數(shù)形結(jié)合，談斜分解在拋體運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用

貴州 楊 勇

拋體運(yùn)動(dòng)模型以及類(lèi)似于拋體運(yùn)動(dòng)的模型在歷年高考試題中頻繁出現(xiàn)，此類(lèi)型的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是高考的重點(diǎn)，也是運(yùn)動(dòng)學(xué)的難點(diǎn)。此類(lèi)型的問(wèn)題是力學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)的綜合問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題包含了受力分析、運(yùn)動(dòng)分析、力與運(yùn)動(dòng)關(guān)系的認(rèn)識(shí)和理解、運(yùn)動(dòng)矢量合成的理解，考查學(xué)生對(duì)曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的處理方法。為了能夠充分理解拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律及運(yùn)動(dòng)的合成與分解問(wèn)題，本文將從選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系的角度來(lái)分析拋體運(yùn)動(dòng)，理解矢量疊加原理不以具體坐標(biāo)系的選擇而轉(zhuǎn)移，從而充分認(rèn)識(shí)各運(yùn)動(dòng)的矢量性及分運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性。

拋體運(yùn)動(dòng)常見(jiàn)的有平拋、斜拋和豎直方向上的拋體運(yùn)動(dòng)，在處理平拋運(yùn)動(dòng)和斜拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，在高中階段的教學(xué)中通常選擇直角坐標(biāo)系來(lái)處理，按照題目的要求及條件建立直角坐標(biāo)系。建立坐標(biāo)系處理運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，目的是把復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)單化，而對(duì)于斜拋運(yùn)動(dòng)，建立直角坐標(biāo)系不一定是最簡(jiǎn)單的方法。在處理豎直方向上的拋體運(yùn)動(dòng)時(shí)，通常應(yīng)用的方法是規(guī)定正方向，根據(jù)勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律建立運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行求解?；谝陨系姆椒?，即使很多學(xué)生能夠做對(duì)，也可能不知道方法中隱含的物理思想，只是一種記憶性的數(shù)學(xué)應(yīng)用。為幫助學(xué)生理解運(yùn)動(dòng)的矢量合成以及優(yōu)化解決拋體運(yùn)動(dòng)的方法，筆者將從受力分析、運(yùn)動(dòng)分析、力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系進(jìn)行闡述。

1.拋體運(yùn)動(dòng)的基本特點(diǎn)與坐標(biāo)系的選擇

拋體運(yùn)動(dòng)的基本特點(diǎn)是加速度的矢量與初速度的矢量具有一定的夾角α，且加速度與初速度都是恒定的矢量，拋體運(yùn)動(dòng)是具有恒定加速度的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，且軌跡為一條拋物線(xiàn)。由于加速度g和初速度v0都是恒定的物理量，通常的方法是以?huà)伋鳇c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，構(gòu)建運(yùn)動(dòng)的矢量關(guān)系。平拋運(yùn)動(dòng)是學(xué)生最常見(jiàn)的拋體運(yùn)動(dòng)，同時(shí)在平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題中建立直角坐標(biāo)系也是比較簡(jiǎn)單的方法，這里不再贅述，下面重點(diǎn)介紹斜拋運(yùn)動(dòng)與豎直方向上的拋體運(yùn)動(dòng)。

1.1 斜拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)及分析

如圖1是小球的斜拋運(yùn)動(dòng)圖像，初速度v0與水平方向的夾角為α，虛線(xiàn)為小球的運(yùn)動(dòng)軌跡，一般分析斜拋運(yùn)動(dòng)的方法是建立直角坐標(biāo)系如圖2所示：

圖1

圖2

sx=tv0cosα

則①為小球運(yùn)動(dòng)的總位移與時(shí)間的關(guān)系。

根據(jù)以上的分析可知，建立坐標(biāo)，無(wú)疑是把復(fù)雜的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單的直線(xiàn)分運(yùn)動(dòng)，在尋找兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，最后再求矢量和，小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律不會(huì)因選擇坐標(biāo)系的變化而變化。通過(guò)對(duì)運(yùn)動(dòng)的合成與分解可知，物體的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)不一定都要垂直。因此可以把小球的運(yùn)動(dòng)分成沿v0方向，由于在v0方向小球也沒(méi)有受到力，可以看成勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)；在豎直方向上受到重力且初速度為零，做自由落體運(yùn)動(dòng)，因此小球的運(yùn)動(dòng)可以看成是v0方向上勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)與豎直方向上自由落體運(yùn)動(dòng)的矢量和，如圖3所示。

圖3

根據(jù)幾何關(guān)系有：

x=s1cosα

h+h1=s1sinα

圖4

對(duì)比以上的兩種方法，建立直角坐標(biāo)系進(jìn)行正交分解的方式，學(xué)生容易理解，但是把速度分解到豎直方向上，增加了豎直方向上的復(fù)雜性，同時(shí)對(duì)于豎直上拋運(yùn)動(dòng)的方向的判斷上添加了難度。應(yīng)用斜分解可以直擊物體的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)情況建立最簡(jiǎn)潔的坐標(biāo)系。這才是物理的解題思想，用最簡(jiǎn)單的方法處理復(fù)雜的問(wèn)題。建立斜分解不僅能使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，還能培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法處理物理問(wèn)題的能力，對(duì)學(xué)生物理學(xué)科素養(yǎng)的提升有很大的幫助，使學(xué)生對(duì)運(yùn)動(dòng)的合成與分解得到充分的認(rèn)識(shí)，在培養(yǎng)建立運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性和矢量的合成思想上起到質(zhì)的作用。

1.2 利用斜分解處理斜拋運(yùn)動(dòng)的極值問(wèn)題

【例1】如圖5所示，一個(gè)可看成質(zhì)點(diǎn)的小球以初速度v0，方向與水平方向成α斜上拋出，重力加速度為g，求小球的射程最遠(yuǎn)時(shí)拋射速度v0與水平方向的夾角α為多大？

圖5

圖6

【例2】如圖7所示，有一長(zhǎng)直斜面，其傾斜角為θ，現(xiàn)在坡底以一定的初速度v0斜拋出一小球，不計(jì)空氣阻力，當(dāng)初速度v0方向與斜面的夾角為多大時(shí)，小球的射程最遠(yuǎn)？

圖7

【解析】由于小球只受重力，小球做勻變速運(yùn)動(dòng)，為使小球的分運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)單，建立斜坐標(biāo)系如圖7所示。假設(shè)初速度方向與斜面的夾角為α，與豎直方向的夾角為β，根據(jù)矢量三角形及幾何關(guān)系有

從以上的分析可以看出，不管是在水平面上斜拋還是在斜面上斜拋，當(dāng)射程最遠(yuǎn)時(shí)，初速度v0的方向必須在拋出點(diǎn)和落點(diǎn)所在直線(xiàn)與過(guò)拋出點(diǎn)的垂線(xiàn)夾角的角分線(xiàn)上，因此只要知道夾角的大小就可以快速地求出小球拋出的方向。

圖8

總結(jié)：從以上分析來(lái)看，不管是哪一種形式的斜拋運(yùn)動(dòng)，射程最遠(yuǎn)時(shí)的初速度的方向在小球落點(diǎn)和拋出點(diǎn)所在直線(xiàn)與過(guò)拋出點(diǎn)的垂線(xiàn)夾角的角分線(xiàn)上，同時(shí)最遠(yuǎn)射程也為以上的兩個(gè)結(jié)果，選擇題里可以直接應(yīng)用結(jié)論處理問(wèn)題。

【例3】如圖9所示，從地面以初速度v0斜拋一小球，右側(cè)有一堵高為h的墻，要求小球能飛過(guò)墻，求小球以怎樣的角度拋出，才能使初速度最??？

圖9

【解析】根據(jù)題意建立斜坐標(biāo)系如圖10所示，根據(jù)矢量關(guān)系及幾何關(guān)系，由正弦定理有：

圖10

總結(jié)：通過(guò)以上的兩種斜拋運(yùn)動(dòng)的極值分析，發(fā)現(xiàn)不管是速度恒定時(shí)求解射程的最遠(yuǎn)問(wèn)題還是射程恒定時(shí)求速度的最小問(wèn)題，最初速度的方向都一樣，都在射程方與豎直面形成夾角的角分線(xiàn)上，對(duì)于其他方向的拋射極值問(wèn)題，讀者可以借鑒此方法，應(yīng)用斜坐標(biāo)系進(jìn)行分析及求解。由于學(xué)生對(duì)斜坐標(biāo)的接觸較少，可能不容易接受，但是相比正交分解來(lái)說(shuō)，斜分解不需要分解初速度，更多的是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法。因此應(yīng)用斜坐標(biāo)處理斜拋問(wèn)題，不僅讓學(xué)生充分利用數(shù)學(xué)方法解決物理問(wèn)題，同時(shí)提升學(xué)生對(duì)矢量合成的理解，培養(yǎng)學(xué)生的物理學(xué)科素養(yǎng)。

2.利用斜坐標(biāo)解決拋體兩體問(wèn)題

對(duì)于拋體的兩體問(wèn)題，通常見(jiàn)到的有兩體相遇，兩體的距離關(guān)系等，通常的解法是通過(guò)時(shí)間關(guān)系或者位移關(guān)系建立兩體各自的運(yùn)動(dòng)方程，求解、分析即可。但是當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜時(shí)，分別建立運(yùn)動(dòng)方程會(huì)給處理此類(lèi)問(wèn)題帶來(lái)很大的不便。下面通過(guò)對(duì)拋體的運(yùn)動(dòng)分析，建立斜坐標(biāo)系處理兩體問(wèn)題。

【例4】如圖11所示，小球A從離地面高度為h處自由下落的同時(shí)，小球B從地面以初速v0向上拋出，求兩球相遇時(shí)的時(shí)間?

圖11

圖12

【例5】如圖13所示，某時(shí)刻在水平面O點(diǎn)沿著豎直平面內(nèi)同時(shí)拋出A、B兩個(gè)小球，A球的初速度vA=30 m/s，方向與水平面的夾角為30°；B球的初速度vB=40 m/s，方向與水平面的夾角為60°，求1 s后兩球相距多遠(yuǎn)？

圖13

【解析】可以利用斜坐標(biāo)進(jìn)行斜分解，把兩小球的運(yùn)動(dòng)分解為沿初速度方向的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和重力方向的自由落體運(yùn)動(dòng)，由于在豎直方向上兩球同步，所以它們的距離即為初速度方向上的距離，距離的矢量和如圖14所示，所以?xún)汕虻木嚯x為

圖14

代入已知條件得d=50 m

結(jié)束語(yǔ)