具有預(yù)先給定跟蹤精度的機(jī)械臂固定時間控制

楊亞東，吳 健

(安慶師范大學(xué) 計算機(jī)與信息學(xué)院，安徽 安慶 246133)

近幾年，有限時間控制因其具有高跟蹤精度、快速響應(yīng)和良好的抗干擾性能而受到越來越多的關(guān)注，并成為研究的熱點[1-7]。文獻(xiàn)[1]對有限時間控制的相關(guān)問題進(jìn)行了綜合性描述。有限時間控制的方法也逐漸被用于各種系統(tǒng)，包括航天器系統(tǒng)[2]、非仿射純反饋系統(tǒng)[3]等。文獻(xiàn)[4]研究了一類不確定仿射非線性系統(tǒng)的跟蹤控制問題，提出了一種基于非對稱模糊小腦模型干擾觀測器的有限時間收斂backstepping控制策略。傳統(tǒng)的有限時間控制方法，其駐留時間函數(shù)受系統(tǒng)初始狀態(tài)的影響，阻礙了該方法的實際應(yīng)用。

為了解決上述傳統(tǒng)有限時間控制方法存在的缺陷，提出了一種新的有限時間控制方法，稱之為固定時間控制，其優(yōu)勢在于駐留時間函數(shù)的上界與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān)，只與設(shè)計參數(shù)有關(guān)。由于固定時間控制在理論和實踐上的重要性，關(guān)于固定時間控制的研究成果不斷涌現(xiàn)[8-12]。文獻(xiàn)[8]針對多電機(jī)位置同步控制系統(tǒng)，提出一種自適應(yīng)非奇異固定時間位置同步控制方法。文獻(xiàn)[9]提出一種新的控制方法，將模型參數(shù)不確定及海洋擾動看作復(fù)合擾動，設(shè)計擾動觀測器，實現(xiàn)固定時間內(nèi)對擾動的精確估計。文獻(xiàn)[10]針對不確定線性系統(tǒng)，提出了基于穩(wěn)定多項式反饋的二階滑?？刂扑惴ǎ_?？刂葡到y(tǒng)是固定時間有界的。文獻(xiàn)[11]研究了一類嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)的固定時間跟蹤控制問題。文獻(xiàn)[12]針對具有自由滾轉(zhuǎn)目標(biāo)的航天器系統(tǒng)，提出了一種滑模流形控制方案，保證控制系統(tǒng)是固定時間穩(wěn)定的。

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，機(jī)械臂系統(tǒng)被廣泛地用于工業(yè)制造、醫(yī)學(xué)治療、娛樂服務(wù)、半導(dǎo)體制造以及太空探索等領(lǐng)域[13-20]。文獻(xiàn)[13]基于backstepping控制策略和有限時間李雅普諾夫函數(shù)的方法，研究了機(jī)械臂的固定時間跟蹤控制問題。在文獻(xiàn)[17]中，提出了一種基于時變障礙李雅普諾夫函數(shù)的預(yù)設(shè)性能自適應(yīng)控制方法，解決了帶有輸出約束的柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的控制問題。

基于以上分析，本文研究一類單鏈路機(jī)械臂系統(tǒng)的固定時間控制問題。本文的主要工作如下：(1)針對單鏈路機(jī)械臂系統(tǒng)，提出具有預(yù)先給定跟蹤精度性能的固定時間控制策略。(2)與文獻(xiàn)[13]相比較，本文所提出的控制策略確保閉環(huán)系統(tǒng)均固定時間穩(wěn)定，同時使系統(tǒng)的跟蹤誤差收斂于預(yù)先給定的精度。

1 問題描述及預(yù)備知識

1.1 系統(tǒng)描述

本文的研究對象為單鏈路機(jī)械臂，系統(tǒng)模型表示如下[13]：

(1)

其中θ(t)為角度，u(t)為輸入扭矩，g為重力加速度，M為瞬時慣性，m為連桿質(zhì)量，l為長度。

(2)

本文的控制目標(biāo)是設(shè)計控制器u使機(jī)械臂角度y(t)在固定時間內(nèi)跟蹤上參考信號yr(t)，且跟蹤誤差在固定的時間內(nèi)漸近收斂于用戶預(yù)先給定的區(qū)間。

注1 針對單鏈路機(jī)械臂系統(tǒng)(1)，文獻(xiàn)[13]提出了實際的固定時間跟蹤控制策略，確保閉環(huán)信號在固定時間內(nèi)收斂到原點的一個任意小的鄰域內(nèi)，但是該鄰域的精確范圍是無法預(yù)先確定的。為了解決這一問題，本文通過引入一類切換函數(shù)，構(gòu)造新的類李雅普諾夫函數(shù)，提出一種新的固定時間控制方案，使得所有閉環(huán)信號是固定時間穩(wěn)定的，且跟蹤誤差在固定的時間內(nèi)漸近收斂于用戶預(yù)先給定的區(qū)間。

為了設(shè)計出合適的控制器，相關(guān)的預(yù)備知識如下所示。

1.2 重要引理和假設(shè)

引理1[13]對于任意xi≥0和常數(shù)i=1，2，3，…，n，有

(3)

引理2[21]考慮系統(tǒng)

(4)

其中，x為狀態(tài)變量，f(·)為連續(xù)光滑的函數(shù)，如果存在正定函數(shù)V(x)，其導(dǎo)數(shù)滿足：

(5)

則系統(tǒng)(4)是固定時間穩(wěn)定的，其中μ1,μ2>0，p>1，0

(6)

2 主要結(jié)果

2.1 固定時間控制器設(shè)計

定義變量誤差如下

ξ1=x1-yr

(7)

ξ2=x2-α

(8)

其中α是虛擬控制器(15)。首先介紹如下兩類切換函數(shù)[21]

(9)

和

(10)

其中πi是設(shè)計參數(shù)，i=1，2。由(9)和(10)，我們可以得到如下性質(zhì)

(11)

基于反推法的設(shè)計過程如下

Step 1.由(2)和(7)，我們可以得到

(12)

構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

(13)

V1對時間t的導(dǎo)數(shù)如下

(14)

設(shè)計虛擬控制器α

(15)

其中，a1和b1表示正的設(shè)計參數(shù)。于是可得

(16)

Step 2.由(2)和(8)，我們可以得到

(17)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如下

(18)

計算出V2的導(dǎo)數(shù)為

(19)

其中，控制器u設(shè)計為

(20)

式中，a2和b2表示正的設(shè)計參數(shù)，

(21)

將(16)和(20)代入(19)中可得

(22)

式中

(23)

如果|ξ2|≤π2+1，則(|ξ1|-π1)φ1(|ξ2|-π2-1)≤0，所以ω≤0，如果|ξ2|>π2+1，則

(24)

即ω≤0。

將ω≤0代入(22)式可得，

(25)

由引理1和引理2可得

將(26)和(27)代入(25)式，可得

(28)

注2 針對系統(tǒng)(1)，文獻(xiàn)[13]提出的實際固定時間跟蹤控制策略，只能保證閉環(huán)信號在固定時間內(nèi)收斂到原點的一個任意小的鄰域內(nèi)，但是其具體的收斂范圍是無法確定的，也未給出具體收斂時間。本文提出的新的固定時間控制方案，不僅使得閉環(huán)信號在固定時間內(nèi)穩(wěn)定，而且保證誤差在時間上限內(nèi)收斂于預(yù)先給定的范圍[-π1，π1]內(nèi)。

2.2 穩(wěn)定性分析

定理 1 針對系統(tǒng)(1)，若假設(shè)1成立，基于構(gòu)造的虛擬控制器(15)以及實際控制器(20)，則在固定時間T0內(nèi)

(1)所有閉環(huán)信號有界。

3 仿真與驗證

為了驗證本文所提出的控制方案的可行性，利用MATLAB對系統(tǒng)(1)進(jìn)行仿真，為了實現(xiàn)控制目標(biāo)，選擇設(shè)計參數(shù)如下a1=0.1，a2=0.2，b1=0.1，b2=0.2，π1=0.001，π2=0.2，g=9.8 m/s2，M=0.6，m=5 kg，l=1 m，系統(tǒng)初始狀態(tài)x1(0)=x2(0)=0.2，參考軌跡yr=0.2sin(t)+cos(0.5t)。

仿真結(jié)果如圖1～4所示，圖1展示了系統(tǒng)輸出y和參考軌跡yr，保持了良好的跟蹤效果。圖2給出了跟蹤誤差ξ1的時間軌跡，可以看出穩(wěn)定后的跟蹤誤差在預(yù)定時間T0=16.64 s收斂于用戶定義區(qū)間內(nèi)，即|ξ1|≤0.001。圖3 給出了響應(yīng)曲線x1，x2。控制輸入u如圖4所示。

圖1 系統(tǒng)輸出y和參考軌跡yr(x1(0)=x2(0)=0.2，M=0.6)

圖2 跟蹤誤差ξ1(x1(0)=x2(0)=0.2，M=0.6,π1=0.001)

圖3 響應(yīng)曲線x1,x2

圖4 控制輸入u

為了表明本控制方案的泛化能力，本文取值參考文獻(xiàn)[13]中參數(shù)x1(0)=0.1,x2(0)=0.2,M=1, 實驗結(jié)果如圖5、圖6所示，圖5展示了系統(tǒng)輸出y和參考軌跡yr，且依然能夠保持良好的跟蹤效果。圖6給出了跟蹤誤差ξ1的時間軌跡，可以看出系統(tǒng)依然可以達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。此外，我們將參數(shù)π1取值修改為0.1，實驗結(jié)果如圖7所示，閉環(huán)系統(tǒng)依然可以達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，誤差在預(yù)定時間內(nèi)收斂于用戶定義區(qū)間，即|ξ1|≤0.1。

圖5 系統(tǒng)輸出y和參考軌跡yr(x1(0)=0.1,x2(0)=0.2，M=1)

圖6 跟蹤誤差ξ1(x1(0)=0.1,x2(0)=0.2，M=1,π1=0.001)

圖7 跟蹤誤差ξ1(x1(0)=x2(0)=0.2，M=0.6,π1=0.1)

4 結(jié)論

本文針對單鏈路機(jī)械臂系統(tǒng)，在反推控制策略和李雅普諾夫穩(wěn)定性理論的基礎(chǔ)上，通過引入一類切換函數(shù)，構(gòu)造新的類李雅普諾夫函數(shù)，研究了系統(tǒng)(1)的固定時間跟蹤控制問題。所提出的控制策略確保機(jī)械臂系統(tǒng)的輸出信號在固定時間內(nèi)跟蹤上期望軌跡，并且跟蹤誤差收斂于用戶預(yù)先定義的精度，并通過仿真驗證了此方法的有效性。