正態(tài)分布概率區(qū)間模糊數(shù)及測度問題①

丁潤霞, 黃韓亮

(閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 福建 漳州 363000)

0 引 言

由于模糊集在處理不確定信息方面是目前學(xué)術(shù)界最有力的工具, 自Zadeh提出模糊集[1]以來, 模糊集理論及其衍生概念被廣泛運用于決策[2],[3]、規(guī)劃[4]、控制[5]、推理[6]、模式識別[7]等領(lǐng)域.1987年Gorzaczany提出區(qū)間模糊集[8]的概念, 他在模糊集基礎(chǔ)上將隸屬度從一個數(shù)擴展到了一個區(qū)間上, 減少了數(shù)據(jù)信息的丟失, 為決策者提供了更大的決策空間.區(qū)間模糊集是指元素對模糊集的隸屬度為一個區(qū)間, 即元素在隸屬度區(qū)間上概率相等.但在專家給出偏好信息時, 元素在隸屬度區(qū)間上的概率往往不相等, 因此研究隸屬度在區(qū)間上的概率分布具有實際意義.正態(tài)分布在計算機、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域是一種重要的概率模型, 如預(yù)測算法、質(zhì)量控制、崗位預(yù)測等實際問題均可用正態(tài)分布來描述.所以考慮模糊元素在隸屬度區(qū)間上概率呈正態(tài)分布的情形, 創(chuàng)造性地提出了正態(tài)分布概率區(qū)間模糊集和正態(tài)分布概率區(qū)間模糊數(shù)的概念.正態(tài)分布概率區(qū)間模糊集是指模糊元素在隸屬度區(qū)間上的概率分布為正態(tài)分布的情形.為了進一步研究正態(tài)分布概率區(qū)間模糊數(shù)的性質(zhì), 提出了正態(tài)分布概率區(qū)間模糊數(shù)的相似測度和距離測度.通過這兩類測度可以將正態(tài)分布概率區(qū)間模糊數(shù)之間的關(guān)系進行量化.

1 預(yù)備知識

定義1[1]設(shè)U為論域, 則U上的一個模糊集合A由U上的一個實值函數(shù)

來表示.對于x∈U, 函數(shù)值μA(x)稱為x對于A的隸屬度, 而函數(shù)μA稱為A的隸屬函數(shù).

則

(1)A1∪A2=

(2)A1∩A2=

2 正態(tài)分布概率區(qū)間模糊集

現(xiàn)有的關(guān)于區(qū)間模糊集的研究, 是用一個精確的隸屬度區(qū)間來描述元素對模糊集合的隸屬程度, 即在這個區(qū)間上每個點的概率是一樣的.但隨著社會的發(fā)展, 決策信息越來越復(fù)雜, 隸屬度在區(qū)間上每個點的可能性往往不相等.正態(tài)分布是統(tǒng)計學(xué)中一個十分重要的概率分布, 所以本文考慮模糊元素在隸屬度區(qū)間上的概率分布為正態(tài)分布這一連續(xù)型概率的情況, 提出了正態(tài)分布概率區(qū)間模糊集和正態(tài)分布概率區(qū)間模糊數(shù), 即隸屬度區(qū)間上的概率分布為正態(tài)分布的情形, 增加了評價者的評價空間.接下來給出正態(tài)分布概率區(qū)間模糊集和正態(tài)分布概率區(qū)間模糊數(shù)的定義

圖1 正態(tài)分布概率區(qū)間模糊集A={a,b,c}的圖像

圖2 正態(tài)分布概率區(qū)間模糊數(shù)α的圖像

對于正態(tài)分布概率區(qū)間模糊數(shù)我們定義它的并、交、補運算如下:

(2)α1∪α2=

(3)α1∩α2=

基于以上的運算法則, 有下面的運算性質(zhì):

(1)冪等律:α∪α=α;α∩α=α;

(2)交換律:α1∪α2=α2∪α1;α1∩α2=α2∩α1;

(3)結(jié)合律:(α1∪α2)∪α3=α1∪(α2∪α3);

(α1∩α2)∩α3=α1∩(α2∩α3);

(4)吸收律:(α1∪α2)∩α2=α2;

(α1∩α2)∪α2=α2;

(5)分配律:α1∩(α2∪α3)=(α1∩α2)∪(α1∩α3);α1∪(α2∩α3)=(α1∪α2)∩(α1∪α3);

(6)復(fù)原律:(αc)c=α.

證明:由定義5易知(1),(2)顯然成立, 下證(3),(4),(5),(6).

=

同理可得(α1∩α2)∩α3=α1∩(α2∩α3).

=

同理可證(α1∩α2)∪α2=α2.

(5)由定義5知

=

因為

可得

((μ1∧μ2)∨(μ1∧μ3),(σ1∨σ2)∧(σ1∨σ3))

又因為

(μ1∧(μ2∨μ3))=((μ1∧μ2)∨(μ1∧μ3))

σ1∨(σ2∧σ3)=((σ1∨σ2)∧(σ1∨σ3))

故

α1∩(α2∪α3)=(α1∩α2)∪(α1∩α3);

同理

α1∪(α2∩α3)=(α1∪α2)∩(α1∪α3).

3 正態(tài)分布概率區(qū)間模糊數(shù)的測度問題

相似測度、距離測度是模糊集理論的重要研究內(nèi)容, 國內(nèi)外專家學(xué)者對此十分重視.為研究正態(tài)分布概率區(qū)間模糊數(shù)之間的關(guān)系, 根據(jù)其特點構(gòu)造正態(tài)分布概率區(qū)間模糊數(shù)的兩種測度如下:

定義6設(shè)有兩個正態(tài)分布概率區(qū)間模糊數(shù)

則

定理2相似度?(α1,α2)滿足下列性質(zhì)

(1)0≤?(α1,α2)≤1;

(2)α1=α2??(α1,α2)=1;

(3)?(α1,α2)=?(α2,α1).

綜上所述

0≤?(α1,α2)=

(2)當α1=α2時, 即

(3)?(α1,α2)=

?(A2,A1).

定義7設(shè)有兩個正態(tài)分布概率區(qū)間模糊數(shù)

則

d(α1,α2)=1-?(α1,α2)=

稱d(α1,α2)為α1和α2的距離測度.

定理3距離測度d(α1,α2)滿足下列性質(zhì)

(1)0≤d(α1,α2)<1;

(2)α1=α2?d(α1,α2)=0;

(3)d(α1,α2)=d(α2,α1).

證明由定理2易知.

例1在正態(tài)分布概率區(qū)間模糊集

A={a=[0.4,0.7](0.5,0.2),

b=[0.4,0.7](0.6,0.2)，

c=[0.4,0.7](0.6,0.5)，

d=[0.4,0.5](0.5,0.7)}

中找一個與e=[0.4,0.8](0.5,0.2)最相似的正態(tài)分布概率區(qū)間模糊數(shù).

首先計算正態(tài)分布概率區(qū)間模糊集A中每一個元素與d的相似度

綜上所述a與e的相似度最大為0.975, 其次是b與e為0.9631, 接著是c與e為0.8940.觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)a與e只在隸屬度區(qū)間上不同, 而b與e的隸屬度區(qū)間和期望都不同,c與e的隸屬度區(qū)間、期望、方差都不相同, 故較a,b來說c與e相似度更小.d與e和a與e相比隸屬度、方差相差更大, 故較a來說,d與e相似度更小, 符合現(xiàn)實規(guī)律.

4 結(jié) 語

本文定義了正態(tài)分布概率區(qū)間模糊集、正態(tài)分布概率區(qū)間模糊數(shù), 并給出了正態(tài)分布概率區(qū)間模糊數(shù)的運算, 且運算滿足許多優(yōu)良性質(zhì), 與自然規(guī)律相符, 說明了運算是優(yōu)良的.接著給出正態(tài)分布概率區(qū)間模糊數(shù)的相似測度、距離測度來量化正態(tài)分布概率區(qū)間模糊數(shù)之間的關(guān)系.