基于數(shù)學(xué)極值條件下的物理情景、模型建構(gòu)和臨界問題的研究

四川 鄧賢彬 劉劍琴

要想學(xué)好物理，不僅要加強(qiáng)對(duì)物理情景、物理模型的分析和理解，還離不開數(shù)學(xué)知識(shí)的強(qiáng)力支撐。高中物理中的極值問題對(duì)學(xué)生來說是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，同時(shí)也是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。如何有效的突破這一學(xué)生學(xué)習(xí)中的瓶頸，筆者試圖通過本文加以研究，以饗讀者，愿有所裨益。

學(xué)過物理的人都知道，聽懂容易做題難。很多人都弄不明白原因究竟為何？筆者認(rèn)為，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因有如下幾方面：一是學(xué)生對(duì)物理情景思考過少，不重視情景的理解和模型建構(gòu)；其次是將物理和數(shù)學(xué)對(duì)立，不能將二者有機(jī)地融合；三是對(duì)題干中的關(guān)鍵詞重視不夠，特別是對(duì)隱含條件不能有效揭示和利用，不會(huì)將物理的臨界問題和數(shù)學(xué)的極值條件整合考慮。本文試圖以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，通過將物理問題結(jié)合物理規(guī)律建構(gòu)成數(shù)學(xué)模型加以解決，在幫助學(xué)生解決問題的同時(shí)讓學(xué)生更加深入的體會(huì)數(shù)學(xué)與物理的緊密聯(lián)系。

1.一元二次函數(shù)

1.1 數(shù)學(xué)形式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0，且b、c為常數(shù))

1.2 物理情景與模型建構(gòu)

1.2.1 勻減速直線運(yùn)動(dòng)

物理情景分析：因?yàn)槲矬w速度越來越小，同時(shí)距離出發(fā)點(diǎn)也越來越遠(yuǎn)，所以當(dāng)速度減為零時(shí)距離出發(fā)點(diǎn)距離最遠(yuǎn)。

模型建構(gòu)：物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)

速度公式：v=v0-at①

由物理?xiàng)l件和公式①②可知

事實(shí)上，由于勻減速直線運(yùn)動(dòng)的物體其位移是關(guān)于時(shí)間的一元二次函數(shù)，利用數(shù)學(xué)知識(shí)和公式②可直接得出：

1.2.2 勻變速直線運(yùn)動(dòng)的追及問題

物理情景分析：兩物體在同一直線上同向追及，客觀上存在能否相遇的現(xiàn)實(shí)問題和追及中距離最大或者最小的極值問題，速度相等是追得上、追不上和剛好追上的臨界條件，也是兩物體相距最遠(yuǎn)或最近的極值取得的條件。

模型建構(gòu)：假設(shè)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體A追及同一直線上勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體B(同時(shí)出發(fā)，剛開始二者相距x0)：設(shè)經(jīng)過t時(shí)間

由③式即可直接求出兩物體距離最大值或者最小值。

1.2.3 閉合電路電源輸出功率最大問題

物理情景分析：閉合電路的外電路為非純電阻時(shí)，由閉合電路歐姆定律可知，電源輸出的電壓越大，輸出電流越小，輸出功率可能出現(xiàn)極值。

模型建構(gòu)：P出=UI①

U=E-Ir②

由①和②得

由③式可知：

1.3 典例分析

【例1】物體以v0=30 m/s的初速度豎直向上拋出，空氣阻力忽略不計(jì)，g取10 m/s2。問：經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間物體距拋出點(diǎn)最遠(yuǎn)？距拋出點(diǎn)最遠(yuǎn)距離是多少？

【解析】物體作豎直上拋運(yùn)動(dòng)，即為勻減速直線運(yùn)動(dòng)。

物理情景分析：以豎直向上為正方向v=v0+at，

即v=30-10t①

由①式知：當(dāng)v=0時(shí)，即t=3 s時(shí)，物體距離拋出點(diǎn)最遠(yuǎn)，將t=3 s代入②式得xm=45 m

由上面公式②直接整理：x=-5(t-3)2+45

當(dāng)t=3 s時(shí)，xm=45 m

【例2】一輛汽車在十字路口等紅燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以3 m/s2的加速度開始加速行駛，恰在這時(shí)一輛自行車以6 m/s 的速度勻速駛來，從后邊超過汽車。試求：(1)汽車從路口開動(dòng)后，在追上自行車之前經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)距離是多少？(2)假設(shè)兩物體一直保持運(yùn)動(dòng)性質(zhì)不變，問汽車和自行車能相遇幾次？

【解析】設(shè)經(jīng)過時(shí)間t汽車和自行車之間的距離為x，則

當(dāng)t=2 s時(shí)兩車之間的距離有最大值Δxm，

且Δxm=6 m

解得t1=0(舍)，t2=4，所以兩物體在t=4 s時(shí)相遇一次。

【例3】如圖1所示，電源電動(dòng)勢(shì)E=12 V，內(nèi)阻r=3 Ω，直流電動(dòng)機(jī)內(nèi)阻R1=1 Ω。調(diào)節(jié)R2時(shí)可以使如圖電路輸出功率最大且電動(dòng)機(jī)剛好正常工作(額定輸出功率為P0=2 W)，則R2的值是多少？

圖1

2.三角函數(shù)

2.1 數(shù)學(xué)形式

y=asinθ+bcosθ(a、b均為不為零的常數(shù))

2.2 物理情景分析與模型建構(gòu)

力是矢量，其作用效果不僅取決于力的大小，還與力的方向有關(guān)，故在涉及有關(guān)力的計(jì)算問題時(shí)，需要定量表示力的大小和方向。實(shí)際問題中，在坐標(biāo)系中定量處理力的問題時(shí)，方向通常用角度加以表達(dá)。因而在解決平衡問題時(shí)利用平衡條件可將力的大小轉(zhuǎn)化為方向(角度)函數(shù)關(guān)系，那么生活中施力最小的實(shí)際問題，則可通過將力的最小值轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的最大值加以解決。

2.3 典例分析

【例4】拖把是由拖桿和拖把頭構(gòu)成的擦地工具(如圖2)。設(shè)拖把頭的質(zhì)量為m，拖桿質(zhì)量可忽略，拖把頭與地板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g。某同學(xué)用該拖把在水平地板上拖地時(shí)，如果沿拖桿方向拉動(dòng)拖把，拖桿與豎直方向的夾角為θ。問：拉拖把的力的至少為多大，角度θ為多少，才能使拖把頭在地板上勻速后退？

圖2

【解析】設(shè)該同學(xué)沿桿方向用大小為F的力拉拖把，將此力沿豎直方向和水平方向分解，根據(jù)平衡條件：

FN=mg-Fcosθ①

Fsinθ=f②

又f=μFN③

聯(lián)立①②③式得

由④式知：

3.正弦定理

3.1 數(shù)學(xué)形式

三角形中，三角形三條邊長(zhǎng)和對(duì)角的正弦值存在如下關(guān)系：

3.2 物理情景分析和模型建構(gòu)

圖3

3.3 典例分析

【例5】如圖4所示，小球用細(xì)繩系住，放在傾角為θ的光滑斜面上，當(dāng)細(xì)繩由水平方向逐漸向上偏移時(shí)(球位置不變，繩加長(zhǎng))，細(xì)繩上的拉力將

圖4

( )

A.逐漸增大 B.逐漸減小

C.先增大后減小 D.先減小后增大

【解析】對(duì)小球進(jìn)行受力分析，小球受重力G、斜面的支持力FN、細(xì)繩的拉力FT，因?yàn)镚、FN、FT三力共點(diǎn)平衡，故三個(gè)力可以構(gòu)成一個(gè)矢量三角形，畫出某一定態(tài)如圖5所示：

圖5

根據(jù)題意知：θ不變，β從90°逐漸減小，α由銳角變直角再變鈍角，sinα的值先增大后減小，結(jié)合③式可知：FT先減小后增大且FTmin=Gsinθ，故正確選項(xiàng)D。

4.數(shù)列

4.1 數(shù)學(xué)形式

等差數(shù)列an+2-an+1=d(d為常數(shù)且不為零，n=0，1，2，3，…)

4.2 物理情景分析和模型建構(gòu)

(1)物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)或者簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)具有周期性，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間是關(guān)于周期的通項(xiàng)式；同樣機(jī)械波傳播時(shí)，空間上也存在一定周期性，其傳播距離是波長(zhǎng)的通項(xiàng)式，這類問題可以利用數(shù)列知識(shí)加以解決。

物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)或者簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

t=NT+Δt(N=0，1，2，3，…) ①

機(jī)械波沿波傳播方向傳播距離

x=Nλ+Δx(N=0，1，2，3，…) ②

由①和②式知，當(dāng)N=0時(shí)，會(huì)出現(xiàn)極值。

(2)玻爾氫原子模型：

①軌道半徑公式：rn=n2r1(n=1，2，3，…)，其中r1為基態(tài)半徑，其數(shù)值為r1=0.53×10-10m；

(3)勻變速直線運(yùn)動(dòng)連續(xù)相鄰相等時(shí)間的位移差：x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2(定值)

4.3 典例分析

【例6】?jī)深w衛(wèi)星A和B在同一軌道平面內(nèi)圍繞地球作同一方向上的圓周運(yùn)動(dòng)，其中A衛(wèi)星的周期為TA，B衛(wèi)星的周期為TB，且TA>TB。剛開始兩衛(wèi)星相距距離最近。問：至少需要多長(zhǎng)時(shí)間，兩衛(wèi)星再一次相距最近？

圖6

【例7】一列橫波沿x軸正方向傳播，在t1=0時(shí)刻的波形圖如圖7中實(shí)線所示，在t2=1.0 s時(shí)刻的波形圖如圖7中虛線所示。

圖7

求：(1)寫出這列波傳播速度的表達(dá)式；(2)求此波傳播速度的最小值。

【解析】方法一：平移法

波在t時(shí)間內(nèi)傳播的距離

x=Nλ+Δx=(8N+6) m(N=0，1，2，3…) ①

聯(lián)立①和②式：

v=(8N+6) m/s(N=0，1，2，3，…) ③

由③式知：當(dāng)N=0時(shí)，波的傳播速度最小且最小值vmin=6 m/s。

方法二：振動(dòng)法

取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)0為研究對(duì)象：t1=0時(shí)刻正在向y軸負(fù)方向振動(dòng)；t2=1.0 s時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)到最高點(diǎn)，則有

聯(lián)立①和②式：

v=(8N+6) m/s(N=0，1，2，3，…) ③

由③式知：當(dāng)N=0時(shí)，波的傳播速度最小且最小值vmin=6 m/s

5.均值不等式

5.1 數(shù)學(xué)形式

(1)若a+b=c(定值)，則當(dāng)a=b時(shí)，(a×b)有最大值；

(2)若a×b=c(定值)，則當(dāng)a=b時(shí)，(a+b)有最大值。

5.2 物理情景分析和模型建構(gòu)

有的物理問題，可能會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)物體某個(gè)同類量之和為定值，需要判斷別的量的大小和這兩個(gè)量的乘積的關(guān)系；或者兩個(gè)量的乘積為定值，需要判斷別的量的大小和這兩個(gè)量的和的關(guān)系。這種情形，往往要用到數(shù)學(xué)中均值不等式求極值問題。

(3)閉合電路電源輸出功率和外電阻的關(guān)系

由上式可以得出

②當(dāng)R>r時(shí)，電源的輸出功率隨R的增大而減?。?/p>

③當(dāng)R

④P出與R的關(guān)系如圖8所示。

圖8

5.3 典例分析

【例8】月球上蘊(yùn)藏著豐富的礦產(chǎn)資源。如果有一天人類能方便地在地、月間往返，便可以將月球上的礦物運(yùn)送到地球上。假設(shè)地、月間的距離保持不變，隨著月球上的礦物越來越多的運(yùn)送到地球，那么月球和地球間的萬有引力會(huì)如何變化？

【解析】設(shè)地球質(zhì)量為M，月球質(zhì)量為m，如果將月球上質(zhì)量為m0的礦物運(yùn)送到地球上。

運(yùn)送礦物后月球和地球間萬有引力

如何比較F和F′的大小，對(duì)學(xué)生而言是一個(gè)難點(diǎn)。由數(shù)學(xué)模型可知：因?yàn)樵虑蚝偷厍蛸|(zhì)量之和為一定值(這一點(diǎn)學(xué)生不容易想到)，即M+m=定值，所以當(dāng)M=m時(shí)，(M×m)的值最大，即月球和地球間的萬有引力最大。本來就有地球質(zhì)量大于月球質(zhì)量，即M>m，隨著地球質(zhì)量越來越大，月球質(zhì)量越來越小，兩者質(zhì)量乘積應(yīng)越來越小，即地球和月球間的萬有引力應(yīng)越來越小。

【例9】如圖9所示，R1為定值電阻，R2為可變電阻，E為電源電動(dòng)勢(shì)，r為電源內(nèi)電阻，以下說法中正確的是

圖9

( )

A.當(dāng)R2=R1+r時(shí)，R2上獲得最大功率

B.當(dāng)R2=R1+r時(shí)，R1上獲得最大功率

C.當(dāng)R2=0時(shí)，R1上獲得最大功率

D.當(dāng)R2=0時(shí)，電源的輸出功率最大

圖10