基于多粒度概率粗糙集與MULTIMOORA的q-RO模糊多屬性群決策

白文慧，張 超,2，陳煒哲，李德玉,2，上官學奎，馬瑾男

(1.山西大學 計算機與信息技術(shù)學院，太原 030006；2.計算智能與中文信息處理教育部重點實驗室(山西大學)，太原 030006；3.山西省信息產(chǎn)業(yè)技術(shù)研究院有限公司，太原 030012)

0 引 言

當前，許多復雜決策問題的高效求解涉及相互聯(lián)系或相互制約的屬性，需要決策者針對有限個方案從多個屬性的視角進行分析并選擇最優(yōu)方案，從而形成了多屬性決策[1-2]。此外，在許多重要決策過程中，為了體現(xiàn)科學化與民主化，通常要求一個群體來參與決策，該群體通過商議、協(xié)調(diào)或談判來得出決策結(jié)論，這類由多個決策者參與的形式即為群決策[3]。多屬性群決策是多屬性決策與群決策的交叉研究方向，結(jié)合多個決策者給出的方案偏好信息，將其集成為群體偏好信息，并利用所構(gòu)建的理論對各方案進行擇優(yōu)[4]。近年來，多屬性群決策已成為現(xiàn)代決策領(lǐng)域的研究熱點，有力推動了社會經(jīng)濟的快速發(fā)展。

q-RO模糊集由Yager[5]首先提出，該類模糊集由隸屬度μ與非隸屬度ν構(gòu)成，且滿足μq+νq≤1。此外，當q=1時，q-RO模糊集退化為直覺模糊集[6]；當q=2時，q-RO模糊集退化為勾股模糊集[7]。顯然，q-RO模糊集為直覺模糊集與勾股模糊集的拓展形式。例如，某決策者針對一個備選方案在某一屬性下的評估值為(0.7,0.8)，不難發(fā)現(xiàn)0.7+0.8=1.5>1，0.72+0.82=1.13>1，0.73+0.83=0.855<1成立。因此，直覺模糊集與勾股模糊集無法有效表示上述評估值，但q-RO模糊集的引入擴大了決策信息的表示范圍，可合理描述評估值(0.7,0.8)。學者們考慮到q-RO模糊集在信息表示范圍方面的優(yōu)勢，逐漸關(guān)注并發(fā)展了q-RO模糊多屬性群決策問題，并取得了豐碩的研究成果[8-10]。

在決策信息融合與分析中，多粒度概率粗糙集可同時體現(xiàn)多粒度粗糙集[11-12]與概率粗糙集[13-14]的特點和優(yōu)勢。一方面，在樂觀、悲觀、可調(diào)節(jié)等不同多粒度計算模型[15-17]的支持下，多粒度粗糙集可用于高效求解風險型多屬性群決策問題；另一方面，在經(jīng)典粗糙集中，粗糙近似的結(jié)構(gòu)比較嚴格且缺乏容錯能力，概率粗糙集通過引入閾值使其具備了容錯能力，學者們在此基礎(chǔ)上系統(tǒng)探索了基于概率粗糙集的多類理論模型。近年來，多粒度概率粗糙集已應(yīng)用于許多實際應(yīng)用領(lǐng)域，如雙邊匹配[18]、分類模型[19]、屬性約簡[20]等。

Brauers[21]指出，結(jié)合多種決策方式的多屬性決策方法所得結(jié)果優(yōu)于僅使用某一類決策方式的多屬性決策。故Brauers和Zavadskas[22]將全乘模型引入比例分析多目標優(yōu)化(multi-objective optimization by ratio analysis, MOORA)中，提出了全乘比例分析多目標優(yōu)化(MOORA plus the full multiplicative form, MULTIMOORA)?？傮w來看，MULTIMOORA因其運算簡單、魯棒性強等優(yōu)點，已逐漸引起了各領(lǐng)域研究人員的廣泛關(guān)注[23-25]。

本文為探索q-RO模糊信息系統(tǒng)中具備穩(wěn)定決策結(jié)果的多屬性群決策方法，依據(jù)多粒度概率粗糙集與MULTIMOORA建立q-RO模糊多屬性群決策方法，為獲得穩(wěn)定決策結(jié)果提供模型與方法方面的理論支撐。本文的主要貢獻包括3方面：①提出了多粒度q-RO模糊概率粗糙集模型；②建立了基于多粒度q-RO模糊概率粗糙集與MULTIMOORA的q-RO模糊多屬性群決策方法；③通過實例分析和對比性分析驗證了所建立方法的可行性與有效性。

1 基本理論

1.1 q-RO模糊集

定義1[5]設(shè)U是一個非空有限論域，論域U上的一個q-RO模糊集表示為

B={〈x,(μb(x),νb(x))〉|x∈U}

(1)

(1)式中：函數(shù)μb:U→[0,1]和νb:U→[0,1]分別表示q-RO模糊集B的隸屬度和非隸屬度。對于任意x∈U，滿足(μb(x))q+(νb(x))q≤1，q≥1。此外，將q-RO模糊數(shù)記作b=(μ,ν)。

在q-RO模糊多屬性群決策中，q-RO模糊數(shù)的比較機制起著關(guān)鍵作用，其得分函數(shù)和精確函數(shù)的定義如下。

定義2[8]令b=(μ,ν)為一個q-RO模糊數(shù)，b的得分函數(shù)和精確函數(shù)表示為

(2)

(3)

對于2個q-RO模糊數(shù)b和b′，若s(b)>s(b′)，則b>b′；若s(b)a(b′)，則b>b′；若滿足s(b)=s(b′)且a(b)

定義3[7,18]令b=(μ,ν)和b′=(μ′,ν′)為2個q-RO模糊數(shù)，存在如下主要運算規(guī)則。

6)bb′=

1.2 q-RO模糊概率粗糙集

定義4[18]設(shè)U和V是2個非空有限論域，U×V上的q-RO模糊關(guān)系R表示為

R={〈(x,y),μR(x,y),νR(x,y)〉|

(x,y)∈U×V}

(4)

(4)式中：μR(x,y)和νR(x,y)取值為[0,1]，代表(x,y)對R的隸屬度和非隸屬度。對于任意(x,y)∈U×V，令γ∈μR(x,y)，η∈νR(x,y)，γ+=max{γ|γ∈μR(x,y)}和η+=max{η|η∈νR(x,y)}，則有0≤γ,η≤1且0≤γ+,η+≤1。

定義5[13]令U，R，P分別代表一個非空有限論域，該論域上的等價關(guān)系和概率度量，稱(U,R,P)為一個概率近似空間。對于任意x∈U和閾值0≤β<α≤1，X的上下近似定義為

(5)

(6)

1.3 MULTIMOORA

MULTIMOORA是Brauers和Zavadskas[22]建立的一種具備穩(wěn)定決策結(jié)果的方法，通常包括比率系統(tǒng)、參考點、全乘法形式。其中，在比率系統(tǒng)中，xij代表目標i(i=1,2,…,n)上備選方案j(j=1,2,…,m)的對應(yīng)值。將一個目標對備選方案的每個對應(yīng)值作為分子，該目標有關(guān)的所有備選方案的平方和的平方根作為分母，即

(7)

(8)

參考點是求參考點與對應(yīng)點的最小最大度量，即

(9)

與其他決策方法相比，MULTIMOORA主要有以下優(yōu)點：①通過結(jié)合多個基本方法，使得所求結(jié)果準確性更高；②能有效解決具有多個備選方案的復雜多屬性決策問題；③計算過程易于理解，運算速度快。

2 多粒度q-RO模糊概率粗糙集

在q-RO模糊信息系統(tǒng)中，q可取滿足對于任意x∈U，(μb(x))q+(νb(x))q≤1，q≥1的任意值。一般情況下為了運算方便，取滿足條件的最小q值。

本節(jié)在q-RO模糊信息系統(tǒng)中，結(jié)合多粒度粗糙集與概率粗糙集，提出3類多粒度q-RO模糊概率粗糙集模型。

1)Ⅰ-型多粒度q-RO模糊概率粗糙集。本節(jié)采用加權(quán)平均算子來構(gòu)建Ⅰ-型多粒度q-RO模糊概率粗糙集，可克服樂觀、悲觀多粒度概率粗糙集存在信息融合極端性方面的局限。

(10)

2)Ⅱ-型多粒度q-RO模糊概率粗糙集。距離度量是q-RO模糊信息融合過程中的關(guān)鍵步驟，本節(jié)采用歐氏距離法構(gòu)建Ⅱ-型多粒度q-RO模糊概率粗糙集。

(11)

3)Ⅲ-型多粒度q-RO模糊概率粗糙集。加權(quán)平均算子傾向于考慮評價集中的群體性意見。本節(jié)依據(jù)加權(quán)幾何算子構(gòu)建Ⅲ-型多粒度q-RO模糊概率粗糙集，該方法傾向于考慮評價集中的個體意見。

(12)

3 基于多粒度概率粗糙集與MULTI-MOORA的q-RO模糊多屬性群決策

3.1 模型建立

給定一個q-RO模糊信息系統(tǒng)(U,V,Ri,B)，首先利用離差最大化法[26]求出每個屬性的權(quán)重值和每個決策者的權(quán)重值。

令

(13)

(14)

(15)

(16)

對于任意xj∈U，yk∈V，xj關(guān)于信息系統(tǒng)(U,V,Ri,B)的多粒度隸屬度為

(17)

排序函數(shù)Ind(xj)(j=1,2,…,p)表示xj的值在所有x的值中從大到小的排序值。如設(shè)x1=0.4，x2=0.8，x3=0.6，則Ind(x1)=3，Ind(x2)=1，Ind(x3)=2。

3.2 模型算法

輸入：一個q-RO模糊信息系統(tǒng)(U,V,Ri,B)。

輸出：最佳備選方案x*。

步驟1選取合適的q值；

步驟2計算每個屬性的權(quán)重值和每個決策者的權(quán)重值；

步驟5根據(jù)排序函數(shù)Ind(ξj)，Ind(ψj)，Ind(ζj)，得到MULTIMOORA排序；

算法流程圖如圖1。

圖1 q-RO模糊多屬性群決策流程圖

3.3 算法復雜度

在模型算法中，步驟1選取q值的復雜度為O(pn)；步驟2計算各個屬性權(quán)重值的復雜度為O(p2m)，各決策者權(quán)重值的復雜度為O(p2n)；步驟3計算隸屬度θ的復雜度為O(pmn)；步驟4計算得到3種排序的復雜度為O(m2)；步驟5—步驟6選擇最佳備選方案的復雜度為O(p)。因此，該算法的總體時間復雜度為O(p2n)。

4 實例分析

4.1 實例描述

本節(jié)以文獻[18]中的案例為背景進行實例分析，給出q-RO模糊多屬性群決策的具體步驟。

假設(shè)某投資公司擬從財務(wù)指標的視角出發(fā)，選擇一個符合公司合作意向、要求和戰(zhàn)略地位的商業(yè)伙伴。為體現(xiàn)科學化與民主化，由3位財務(wù)專家構(gòu)建了一個q-RO模糊信息系統(tǒng)(U,V,Ri,B)(i=1,2,3)。首先，令U={x1,x2,x3,x4}為經(jīng)考察后可選企業(yè)的集合，V={y1,y2,y3,y4,y5}為企業(yè)財務(wù)指標的集合，其中，yk(k=1,2,3,4,5)分別表示毛利率、流動比率、應(yīng)付賬款周轉(zhuǎn)率、資產(chǎn)負債率、凈資產(chǎn)收益率。3位財務(wù)專家根據(jù)論域U和論域V給出的q-RO模糊關(guān)系如表1—表3。標準財務(wù)指標為B={,,,,}。綜上所述，可得該企業(yè)財務(wù)質(zhì)量匹配的q-RO模糊信息系統(tǒng)(U,V,Ri,B)。

表1 備選企業(yè)財務(wù)指標的q-RO模糊關(guān)系1

表2 備選企業(yè)財務(wù)指標的q-RO模糊關(guān)系2

表3 備選企業(yè)財務(wù)指標的q-RO模糊關(guān)系3

4.2 決策過程

首先，根據(jù)(U,V,Ri,B)中所有評估值，確定本實例中q的最小值為3。

因此，可得Ⅰ-型排序結(jié)果ξ3>ξ4>ξ2>ξ1。

因此，可得Ⅱ-型排序結(jié)果ψ3>ψ4>ψ2>ψ1。

然后，可計算出下列多粒度q-RO模糊隸屬度為

因此，可得Ⅲ-型排序結(jié)果ζ3>ζ4>ζ2>ζ1。

根據(jù)以上3種不同企業(yè)的排序，確定以下排序函數(shù)。

Ind(ξ3)=Ind(ψ3)=Ind(ζ3)=1；

Ind(ξ4)=Ind(ψ4)=Ind(ζ4)=2；

Ind(ξ2)=Ind(ψ2)=Ind(ζ2)=3；

Ind(ξ1)=Ind(ψ1)=Ind(ζ1)=4。

最后，依據(jù)本文所建立的q-RO模糊多屬性群決策方法，可得排序結(jié)果x3>x4>x2>x1，即最佳企業(yè)為x3。

4.3 靈敏度分析

靈敏度分析是一種常見的分析不確定性的實驗方法，其實質(zhì)是通過逐一改變相關(guān)變量的數(shù)值來解釋關(guān)鍵指標受這些因素變動影響大小的規(guī)律。

本文通過改變上述實例中的q值來觀察決策結(jié)果的變化。當q的取值為5時，計算結(jié)果如表4，排序結(jié)果為x3>x4>x2>x1。

表4 q=5時，q-RO模糊多屬性群決策結(jié)果

當q的取值為10時，計算結(jié)果如表5，排序結(jié)果為x3>x2>x4>x1。

表5 q=10時，q-RO模糊多屬性群決策結(jié)果

當q的取值為20時，計算結(jié)果如表6，排序結(jié)果為x3>x2>x4>x1。

表6 q=20時，q-RO模糊多屬性群決策結(jié)果

結(jié)果表明，當q發(fā)生變化時，排序結(jié)果和之前有一些差別，但不影響最終的結(jié)果，最優(yōu)企業(yè)仍為x3。因此，本文所建立的q-RO模糊多屬性群決策方法在上述實例中具備穩(wěn)定性。

4.4 有效性測試

Wang和Triantaphyllou[27]提出了多屬性決策方法有效性測試的標準。本節(jié)通過測試1和測試2證明所建立的q-RO模糊集多屬性群決策方法具備有效性。

測試1在一個有效的多屬性群決策分析中，用一個更差的備選方案去替代非最優(yōu)方案時不會改變最優(yōu)備選方案。在上述實例中，分別用表1—表3中x4的補集替代x1，計算結(jié)果如表7。

表7 q-RO模糊多屬性群決策測試1結(jié)果

排序結(jié)果為x3>x4>x2>x1，最佳選項為x3。該結(jié)果與4.1節(jié)中的結(jié)果一致。因此，測試1驗證了本文所建立的多屬性群決策方法具備有效性。

測試2若將一個多屬性群決策問題分解成若干小規(guī)模決策問題，分別對它們使用相同的決策方法，將結(jié)果進行組合后，最后結(jié)果應(yīng)與原結(jié)果保持一致。在上述實例中，若將決策問題分成2個小規(guī)模的多屬性群決策問題，即{x1,x2,x3}和{x2,x3,x4}，然后采用本文所建立的方法可得x3>x2>x1和x3>x4>x2，進行組合之后，該結(jié)果與原結(jié)果保持一致。因此，測試2驗證了所建立的多屬性群決策方法具備有效性。

4.5 對比性分析

本節(jié)將分別用上述提到的3種多屬性群決策方法以及決策指標集的方法與本文中的可調(diào)多粒度多屬性群決策方法進行了對比性分析。

分析1比較了上文提到的3種決策方法以及本文提出的可調(diào)多粒度多屬性群決策方法，結(jié)果如圖2。

圖2 文獻[18]背景下4種多屬性群決策方法結(jié)果對比

從圖2中可看出，不同方法所得計算結(jié)果雖存在差異，但這4種方法選擇出的最優(yōu)備選企業(yè)均為x3。

分析2使用基于指標集的決策方法，計算結(jié)果如下。

計算結(jié)果顯示T1∩T2∩T3={3}≠?，因此，最優(yōu)備選企業(yè)仍為x3。

整體來看，本文所建立的q-RO模糊多屬性群決策方法利用了MULTIMOORA的優(yōu)勢，并克服使用單一決策方法所帶來決策結(jié)果存在差異的局限，可為獲取穩(wěn)定決策結(jié)果提供理論支撐。

4.6 實驗分析

本節(jié)以文獻[28]中案例為背景，進行如下實驗分析。

在蒸汽輪機的故障診斷過程中，假設(shè)1組10個故障模式表示為U={x1,x2,…,x10}，其中，xj(j=1,2,…,10)代表不平衡、氣動力耦合、偏移中心、油膜振蕩、轉(zhuǎn)子的徑向沖擊摩擦、共生松動、抗靜電軸承損傷、喘振、軸承塊松動、非均勻軸承剛度。另一論域V={y1,y2,…,y9}代表9個頻率范圍，其中，yk(k=1,2,…,9)表示不同頻譜的一些頻率范圍：C1(0.01-0.39f)，C2(0.4-0.49f)，C3(0.5f)，C4(0.51-0.99f)，C5(f)，C6(2f)，C7(3-5f)，C8(f的奇數(shù)倍)，C9(大于5f的高頻)，故障測試的樣本為D。為解決該多屬性群決策問題，每位機械工程師都提供他們關(guān)于系統(tǒng)故障的決策偏好，如表8—表10，并以q-RO模糊集的形式給出。D={,,,,,,,,}。

表8 工程師1提供的系統(tǒng)故障知識

表9 工程師2提供的系統(tǒng)故障知識

表10 工程師3提供的系統(tǒng)故障知識

通過本文所建立的算法進行決策分析，計算結(jié)果如表11和圖3。不難看出，最終排序結(jié)果顯示最優(yōu)備選項為x7，與文獻[28]結(jié)果一致，因此，進一步驗證了本文所提出方法的有效性。

表11 實例2的計算結(jié)果

圖3 文獻[28]背景下4種多屬性群決策方法結(jié)果對比

5 總 結(jié)

本文針對q-RO模糊多屬性群決策問題，首先提出了3類多粒度q-RO模糊概率粗糙集。然后，建立了基于多粒度概率粗糙集與MULTIMOORA的q-RO模糊多屬性群決策方法。最后，通過實際算例驗證了所建立方法的可行性與有效性。在接下來的研究中，有必要進一步探索大規(guī)模群體決策、動態(tài)決策等問題，并利用更廣泛的知識發(fā)現(xiàn)工具來獲得更具說服力和可解釋性的決策結(jié)論。