思路，提高解決問題的能力。例如上文中提到的觀點(diǎn)3，對(duì)兩種算法得出的年均收益不一樣產(chǎn)生困惑的那位教師在微信工作群中就感慨：“提出的還算是有價(jià)值的問題，交流是一件好事！”

（四）廣義結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題有利于“發(fā)散性思維”的培養(yǎng)

發(fā)散性思維的基本特點(diǎn)是創(chuàng)新性，“一題多解”“舉一反三”“學(xué)以致用”“合情推理理”等新的問題思路、新的思考方法都屬于發(fā)散性思維，發(fā)散性思維有利于培養(yǎng)創(chuàng)新思維。教學(xué)的目的就是幫助學(xué)生在原有觀念的基礎(chǔ)上產(chǎn)生新的更精彩的觀念。因此，數(shù)學(xué)考試評(píng)價(jià)中應(yīng)增加應(yīng)用型、探究型、開放型等廣義結(jié)構(gòu)不良問題的比重，有利于發(fā)展學(xué)生的發(fā)散性思維。另外，教師需要采取激勵(lì)式評(píng)價(jià)方式，讓學(xué)生樹立學(xué)習(xí)信心，強(qiáng)化學(xué)生的創(chuàng)新動(dòng)力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。例如，若把例3 題目中“從年均收益角度分析”和4 個(gè)選項(xiàng)刪除，則可改編為結(jié)論開放型結(jié)構(gòu)不良試題。學(xué)生從不同角度分析可以有不同的結(jié)論，如更換一次設(shè)備的總收益的結(jié)果就同年均收益的結(jié)果不同。另外，還可改編成條件開放型結(jié)構(gòu)不良試題，是更換一次設(shè)備還是可不斷更換設(shè)備。若是前者，則用更換一次設(shè)備的總收益來決策更合理；若是可不斷更換設(shè)備，則用年均收益來決策更合理。