例析三力平衡與三角形法則

陜西 邢彥君 李麗霞

物體或物體系統(tǒng)，在三個互成角度的外力的共同作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線運(yùn)動狀態(tài)，這三個力的合力為零，將表示這三個力的線段保持原方向不變進(jìn)行平移，使其首尾相接，這三個線段恰好組成三角形。這就是三力平衡的三角形法則，此三角形稱為力三角形，其邊長表示力的大小，角則表示兩個力方向的夾角。對共點(diǎn)力平衡問題中的三力平衡問題，或可劃歸為三力平衡的多力平衡問題，運(yùn)用共點(diǎn)力平衡的三角形法則分析求解，將事半功倍。

一、三個恒力的平衡與靜態(tài)三角形

物體或物體系統(tǒng)在三個恒力的作用下處于平衡狀態(tài)，做出由表示這三個恒力的矢量構(gòu)成的三角形，可由解三角形的任何一種方法分析求解力的大小及方向。

【例1】如圖1，懸掛甲物體的細(xì)線拴牢在一不可伸長的輕質(zhì)細(xì)繩上O點(diǎn)處；繩的一端固定在墻上，另一端通過光滑定滑輪與物體乙相連。甲、乙兩物體質(zhì)量相等。系統(tǒng)平衡時，O點(diǎn)兩側(cè)繩與豎直方向的夾角分別為α和β。若α=70°，則β等于

圖1

( )

A.45° B.55° C.60° D.70°

【答案】B

【解析】甲、乙物體均處于平衡狀態(tài)，對其分別運(yùn)用共點(diǎn)力平衡條件及牛頓第三定律可知，連接它們與O點(diǎn)的兩細(xì)線對O點(diǎn)的拉力T甲、T乙的大小均等于mg，方向分別沿細(xì)線由O點(diǎn)豎直向下、斜向右上。以O(shè)點(diǎn)為研究對象，由于O點(diǎn)處于平衡狀態(tài)，做出由表示O點(diǎn)所受外力的矢量所組成的三角形如圖2所示，由題意及幾何關(guān)系有2β+α=180°，解得β=55°，選項B正確，ACD錯誤。

圖2

【點(diǎn)評】對三個恒力的平衡問題，運(yùn)用三角形法則分析求解，便于分析幾何關(guān)系，且可簡化解題過程。

二、有變力的三力平衡與動態(tài)三角形

物體或物體系統(tǒng)在三個外力的共同作用下始終處于平衡狀態(tài)，若其中一個力的方向變化，一個力大小及方向均不變，則另一個力必然變化。對這類三力平衡問題，可靈活選取初始狀態(tài)，做出初始狀態(tài)時由表示三個力的矢量組成的三角形，然后在此三角形上重疊做出隨變力方向變化后對應(yīng)的一系列力三角形，由表示力的矢量(三角形的邊)長度的變化，可確定變力的大小變化情況。

【例2】如圖3所示，水平地面靜置一斜面，光滑小物塊在水平拉力F的作用下靜止在斜面上?，F(xiàn)保持小物塊靜止，將拉力F方向由水平逐漸變成豎直，這一過程中斜面一直靜止，則這一過程中

圖3

( )

A.F先減小后增大，物塊對斜面的壓力逐漸減小

B.F先增大后減小，物塊對斜面的壓力逐漸減小

C.地面對斜面的摩擦力逐漸減小

D.地面對斜面的支持力逐漸減小

【答案】ACD

【解析】小物塊始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，由共點(diǎn)力平衡條件可知，表示它所受的重力G、拉力F與斜面的支持力FN的線段將始終構(gòu)成封閉三角形，如圖4所示。由于重力G大小及方向不變，支持力FN方向不變，則隨著F方向由水平變成豎直，F(xiàn)先減小后增大，F(xiàn)N逐漸減小。由牛頓第三定律可知，物塊對斜面的壓力逐漸減小。由圖4可知，上述過程中F的豎直分力逐漸增大，水平分力逐漸減小，對物塊與斜面整體由共點(diǎn)力平衡條件可知，地面對斜面的摩擦力逐漸減小，支持力逐漸減小，選項B錯誤，ACD正確。

圖4

【點(diǎn)評】對涉及變力的三力平衡問題，運(yùn)用三角形法則分析求解，不僅可直觀顯示出變力的變化情況，且很容易看出變力變化過程中的極值。

三、有變力的三力平衡與相似三角形

物體或物體系統(tǒng)在三個外力的作用下始終處于平衡狀態(tài)，若三力中只有一個力恒定，另外兩個力的方向均變化，則做出由表示三個力的矢量組成的三角形，隨著力的變化而變化，與此同時，由受力物體(質(zhì)點(diǎn))與其他兩個空間點(diǎn)構(gòu)成的空間三角形也隨之變化。若力三角形與這個空間三角形相似，可由“相似三角形對應(yīng)成比例”這一性質(zhì)列出比例關(guān)系，分析求解變力的變化情況。

【例3】如圖5所示，將質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，用長為L的輕繩吊起來，并靠在固定在水平面上的半徑為r的光滑半球體上的B點(diǎn)。繩的懸點(diǎn)A在半球球心O點(diǎn)的正上方，到球面的最小距離為d。下列結(jié)論正確的是

圖5

( )

C.若L變長一些，小球?qū)Π肭蝮w的壓力大小不變

D.若L變短一些，輕繩對小球的拉力大小變大

【答案】ACD

圖6

【點(diǎn)評】涉及兩個力的方向都變化的三力平衡問題，動態(tài)三角形的動態(tài)頂點(diǎn)不再沿某邊移動，可尋找與力三角形相似的空間三角形，靈活運(yùn)用相似三角形性質(zhì)列式分析求解。

四、可劃歸為三力平衡的多力平衡問題

物體或物體系統(tǒng)在多個力的共同作用下始終處于平衡狀態(tài)，若能先運(yùn)用力的合成，將多力作用劃歸為三個力的作用，則可運(yùn)用共點(diǎn)力平衡三角形法則畫出三角形，對變力的變化情況進(jìn)行分析求解。

【例4】在粗糙水平地面上與墻平行放著一個截面為半圓的柱狀物體A，A與豎直墻之間放一光滑圓球B，整個裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)對B加一豎直向下的力F，F(xiàn)的作用線通過球心，設(shè)墻對B的作用力為F1，B對A的作用力為F2，地面對A的作用力為F3。若F緩慢增大而整個裝置仍保持靜止，截面如圖7所示，在此過程中

圖7

( )

A.F1保持不變，F(xiàn)3緩慢增大

B.F1緩慢增大，F(xiàn)3保持不變

C.F2緩慢增大，F(xiàn)3緩慢增大

D.F2緩慢增大，F(xiàn)3保持不變

【答案】C

圖8

圖9

【點(diǎn)評】各力方向均不變的三力平衡問題，運(yùn)用三角形法則做出的三角形，隨某一變力的變大或變小而放大或縮小。

五、三角形法則與圓內(nèi)接三角形

圖10

( )

A.MN上的張力逐漸增大

B.MN上的張力先增大后減小

C.OM上的張力逐漸增大

D.OM上的張力先增大后減小

【答案】AD

【解析】選繩OM段稍微傾斜后的某一狀態(tài)為初始狀態(tài)，做出此時表示重物所受重力mg、繩OM段的拉力FOM和MN段的拉力FNM三個力的矢量組成的三角形，如11圖所示。由于將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角α不變，則三角形中表示重力mg的矢量所對應(yīng)的角不變，隨著重物被斜向右上緩慢拉起，三角形中表示重物兩側(cè)繩拉力的矢量的交點(diǎn)，將沿三角形的外接圓向上移動。由表示力的矢量的長度的變化可知，MN上的張力逐漸增大，OM上的張力先增大后減小，AD正確，BC錯誤。

圖11

【點(diǎn)評】在圓中，同弧或等弧對應(yīng)的圓周角相等；找出三角形的外心，便可畫出三角形的外接圓。

受力分析、狀態(tài)分析，是物理學(xué)的基本分析方法，與此對應(yīng)的共點(diǎn)力平衡條件及應(yīng)用問題，是高考的必考點(diǎn)，三力平衡則是高考考查共點(diǎn)力平衡現(xiàn)象或問題的高頻模型。分析求解三力平衡問題的基本思路與方法，一是靈活選取研究對象，將其視為質(zhì)點(diǎn)。這里的研究對象，可以是處于平衡狀態(tài)的某個物體或物體系統(tǒng)，也可能是繩結(jié)或桿的端點(diǎn)；二是正確分析研究對象的受力情況，畫出受力示意圖，這里要特別注意靜摩擦力的有無及其方向的判斷，注意彈簧或桿的彈力方向的判斷；三是依據(jù)各力的方向，畫出由表示三個力的矢量構(gòu)成的三角形，并由問題情境確定力三角形中已知的角和邊，或確定實(shí)際問題中變化因素的變化引起的力三角形中相應(yīng)的變化量(某個角度的大小)的變化情況；四是求出與所求的力的大小(或方向)對應(yīng)的三角形的邊長(或角度)，或判斷出與三角形的邊對應(yīng)的力的大小的變化情況，這里要特別注意的是的最值或極值的判斷。