向量鍵合圖在平面多體系統(tǒng)建模中的應(yīng)用研究*

單東升，梁 全，牛 彪

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110870)

0 概述

復(fù)雜系統(tǒng)建模和仿真，通?？赡苌婕暗蕉囝I(lǐng)域交叉的建模和仿真工作。隨著科技的發(fā)展，機(jī)械領(lǐng)域的分析與控制變得愈發(fā)重要。傳統(tǒng)的機(jī)械系統(tǒng)分析方法大多數(shù)只是單獨(dú)一種能量形式的系統(tǒng)，不能適用于多領(lǐng)域交叉的耦合系統(tǒng)。

鍵合圖是多能域統(tǒng)一建模的一種有效工具，它能統(tǒng)一各種能域，只用一種理論就可以建立完整的機(jī)電液混合系統(tǒng)的模型，是實(shí)現(xiàn)多領(lǐng)域交叉的復(fù)雜耦合系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析建模和仿真的有效方法[1]。傳統(tǒng)鍵合圖理論已經(jīng)發(fā)展成熟，在液壓系統(tǒng)、電氣系統(tǒng)、機(jī)械系統(tǒng)以及風(fēng)力發(fā)電等領(lǐng)域的建模仿真中都有著不錯(cuò)的表現(xiàn)[2-5]，然而在對(duì)多體系統(tǒng)進(jìn)行建模時(shí)還存在很多問(wèn)題。

多體系統(tǒng)由數(shù)量有限的剛體組成，通過(guò)任意關(guān)節(jié)相互連接。由于多體機(jī)械系統(tǒng)存在多剛體相互作用，因此剛體間存在運(yùn)動(dòng)幾何約束，使得鍵合圖模型內(nèi)部存在很多非線性的結(jié)型結(jié)構(gòu)。進(jìn)行運(yùn)算時(shí)需要反復(fù)迭代方程，出現(xiàn)微分因果環(huán)，所以此時(shí)傳統(tǒng)鍵合圖法還不適合在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行全局動(dòng)力學(xué)分析。許多學(xué)者為此提出了一些解決辦法，這些方法在對(duì)復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的描述過(guò)程中，通過(guò)標(biāo)量鍵合圖建立的模型會(huì)非常繁瑣、復(fù)雜，從而對(duì)分析求解模型的過(guò)程造成阻礙，容易出錯(cuò)。多維度的鍵合圖可以彌補(bǔ)標(biāo)量鍵合圖的不足，并成為了近些年鍵合圖理論的研究熱點(diǎn)，例如針對(duì)于雙曲柄六桿壓力機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真問(wèn)題的向量鍵合圖法[6]、圍繞Delta型3D打印機(jī)多能域耦合動(dòng)力學(xué)建模的旋量鍵合圖法[7]等。

諸多研究熱點(diǎn)中，向量鍵合圖具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔、形式緊湊的優(yōu)點(diǎn)，但是長(zhǎng)期以來(lái)國(guó)內(nèi)外對(duì)于向量鍵合圖的研究大多數(shù)局限于多體系統(tǒng)的圖形表示，應(yīng)用于模型仿真時(shí)需要分解成標(biāo)量形式，從而再次導(dǎo)致了復(fù)雜的圖形模型，失去了其緊湊圖形的優(yōu)勢(shì)。同時(shí)關(guān)于向量鍵合圖與計(jì)算機(jī)自動(dòng)建模仿真相結(jié)合的實(shí)現(xiàn)，研究空間還很大。本文針對(duì)這些不足，對(duì)基于向量鍵合圖的多領(lǐng)域復(fù)雜系統(tǒng)建模和仿真進(jìn)行了研究。

本文提出了三種針對(duì)平面多體系統(tǒng)進(jìn)行建模的向量鍵合圖基礎(chǔ)模型：自由剛體的向量鍵合圖模型，兩種速度轉(zhuǎn)換的向量鍵合圖模型?；谌菪栽奶匦苑匠痰玫搅烁鞣N運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)的向量鍵合圖模型的搭建方法。由此，分別搭建了單擺模型，雙缸并聯(lián)平臺(tái)模型，并在20-sim軟件中對(duì)模型進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果證明建模的合理性。

1 基于向量鍵合圖的基礎(chǔ)模型介紹

基于三維的向量鍵合圖理論，分別建立自由剛體模型及兩種速度轉(zhuǎn)換模型，共三種基礎(chǔ)模型。通過(guò)容性元特性方程限制運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)的自由度，得到各種運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)的向量鍵合圖模型。對(duì)以上模型進(jìn)行封裝，模塊化。

1.1 自由剛體模型

自由剛體的表示基于牛頓-歐拉方程，經(jīng)過(guò)變矢量的絕對(duì)導(dǎo)數(shù)與相對(duì)導(dǎo)數(shù)定理的轉(zhuǎn)換，可以得到：

(1)

對(duì)應(yīng)式(1)建立自由剛體的向量鍵合圖模型如圖1所示。

圖1 自由剛體向量鍵合圖模型

較高的共流結(jié)代表慣性系中的質(zhì)心速度向量v，前者連接表示剛體慣性的慣性元；較低的共流結(jié)代表質(zhì)心角速度向量，前者連接表示剛體主軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的慣性元；自制的MGR元件與GR元件的值為：

MGR：ω×(m·v)

(2)

GR：ω×(J·ω)

(3)

1.2 速度矢量轉(zhuǎn)換模型

速度矢量的轉(zhuǎn)換分為兩種，一種是剛體內(nèi)部任一點(diǎn)處速度矢量的轉(zhuǎn)換，另一種是不同坐標(biāo)系間的速度矢量轉(zhuǎn)換。

基于基點(diǎn)法可求得剛體內(nèi)任一點(diǎn)的速度，因此，勢(shì)變量對(duì)應(yīng)的方程為：

M=F×r

Mi=εijkFjrk

(4)

流變量對(duì)應(yīng)的方程為：

v=ω×r

vi=εijkωjrk

(5)

式(4)與式(5)符合變換器形式，因此剛體內(nèi)的任意兩點(diǎn)A和B的速度矢量轉(zhuǎn)換的向量鍵合圖模型如圖2所示。

圖2 剛體內(nèi)部?jī)牲c(diǎn)速度矢量轉(zhuǎn)換

不同坐標(biāo)系間的速度矢量轉(zhuǎn)換是指速度矢量在剛體的體固坐標(biāo)系與運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)的中間坐標(biāo)系(各軸與慣性系平行)之間的相互轉(zhuǎn)換。本文采用歐拉角法實(shí)現(xiàn)了這種轉(zhuǎn)換，如式(6)所示。歐拉角α、β和γ定義了三種連續(xù)有序的旋轉(zhuǎn)：γ是繞z軸旋轉(zhuǎn)的角度，β是繞y軸旋轉(zhuǎn)的角度，α是繞x軸旋轉(zhuǎn)的角度。對(duì)體固坐標(biāo)系中的速度矢量依次左乘α、β、γ三個(gè)歐拉角旋轉(zhuǎn)矩陣便可得到中間坐標(biāo)系中的速度矢量，三個(gè)歐拉角旋轉(zhuǎn)矩陣相乘可以寫成相應(yīng)的正交變換矩陣，如式(7)所示。

ωG=Tω

vG=Tv

(6)

(7)

式中：ωG、vG—中間坐標(biāo)系的角速度與線速度；ω、v—體固坐標(biāo)系中的角速度與線速度；c=cos,s=sin。

因此速度矢量從體固坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到中間坐標(biāo)系的向量鍵合圖模型如圖3所示。

圖3 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換模型

圖3中的RotTrans模塊內(nèi)置正交變換矩陣，輸入信號(hào)是經(jīng)過(guò)體固坐標(biāo)系中角速度調(diào)制的歐拉角。

1.3 運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)的實(shí)現(xiàn)

運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)是剛體間的連接部分，它需要限制了空間中的一些自由度，本文是基于設(shè)置容性元來(lái)實(shí)現(xiàn)的，容性元的特性方程為：

(8)

其中：e(t)—?jiǎng)葑兞?；q(t)—流變量；C0—線性容度參數(shù)。

容性元內(nèi)置參數(shù)設(shè)置非常小時(shí)，容性元所連接的鍵上勢(shì)變量與流變量的值都近似為0，在容性元上鍵接一個(gè)共勢(shì)結(jié)(與共勢(shì)結(jié)連接的鍵上勢(shì)相同，流之和為0)，因此當(dāng)共勢(shì)結(jié)與容性元連接的鍵上流近似為0時(shí)，與共勢(shì)結(jié)連接的另兩條鍵上的流數(shù)值是近似相等的。通過(guò)這樣設(shè)置容性元，使得關(guān)節(jié)具有一定的柔性而不是完全剛性，取越小的容性元參數(shù)，運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)的剛度越大；反之，取越大的容性元參數(shù)，運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)的柔性越大。

以繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)為例，轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)只有一個(gè)方向上轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度不受限制，其向量鍵合圖模型如圖4所示。

圖4 轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的向量鍵合圖模型

1.4 模型驗(yàn)證

假設(shè)某單擺長(zhǎng)為0.1 m，左端點(diǎn)A點(diǎn)固定在坐標(biāo)原點(diǎn)上，右端點(diǎn)為B點(diǎn)，單擺在YOZ平面內(nèi)與OY軸成-30°；單擺質(zhì)量為0.065 kg，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為4.4×10-5kg·m2，不計(jì)阻尼，在YOZ平面在重力作用下做單擺運(yùn)動(dòng)，該單擺模型在Amesim軟件中如圖5(a)所示，其未完全模塊化的向量鍵合圖模型如圖5(b)所示。

圖5 單擺模型

兩個(gè)勢(shì)源通過(guò)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換施加到單擺剛體的質(zhì)心上，以此模仿重力；單擺左端通過(guò)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)與兩個(gè)流源Sf=0連接，起到將單擺左端點(diǎn)與地面固連的作用。

需要對(duì)3個(gè)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換子模型的內(nèi)置正交變換矩陣右乘一個(gè)矩陣：

[1,0,0;0,sqrt(3)/2,0.5;0,-0.5，sqrt(3)/2]

以此對(duì)應(yīng)單擺與OY軸成-30°，在20-sim軟件中輸出仿真曲線如圖6所示。

圖6 單擺模型位移輸出曲線

兩個(gè)模型的曲線輸出結(jié)果一致，驗(yàn)證了曲柄滑塊的向量鍵合圖模型的正確性。

2 雙缸并聯(lián)平臺(tái)多能域耦合建模與仿真

2.1 雙缸并聯(lián)平臺(tái)的向量鍵合圖模型

某雙缸并聯(lián)平臺(tái)的簡(jiǎn)圖如圖7所示，左驅(qū)動(dòng)桿不可以轉(zhuǎn)動(dòng)，橫梁長(zhǎng)為L(zhǎng)，左右驅(qū)動(dòng)桿未伸縮時(shí)的自由長(zhǎng)度為r，由兩個(gè)閥控缸控制平臺(tái)的姿態(tài)，平臺(tái)系統(tǒng)的自由度是2。

圖7 雙缸系統(tǒng)示意圖

閥控缸通過(guò)傳統(tǒng)鍵合圖進(jìn)行建模，在此不進(jìn)行詳述[8]，閥控缸的模型與平臺(tái)的多體模型通過(guò)一個(gè)伸縮關(guān)節(jié)連接，如圖8所示。

圖8 伸縮關(guān)節(jié)的向量鍵合圖模型

通過(guò)容性元限制了3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)和2個(gè)平動(dòng)的自由度，允許兩個(gè)連接剛體在z軸方向上的兩個(gè)極限點(diǎn)之間存在相對(duì)移動(dòng)，圖7中的剛體內(nèi)部轉(zhuǎn)換子模型通過(guò)液壓缸的極限位置端點(diǎn)進(jìn)行了調(diào)制；勢(shì)源在這里代表液壓缸的作用。

輸入期望姿態(tài)信號(hào)通過(guò)自編運(yùn)動(dòng)學(xué)反解模塊輸出信號(hào)到閥控缸，閥控缸采用閉環(huán)PID控制；雙缸多體系統(tǒng)按照結(jié)構(gòu)功能進(jìn)行一次封裝，其一級(jí)子模型如圖9(a)所示其子模型命名對(duì)應(yīng)于圖7中編號(hào)；通過(guò)系統(tǒng)功能進(jìn)行二次封裝，其主模型如圖9(b)所示，通過(guò)逐級(jí)封裝，模塊化的雙缸并聯(lián)平臺(tái)的模型變得非常簡(jiǎn)潔。

圖9 20-sim中的雙缸并聯(lián)平臺(tái)

2.2 算例

給定雙缸并聯(lián)平臺(tái)多體結(jié)構(gòu)部分的尺寸參數(shù)：橫梁長(zhǎng)及左右驅(qū)動(dòng)桿未伸縮時(shí)的自由長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)=5 m，r=3 m，初始位置時(shí)兩個(gè)驅(qū)動(dòng)桿與橫梁垂直，橫梁負(fù)載為5000 kg。輸入期待值alpha=0.2 rad，y=0.05 m，z=0.5 m。

此時(shí)平臺(tái)質(zhì)心位姿及雙缸狀態(tài)的輸出如圖10所示。

圖10 仿真輸出曲線

平臺(tái)質(zhì)心的輸出曲線穩(wěn)態(tài)值與輸入的期待位姿信號(hào)一致，運(yùn)動(dòng)學(xué)反解算法與平臺(tái)模型互相驗(yàn)證正確，運(yùn)動(dòng)學(xué)反解模塊輸出信號(hào)與雙缸伸縮量一致，說(shuō)明平臺(tái)的多體結(jié)構(gòu)建模正確，對(duì)平臺(tái)的控制成功。

3 結(jié)論

基于向量鍵合圖理論，提出了3種針對(duì)多體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行建模的基礎(chǔ)模型。文中以單擺模型為例，驗(yàn)證了3種基礎(chǔ)模型以及通過(guò)容性元限制運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)自由度的正確性；以雙缸并聯(lián)平臺(tái)為研究對(duì)象，實(shí)現(xiàn)了多體系統(tǒng)與閥控缸系統(tǒng)相結(jié)合的多領(lǐng)域統(tǒng)一建模與仿真。

研究結(jié)果表明：

1)提出的向量鍵合圖基礎(chǔ)模型對(duì)多體系統(tǒng)的表達(dá)意義清晰，輸出正確，可用來(lái)表達(dá)任何平面多體結(jié)構(gòu)；通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)模型與各種運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)進(jìn)行封裝，實(shí)現(xiàn)模塊化建模，形式更簡(jiǎn)潔。

2)以本文基礎(chǔ)模型搭建的雙缸并聯(lián)平臺(tái)多體結(jié)構(gòu)的向量鍵合圖模型與閥控缸的傳統(tǒng)鍵合圖模型結(jié)合，實(shí)現(xiàn)對(duì)雙缸并聯(lián)平臺(tái)系統(tǒng)的建模與仿真驗(yàn)證?；诒疚乃龌A(chǔ)模型，可以與其他傳統(tǒng)的標(biāo)量鍵合圖模型連接，用統(tǒng)一的方式處理多能域耦合的平面多體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析問(wèn)題。