從“無模到有模、有模到有法”突破電磁感應(yīng)中的單棒問題

湖南 王經(jīng)天 丁學(xué)農(nóng)

在平時(shí)的教學(xué)中，通常是分類“建模”去處理電磁感應(yīng)中的單棒問題，例如“R-v0”型、“R-F”型、“E-R”型、“C-F”型等等?！敖！狈ㄌ幚黼姶鸥袘?yīng)中的單棒問題的優(yōu)勢(shì)是學(xué)生模仿快、短期效果明顯，但在實(shí)際應(yīng)用中的劣勢(shì)是不能以不變應(yīng)萬變，學(xué)生遇到新的問題往往無法下手。在“建模”之前先讓學(xué)生形成思想方法，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“無模”到“有?！钡倪^渡，在實(shí)踐的過程中再讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)“有模”到“有法”的升華，這樣才能真正幫助學(xué)生突破電磁感應(yīng)中的單棒問題。

一、“無?！钡健坝心！?/h2>

1.情景構(gòu)建：如圖1所示，有一垂直于傾角為θ的平行金屬導(dǎo)軌MN和PQ向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，平行導(dǎo)軌MN和PQ間的距離為L，導(dǎo)軌的NQ之間接有電阻R，在導(dǎo)軌上靜止釋放與導(dǎo)軌垂直的電阻為r、質(zhì)量為m、長度也為L的金屬棒ab，ab棒和導(dǎo)軌接觸良好，ab棒和導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，導(dǎo)軌足夠長，重力加速度為g。

圖1

2.過程體驗(yàn)：

(1)“轉(zhuǎn)化圖形”——把立體圖轉(zhuǎn)化為平面圖便于對(duì)棒進(jìn)行受力分析

(2)“判斷流向”——利用右手定則判斷出導(dǎo)體棒ab中的電流I由a→b，為棒的受力分析服務(wù)

(3)“受力分析”——ab棒的受力情況如圖2所示

圖2

受力分析的目的是：

②若導(dǎo)體棒處在變速狀態(tài)，根據(jù)牛頓第二定律建立方程，得出導(dǎo)體棒的加速度a的表達(dá)式

③若導(dǎo)體棒處在平衡狀態(tài)，則建平衡方程

(4)“過程分析”——畫出v-t圖像

圖3

(5)“能量分析”

假設(shè)ab由靜止釋放到達(dá)到最大速度過程中沿導(dǎo)軌下滑的位移為x，求電路中產(chǎn)生的總熱量Q?

①方法一：根據(jù)焦耳定律Q=I2Rt求解，由于在ab棒加速下滑過程中，電路中的電流是變化的，因此在此情景中不能用焦耳定律求電路中產(chǎn)生的熱量

②方法二：用動(dòng)能定理求解

WF安=Q

③方法三：根據(jù)能量守恒定律求解

(6)“動(dòng)量分析”

①已知導(dǎo)體棒ab從靜止釋放到達(dá)到最大速度過程中，沿導(dǎo)軌下滑的位移為x，求流過電阻R的電荷量q？

②已知導(dǎo)體棒ab從靜止釋放到達(dá)到最大速度過程中，流過電阻R的電荷量為q，求此過程所用時(shí)間t？

對(duì)導(dǎo)體棒ab由動(dòng)量定理得：沿斜面向下方向?yàn)檎较颍?/p>

mgsinθ·t-μmgcosθ·t-BLIt=mvm

即mgsinθ·t-μmgcosθ·t-BLq=mvm

注意：已知導(dǎo)體棒ab從靜止釋放，到達(dá)到最大速度過程中，沿導(dǎo)軌下滑的位移為x，就可求出此過程中流過電阻R的電荷量q，求出了電荷量q，再根據(jù)動(dòng)量定理就可求出此過程所對(duì)應(yīng)的時(shí)間t，一般在情景中出現(xiàn)了q、x、t三個(gè)物理量往往需要考慮從動(dòng)量定理入手分析。

3.方法總結(jié)

說明：電磁感應(yīng)中的單棒問題的思路如上方法總結(jié)，但是在實(shí)際應(yīng)用中往往要根據(jù)題中的實(shí)際情況合理選擇切入點(diǎn)。

二、“有?！钡健坝蟹ā?/h2>

建模說法一：“R-v0”型

【例1】(多選)如圖4所示，兩根足夠長的平行金屬導(dǎo)軌相距為L，其中NO1、NO2部分水平，傾斜部分MN、PQ與水平面的夾角為α，整個(gè)空間存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直導(dǎo)軌平面MNQP向上，長為L的金屬棒ab、cd與導(dǎo)軌垂直放置且接觸良好，其中ab光滑，cd粗糙，棒的質(zhì)量均為m、電阻均為R。將ab由靜止釋放，在ab下滑至速度剛好達(dá)到穩(wěn)定的過程中，cd始終靜止不動(dòng)。若導(dǎo)軌電阻不計(jì)，重力加速度為g，則在上述過程中

圖4

( )

A.ab棒做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)

C.cd棒所受摩擦力的最大值為mgsinαcosα

D.cd中產(chǎn)生的熱量等于ab棒機(jī)械能的減少量

【解析】①“轉(zhuǎn)化圖形”：把立體圖轉(zhuǎn)化為平面圖

②“判斷流向”：由右手定則判斷ab棒中的電流由b流向a

③“受力分析”和“過程分析”：受力分析如圖5

圖5

對(duì)cd棒受力分析如圖6，摩擦力等于安培力在水平方向的分力，即f=BILcosα=mgsinαcosα，C正確；

圖6

④“能量分析”：由能量守恒可得，ab棒減小的機(jī)械能等于ab和cd產(chǎn)生的焦耳熱，D錯(cuò)誤。

【點(diǎn)評(píng)】本題充分體現(xiàn)了處理電磁感應(yīng)中的“R-v0”型單棒問題的基本方法：轉(zhuǎn)化圖形→判斷流向→受力分析→過程分析→能量分析

建模說法二：“R-F”型

【例2】(多選)如圖7所示，光滑的平行豎直金屬導(dǎo)軌AB、CD相距L，在A、C之間接一個(gè)阻值為R的電阻，在兩導(dǎo)軌間abcd矩形區(qū)域內(nèi)有垂直導(dǎo)軌平面向外、寬為5d的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，一質(zhì)量為m、電阻為r，長度也剛好為L的導(dǎo)體棒放在磁場(chǎng)下邊界ab上(與ab邊重合)?，F(xiàn)用一個(gè)豎直向上的力F拉導(dǎo)體棒，使它由靜止開始運(yùn)動(dòng)，已知導(dǎo)體棒離開磁場(chǎng)前已開始做勻速直線運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌始終垂直且保持良好接觸，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，F(xiàn)隨導(dǎo)體棒與初始位置的距離x變化的情況如圖8所示，下列判斷正確的是

圖7

圖8

( )

【解析】①“轉(zhuǎn)化圖形”：本題圖為平面圖，無需轉(zhuǎn)化

②“流向判斷”：據(jù)右手定則得電流由a流向b

③“受力分析”：對(duì)ab受力分析如圖9

圖9

⑤“能量分析”：ab棒從開始運(yùn)動(dòng)到離開磁場(chǎng)過程

其中WF=2mgd+3mg(5d-d)=14mgd

⑥“動(dòng)量分析”：

對(duì)導(dǎo)體棒由動(dòng)量定理得：I-BLq=mv

【點(diǎn)評(píng)】雖然【例2】和【例1】的模型不同，但處理方法是相同的。

建模說法三：“C-F”型

【例3】如圖10，兩條平行導(dǎo)軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L。導(dǎo)軌上端接有一平行板電容器，電容為C。導(dǎo)軌處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于導(dǎo)軌平面。在導(dǎo)軌上放置一質(zhì)量為m的金屬棒，棒可沿導(dǎo)軌下滑，且在下滑過程中保持與導(dǎo)軌垂直并良好接觸。已知金屬棒與導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度大小為g。忽略所有電阻。讓金屬棒從導(dǎo)軌上端由靜止開始下滑，求：金屬棒的速度大小隨時(shí)間變化的關(guān)系。

圖10

【解析】①“轉(zhuǎn)化圖形”：平面圖如圖11所示

圖11

②“流向判斷”：如圖11所示

③“受力分析”：如圖11所示

對(duì)金屬棒由牛頓第二定律：

mgsinθ-μmgcosθ-BLI=ma

【點(diǎn)評(píng)】“C-F”型單棒問題的難點(diǎn)在對(duì)棒的加速度的求解分析，需學(xué)生細(xì)致推敲。雖然相對(duì)“R-v0”型模型及“R-F”型模型的難度上升了不少，但處理“C-F”型單棒問題的方法依然是相同的，本題由于未涉及能量和動(dòng)量問題，所以過程分析到位后本題實(shí)際上已完成。

建模說法四：“E-R”模型

【例4】如圖12所示，長平行導(dǎo)軌PQ、MN光滑，相距L=0.5 m，處在同一水平面中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.8 T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)豎直向下穿過導(dǎo)軌面。橫跨在導(dǎo)軌上的直導(dǎo)線ab的質(zhì)量m=0.1 kg、電阻R=0.8 Ω，導(dǎo)軌電阻不計(jì)。導(dǎo)軌間通過開關(guān)S將電動(dòng)勢(shì)E=1.5 V、內(nèi)電阻r=0.2 Ω的電池接在M、P兩端，試計(jì)算分析：

圖12

(1)導(dǎo)線ab的加速度的最大值和速度的最大值是多少？

(2)在閉合開關(guān)S后，怎樣才能使ab以恒定的速度v=7.5 m/s沿導(dǎo)軌向右運(yùn)動(dòng)？

(3)在閉合開關(guān)S后，怎樣才能使ab以恒定的速度v=7.5 m/s沿導(dǎo)軌向左運(yùn)動(dòng)？

【解析】(1)①“轉(zhuǎn)化圖像”：平面圖如圖13所示

圖13

②“流向判斷”：電流從a流向b(從閉合開關(guān)S到達(dá)到最大速度前)

③“受力分析”：受力分析如平面圖13所示

閉合開關(guān)S，導(dǎo)線ab受到向右的安培力而往右加速運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)線切割磁感線，產(chǎn)生逆時(shí)針方向的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E′=BLv(俯視)，電源電動(dòng)勢(shì)為E為順時(shí)針方向，因此總電動(dòng)勢(shì)為順時(shí)針方向且E總=E-E′=E-BLv，

④“過程分析”：

由上式可知：導(dǎo)線ab做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)

當(dāng)導(dǎo)線的速度v=0時(shí)，加速度最大且

當(dāng)導(dǎo)線ab的加速度a=0時(shí)，即E=BLv時(shí)，導(dǎo)線速度最大

(2)①“流向分析”：如果ab以恒定速度v=7.5 m/s向右沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)，

則ab中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E′=BLv=3 V

由于E′>E且方向相反，這時(shí)閉合電路中電流方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向(俯視)，

直導(dǎo)線ab中的電流由b到a，

②“受力分析”：

根據(jù)左手定則，磁場(chǎng)對(duì)ab有水平向左的安培力作用，大小為F′=BI′L=0.6 N

所以要使ab以恒定速度v=7.5 m/s向右運(yùn)動(dòng)，必須有水平向右的恒力F=0.6 N作用于ab。

(3)①“流向分析”：如果ab以恒定速度v=7.5 m/s向左沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)，

則ab中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E′=BLv=3 V

由于E′和E的方向相同，這時(shí)閉合電路中電流方向?yàn)轫槙r(shí)針方向(俯視)，

直導(dǎo)線ab中的電流由a到b，

②“受力分析”：

根據(jù)左手定則，磁場(chǎng)對(duì)ab有水平向右的安培力作用，大小為F′=BI′L=1.8 N

所以要使ab以恒定速度v=7.5 m/s向右運(yùn)動(dòng)，必須有水平向左的恒力F=1.8 N作用于ab。

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于“E-R”型模型需特別注意的是：如果導(dǎo)體棒是運(yùn)動(dòng)的，在導(dǎo)體棒切割磁感線時(shí)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)和電源電動(dòng)勢(shì)方向相同或相反的電動(dòng)勢(shì)，此時(shí)的總電動(dòng)勢(shì)為兩電動(dòng)勢(shì)之和或之差。

三、總結(jié)