一種拓寬PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)動(dòng)態(tài)范圍的新方法研究

李 嬋，王浩宇，繆海興，韓 森

（上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093）

引言

Pound-Drever-Hall（PDH）技術(shù)是一項(xiàng)用于改善現(xiàn)有激光器頻率穩(wěn)定性的技術(shù)，它利用反射光束的相位信息產(chǎn)生誤差信號(hào)，通常用于激光穩(wěn)頻。它可以通過(guò)將光腔鎖定在頻率穩(wěn)定的激光器上來(lái)測(cè)量腔長(zhǎng)的微小的變化[1-2]，這對(duì)引力波探測(cè)很重要。引力波探測(cè)器光學(xué)參考腔的精度一般都很高，其精度要達(dá)到10?21m。在實(shí)際實(shí)驗(yàn)室中（如LIGO）存在地震噪聲、電子噪聲等環(huán)境擾動(dòng)，入射至光學(xué)參考腔的激光頻率會(huì)使腔長(zhǎng)發(fā)生微小的變化[3]，進(jìn)而光腔的共振頻率會(huì)發(fā)生抖動(dòng)，使得PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)鎖定之后激光的頻率不穩(wěn)定。因此，PDH 技術(shù)不但可以來(lái)測(cè)量光腔的長(zhǎng)度微小變化，也可以用來(lái)穩(wěn)定激光器的頻率[1-2]。

PDH 技術(shù)由于其動(dòng)態(tài)范圍較小，控制回路只有在偏離工作點(diǎn)很小的范圍內(nèi)才能穩(wěn)定，當(dāng)受環(huán)境震動(dòng)影響過(guò)大時(shí)，誤差信號(hào)會(huì)變得非線性，PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)將失去鎖定。針對(duì)上述缺點(diǎn)，有不少團(tuán)隊(duì)進(jìn)行了研究[4-5]，如Hassen 等演示了使用線性二次高斯控制（LQG）法來(lái)鎖定光腔[6-7]；Schütte 等對(duì)此進(jìn)行實(shí)驗(yàn)證明，證明了LQG 方法的穩(wěn)健性，這在一定程度上拓寬了PDH 技術(shù)的動(dòng)態(tài)范圍，有利于PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)的鎖定捕獲，但算法較為繁瑣[8]；Miyoki 等提出了執(zhí)行近Q 相位解調(diào)的解決方案，但降低了PDH誤差信號(hào)的靈敏度[9]。

本文以PDH 技術(shù)為基礎(chǔ)，建立了一個(gè)簡(jiǎn)單直觀、抗干擾強(qiáng)的反饋控制系統(tǒng)，新定義了PDH 誤差信號(hào)方程，并結(jié)合卡爾曼濾波器估計(jì)了反射鏡的狀態(tài)。相比于以往的工作，該方法的模型更為簡(jiǎn)單直觀。通過(guò)仿真可知，本文的方法可以使PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)在更寬的動(dòng)態(tài)范圍內(nèi)更快實(shí)現(xiàn)鎖定，這會(huì)對(duì)改進(jìn)引力波探測(cè)器中鎖相反饋控制提供新的啟發(fā)。

1 傳統(tǒng)PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)的基本原理

傳統(tǒng)的PDH 技術(shù)的裝置圖如圖1 所示。該裝置是通過(guò)將光腔鎖定到一個(gè)超穩(wěn)的激光器上實(shí)現(xiàn)穩(wěn)長(zhǎng)。工作原理是：以光腔的共振頻率為基準(zhǔn)頻率，對(duì)激光頻率進(jìn)行相位調(diào)制后，可以在激光頻率兩側(cè)產(chǎn)生對(duì)稱分布在激光載波兩側(cè)、幅度相等但相位相反的兩個(gè)邊帶[10]；將這三個(gè)不同頻率的光入射到光腔，用光電探測(cè)器（PD）可以分別檢測(cè)光腔的反射功率Pref和透射功率 Ptrans；將反射功率與信號(hào)發(fā)生器發(fā)出的正弦信號(hào)經(jīng)混頻器混頻，提取低頻分量，得到一個(gè)低頻信號(hào)，一般稱其為誤差信號(hào)；該誤差信號(hào)在一定范圍內(nèi)與反射鏡的位移成正比，能用該信號(hào)去負(fù)反饋，從而補(bǔ)償反射鏡的位移。

2 新PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)的建模

2.1 新PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)

對(duì)于傳統(tǒng)的PDH 技術(shù)，一般檢測(cè)在光腔出射端進(jìn)行。本文中，我們還考慮了在光腔入射端處對(duì)透射功率Ptrans的檢測(cè)，并增加了一個(gè)狀態(tài)估計(jì)器，以估計(jì)出射端反射鏡的狀態(tài)，將其反饋到光腔腔體。圖2 顯示了新PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)的基本框架，主要由機(jī)械和探測(cè)子系統(tǒng)、狀態(tài)估計(jì)器和伺服反饋組成。

圖2 新PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)框圖Fig.2 Layout of new PDH frequency stabilization system

此外結(jié)合實(shí)際物理意義，本文所涉及的各項(xiàng)通用的參數(shù)設(shè)計(jì)如表1 所示。

表1 新PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)的參數(shù)Tab.1 Parameters of new PDH frequency stabilization system

2.2 機(jī)械和探測(cè)子系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

我們主要需要控制的是反射鏡的位移。為了對(duì)整個(gè)光腔進(jìn)行建模，根據(jù)分離原理[11]，我們將所提出的新PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)分為兩個(gè)子系統(tǒng)：機(jī)械子系統(tǒng)和探測(cè)子系統(tǒng)。機(jī)械子系統(tǒng)包括反射鏡及控制其位移的壓電陶瓷（PZT）。探測(cè)子系統(tǒng)包括光腔腔體和適當(dāng)?shù)奶綔y(cè)器。機(jī)械和探測(cè)子系統(tǒng)裝置如圖3 所示。其中，噪聲ng表示地面運(yùn)動(dòng)引起的反射鏡位移噪聲，nPDH和nPtrans分別為誤差信號(hào)和透射端的電路噪聲。

圖3 機(jī)械和探測(cè)子系統(tǒng)Fig.3 The mechanical and detection subsystem

2.2.1 機(jī)械子系統(tǒng)

對(duì)于PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，反射鏡的位移通常使用壓電陶瓷來(lái)控制。這里我們用一個(gè)四階諧振系統(tǒng)模型來(lái)模擬用于驅(qū)動(dòng)反射鏡之一的壓電陶瓷。其傳遞函數(shù)為

式中：G(s)為四階諧振系統(tǒng)的輸出量與輸入量經(jīng)拉普拉斯變換后的函數(shù)；s為復(fù)參數(shù)。該模型中包含了兩個(gè)約為15 kHz 和30 kHz 的高階諧振頻率。

2.2.2 探測(cè)子系統(tǒng)

如圖1 所示，來(lái)自激光器的光束由電光調(diào)制器（EOM）調(diào)制。電光調(diào)制器調(diào)制產(chǎn)生兩個(gè)頻率為 (ω0±Ω)/2π的一階邊帶，其中 ω0/2π 是載波頻率，Ω/2π 是調(diào)制頻率。當(dāng)相位調(diào)制邊帶通過(guò)諧振腔時(shí)，誤差信號(hào)與載波諧振產(chǎn)生的信號(hào)具有相反的符號(hào)。此時(shí)，可以從載波和邊帶之間的拍頻信號(hào)中提取（與反射鏡位移成正比的）出相位信息。反射功率PDrefl的同相解調(diào)導(dǎo)致以下（c os 正交）誤差信號(hào)，即

式中：P0為載波功率；Ps為邊帶功率；Im 為虛部；ω0為載波角頻率；Ω為調(diào)制角頻率；rc為腔反射率。rc可表示為

式中：r1、r2、t1分別為入射端反射鏡和出射端反射鏡的振幅反射率以及出射端反射鏡的透射率；L為腔體長(zhǎng)度（等于波長(zhǎng)的整數(shù)）；ω 為激光角頻率；x為用微觀偏移量表示的鏡面位移；c為光速 3×108mm/s 。

光腔透射端處測(cè)量的透射功率為

式中：ntrans是噪聲項(xiàng)；tc為腔透射率。tc可表示為

式中：t2為出射端反射鏡的振幅透射率。

2.3 新定義的PDH 誤差信號(hào)

在實(shí)際PDH 系統(tǒng)中，通常以光腔腔體的反射功率作為判斷激光頻率是否達(dá)到共振的方向。光腔的諧振發(fā)生時(shí)，反射功率達(dá)到最小值。傳統(tǒng)的PDH 系統(tǒng)的線性動(dòng)態(tài)范圍很窄，光腔附近的PDH 誤差信號(hào)變化很快，這給PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)的鎖定捕獲帶來(lái)了很大的挑戰(zhàn)。為此，本文提出了一種擴(kuò)大線性動(dòng)態(tài)范圍的方法，將透射功率Ptrans除以傳統(tǒng)的PDH 誤差信號(hào) εPDH以獲得一個(gè)新PDH誤差信號(hào)，即

圖4 所示的是傳統(tǒng)PDH 誤差信號(hào)與新誤差信號(hào)隨反射鏡偏移量的變化的比較以及在不同反射鏡偏移量下的透射功率。圖中可以看出新方法不僅擴(kuò)展了PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)的線性范圍，也改善了系統(tǒng)的高度非線性情況。后者在實(shí)際應(yīng)用中，尤其在存在噪聲和大干擾的環(huán)境下尤具優(yōu)勢(shì)。

圖4 傳統(tǒng)PDH 誤差信號(hào)與新誤差信號(hào)的比較以及透射功率Fig.4 Comparison between the traditional PDH error signal and new PDH error signal, and transmitted power

2.4 反射鏡的狀態(tài)估計(jì)

在新PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)中，由于除法，當(dāng)透射端光強(qiáng)接近于零的時(shí)候，其電路噪聲被顯著放大，使系統(tǒng)十分容易受到噪聲影響，因此減小噪聲的影響十分必要。一個(gè)被廣泛使用的適用于從有噪聲的測(cè)量中進(jìn)行估計(jì)的工具是卡爾曼濾波器。卡爾曼濾波器的算法主要分為兩步：預(yù)測(cè)和更新[12-15]。此外，使用卡爾曼濾波器作為狀態(tài)估計(jì)器，也可增強(qiáng)系統(tǒng)的抗干擾能力。

2.5 噪聲時(shí)域模型

傳統(tǒng)PDH 誤差信號(hào)中的散粒噪聲可表示為

式中：Ps為邊帶功率；? 為約化普朗克常數(shù)。

在本文的模型中，主要考慮了兩個(gè)主要部分的噪聲：過(guò)程噪聲和測(cè)量噪聲。其中，過(guò)程噪聲主要來(lái)自地面運(yùn)動(dòng)，測(cè)量噪聲包括常規(guī)誤差信號(hào)中的散粒噪聲、透射功率中的散粒噪聲。我們將測(cè)量噪聲與光波長(zhǎng)進(jìn)行歸一化，則VnPDH≈10?7,VnPtrans≈10?2。

2.6 控制反饋系統(tǒng)設(shè)計(jì)

對(duì)于傳統(tǒng)的PDH 系統(tǒng)，若系統(tǒng)受到強(qiáng)擾動(dòng)使其遠(yuǎn)離線性工作區(qū)，鎖定獲取會(huì)完全失控。因此，控制反饋系統(tǒng)的設(shè)計(jì)尤為重要。這里，我們考慮了基于LQG 的一種改進(jìn)的方法：利用卡爾曼濾波器估計(jì)光腔反射鏡的狀態(tài)，并尋求合適的控制律。具體是PDH 誤差信號(hào)通過(guò)狀態(tài)估計(jì)器再經(jīng)反饋放大器，隨后反饋給出射端反射鏡，從而確定了新PDH 系統(tǒng)的模型。

3 仿真結(jié)果

在引力波探測(cè)器中，PDH 技術(shù)主要用于降低100 Hz 以內(nèi)的地震噪聲、環(huán)境噪聲以及空氣擾動(dòng)帶來(lái)的諧振腔長(zhǎng)度變化。因此，本模型主要是在100 Hz 以內(nèi)的低頻線性范圍內(nèi)進(jìn)行研究。圖5 為基于新定義的PDH 誤差信號(hào)的穩(wěn)頻系統(tǒng)的Simulink 仿真模型，主要包括：用四階諧振系統(tǒng)表示的PZT 模型、基于新PDH 誤差信號(hào)觀測(cè)光腔反射鏡狀態(tài)的光腔模型和一個(gè)恒定大小為20 的負(fù)反饋增益。其中，光腔的參數(shù)如表1所示，其頻率響應(yīng)模型可以看成是一個(gè)低通濾波器，截止頻率約為240 kHz，在0～100 Hz范圍內(nèi)的增益等于PDH 誤差信號(hào)在零點(diǎn)位置的斜率，大小恒定。另外，PZT 在100 Hz 以內(nèi)的頻率響應(yīng)也可近似認(rèn)為大小恒定，故整個(gè)PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)回路的頻率特性主要由伺服反饋系統(tǒng)決定。在實(shí)際中，伺服反饋系統(tǒng)的頻率特性近似為一個(gè)一階低通濾波器，其截止頻率一般為1～10 kHz。

圖5 新PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)的Simulink 模型Fig.5 The Simulink model of the new PDH system

為了驗(yàn)證新的PDH 誤差信號(hào)的穩(wěn)定性，我們?cè)跁r(shí)間t=0 時(shí)，施加一個(gè)沖擊力，以使反射鏡在x=0 時(shí)遠(yuǎn)離共振。本文的仿真主要分為兩個(gè)方案：（1）對(duì)傳統(tǒng)PDH 誤差信號(hào)使用卡爾曼濾波；（2）對(duì)新的PDH 誤差信號(hào)使用卡爾曼濾波。

圖6 和7 分別顯示了在閉環(huán)控制時(shí)，傳統(tǒng)PDH 誤差信號(hào)經(jīng)卡爾曼濾波和新PDH 誤差信號(hào)分別經(jīng)卡爾曼濾波來(lái)估計(jì)出射端反射鏡位置的兩種方案的模擬結(jié)果，同時(shí)也分別展示了對(duì)應(yīng)的反饋信號(hào)。比較圖6（a）與圖7（a），可以看出用傳統(tǒng)的PDH 誤差信號(hào)進(jìn)行卡爾曼濾波器估計(jì)時(shí)，系統(tǒng)只能在很窄的線性范圍內(nèi)準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)反射鏡的位置，其動(dòng)態(tài)范圍僅為0.002 λ 。而使用基于新PDH 誤差信號(hào)經(jīng)卡爾曼濾波器估計(jì)時(shí)，可以將反射鏡估計(jì)位置的擴(kuò)展到±0.1 λ 的范圍，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)范圍擴(kuò)大了約50 倍。

圖6 基于傳統(tǒng)PDH 誤差信號(hào)與卡爾曼濾波器的仿真波形Fig.6 Simulation waveform based on traditional PDH error signal and Kalman filter

此外，我們針對(duì)兩種不同方案設(shè)置了不同的過(guò)程噪聲（來(lái)自地面噪聲）和測(cè)量噪聲值（來(lái)自測(cè)量PDH 和透射功率的測(cè)量噪聲），并討論了不同模型的噪聲容限。噪聲容限的大小取決于能使得PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)穩(wěn)定的極限情況。表2 總結(jié)了兩種方案的動(dòng)態(tài)范圍，以及其過(guò)程噪聲Qk和測(cè)量噪聲Rk的噪聲容限。

從圖7 中可以看出，當(dāng)PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)重新鎖定之后，反饋信號(hào)的波動(dòng)幅度超過(guò)10%，這是由于我們?cè)谀Ｐ椭幸肓撕芨叩牡卣鹪肼?。因此，采用新PDH 控制方案的噪聲容限Qk遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)PDH 方案。對(duì)于足夠高的信號(hào)頻率，散粒噪聲是主要的噪聲來(lái)源。散粒噪聲的功率譜密度為，其中h為普朗克常數(shù)，Ps、λ的值參考表1。再將Pe做歸一化處理，除以一個(gè)因數(shù) λ2，可以得到歸一化的Pe值約為 3×10?8。該噪聲容限的大小符合表2 中Rk的數(shù)量級(jí)設(shè)定，參考該值，可以驗(yàn)證本文的設(shè)定值符合實(shí)際系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)。

表2 不同方案的動(dòng)態(tài)范圍以及噪聲容限Tab.2 The broadened dynamic range and noise tolerance of different approaches

圖7 基于新PDH 誤差信號(hào)與卡爾曼濾波器的仿真波形Fig.7 Simulation waveform based on new PDH error signal and Kalman filter

4 結(jié)論

為了解決傳統(tǒng)PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)線性動(dòng)態(tài)范圍過(guò)小和噪聲容限的問(wèn)題，本文提出了一種拓展PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)范圍的方法。將傳統(tǒng)的PDH 誤差信號(hào)除以透射功率得到新的PDH 誤差信號(hào)以增加線性動(dòng)態(tài)范圍?；趥鹘y(tǒng)PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)、卡爾曼濾波器以及控制技術(shù)的基本原理，通過(guò)對(duì)比傳統(tǒng)PDH 系統(tǒng)和新的PDH 系統(tǒng)的特點(diǎn)，我們搭建了新的PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)的基本模型。結(jié)合卡爾曼濾波器對(duì)未知變量的估算能力，對(duì)PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)使用卡爾曼濾波器作為狀態(tài)估計(jì)器，來(lái)估計(jì)光腔反射鏡的狀態(tài)，包括光腔反射鏡的位置和動(dòng)量。并將卡爾曼濾波分別應(yīng)用于傳統(tǒng)的PDH 誤差信號(hào)和新的PDH 誤差信號(hào)中，從而可以說(shuō)明新的PDH 誤差信號(hào)的方法可以顯著增加PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)的線性動(dòng)態(tài)范圍。此外，這種方法可以使得PDH 穩(wěn)頻系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)范圍擴(kuò)大50 倍，并在系統(tǒng)受到較大擾動(dòng)而失去鎖定時(shí)，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)自動(dòng)鎖定，同時(shí)也提高了新的PDH 誤差信號(hào)的噪聲容限。本文的研究主要在線性控制部分，針對(duì)非線性估計(jì)器的選擇以及非線性系統(tǒng)的控制也將是未來(lái)研究的一個(gè)重點(diǎn)。