多角度觀察 多維度思考 多手段處理
——一道多元函數(shù)最值問題的求解

廣東省惠州市第一中學(xué) (516007) 鐘時泉

多元函數(shù)最值問題是指含有多個變量、以求解最大值或最小值為目的的一類數(shù)學(xué)問題．多元函數(shù)最值問題中蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題思維和能力.怎樣求多元函數(shù)的最值，是師生們非常關(guān)注的問題，也是高中生必須具備的解題技能.本文借用一道多元函數(shù)最值問題的求解，通過一題多解及解法演變，以點帶面，連點串線，不僅激發(fā)了學(xué)生的好奇心與求知欲，而且?guī)椭鷮W(xué)生拓寬解題思路，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1.利用消元法求解

“消元法”是處理多元最值問題的一種常見方法，所謂消元法是指根據(jù)題設(shè)或題目所求結(jié)論，直接消去一個或多個變量，或者通過變形、構(gòu)造把多個變量轉(zhuǎn)化成一個變量的問題，把原問題變換角度進行研究.

2.巧用換元法求解

“換元法”也是處理多元最值問題的一種常見方法，所謂換元法是指根據(jù)題設(shè)或題目所求結(jié)論，引入一個或多個新“元”代換原來問題中的舊“元”，通過換元對原問題進行變換，使得問題變?yōu)楹唵?，從而便于求?

在解決多元最值問題中，三角換元是?？?，由于本題沒有常見的平方和等于1，那么該如何借用三角換元法去解決呢？

評注：換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，它是用一種變數(shù)形式取代另一種變數(shù)形式,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象.

評注：題海茫茫，變化無窮，通常數(shù)學(xué)問題中已知與未知之間的聯(lián)系并不明顯,有時甚至好象隔著一條難以逾越的鴻溝，本題借用引進參數(shù)m，牽線搭橋,溝通了已知與未知的聯(lián)系,可使問題迎刃而解．

3.借用構(gòu)造法求解

“構(gòu)造法”就是根據(jù)題設(shè)條件或結(jié)論所具有的特征、性質(zhì)，構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)模型，借助于該數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題的方法.

評注：從表面上看，本題純屬代數(shù)中的函數(shù)問題，但根據(jù)多元函數(shù)式及條件的結(jié)構(gòu)特點，聯(lián)想到與之相應(yīng)的幾何模型和代數(shù)背景，通過挖掘代數(shù)問題中蘊含的幾何含義，使問題獲得了簡捷快速的解答．其解法獨特，實屬巧妙，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的奇異美.

評注：由于2y=x+3z，看到這個等式很容易聯(lián)想到等差中項，于是構(gòu)造等差數(shù)列輔助求解，巧妙的構(gòu)造給解題帶來了意想不到的神奇效果.

評注：回顧解法3的整體換元，在求解過程中出現(xiàn)了y2=txz，由這個形式我們不難聯(lián)想到等比中項,于是構(gòu)造等比數(shù)列輔助求解.其解法新穎別致,獨樹一幟，可喚起學(xué)生的求知欲,誘發(fā)他們的好奇心,培養(yǎng)他們的創(chuàng)造力.

4.引用配湊法求解

“配湊法”是一種迂回的解題方法，體現(xiàn)了化歸的思想，它指的是在解答數(shù)學(xué)問題的過程中，巧妙地配、湊一些適當(dāng)?shù)臄?shù)、式或圖形，以獲得或化歸成利于解答的形式.

綜上,一題多解，殊途同歸，是數(shù)學(xué)解題的一大奇觀.一題多解對于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力是十分必要的,但一題多解的最終目的不是用來展示有多少種解決問題的途徑,也不是所有的題目都需要用多種方法求解.通過一題多解的教學(xué)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維可以得到鍛煉，并且從不同的角度對問題進行深入思考，可提高學(xué)生的解題能力，達到一舉多得的效果.研究表明，一題多解也是被認為是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的有效手段.