SO（3）上航天器自適應(yīng)反步姿態(tài)跟蹤控制

史忠軍，邵長(zhǎng)寶，張劍橋，趙艷彬

（1.上海航天技術(shù)研究院，上海 201109；2.上海衛(wèi)星工程研究所，上海 201109；3.上海航天技術(shù)研究院 北京研發(fā)中心，北京 100081）

0 引言

航天器姿態(tài)控制是實(shí)現(xiàn)編隊(duì)飛行、交會(huì)對(duì)接、衛(wèi)星通信、高分辨率對(duì)地觀測(cè)等任務(wù)的關(guān)鍵技術(shù)［1-4］。對(duì)于在軌運(yùn)行航天器，受惡劣太空環(huán)境以及燃料消耗等因素影響，在進(jìn)行航天器控制器設(shè)計(jì)時(shí)，往往需要解決轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定性以及外部干擾等問題。此外，航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)的非線性特性為高精度姿態(tài)控制的實(shí)現(xiàn)增加了難度。因此，近年來有大量學(xué)者在考慮航天器存在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定性以及外部干擾情況下，采用非線性控制理論進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，解決航天器姿態(tài)控制問題。

文獻(xiàn)［2，5］利用反步控制理論，解決了服務(wù)航天器與非合作航天器構(gòu)成的組合體航天器的姿態(tài)穩(wěn)定控制問題。LIU 等［6］通過設(shè)計(jì)H∞控制器解決了柔性航天器姿態(tài)穩(wěn)定控制和振動(dòng)抑制問題。XIAO 等［7］利用滑?？刂评碚撛O(shè)計(jì)控制器，解決了航天器姿態(tài)跟蹤和執(zhí)行機(jī)構(gòu)容錯(cuò)控制問題。其中，反步控制方法因具有針對(duì)控制器設(shè)計(jì)、對(duì)干擾的魯棒性高等特點(diǎn)，在航天器控制領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用［8］。需要指出的是，在上述文獻(xiàn)中航天器的姿態(tài)或采用局部坐標(biāo)表示，或利用四元數(shù)和修正羅德里格參數(shù)（Modified Rodriguez Parameters，MRPs）進(jìn)行描述。然而，采用局部坐標(biāo)或修正羅德里格參數(shù)描述航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)存在奇異問題，四元數(shù)則需要考慮退繞問題［1］。

由于方向余弦矩陣可以在SO（3）上全局無奇異地描述剛體姿態(tài)，因此文獻(xiàn)［9-10］基于方向余弦矩陣描述航天器姿態(tài)來建立動(dòng)力學(xué)模型，解決了姿態(tài)跟蹤控制問題。但是，由于SO（3）的非線性特性，在SO（3）上直接進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)比較困難［11］。文獻(xiàn)［11-13］通過定義一個(gè)非負(fù)定的勢(shì)函數(shù)描述姿態(tài)跟蹤誤差，將姿態(tài)動(dòng)力學(xué)修改為易于進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)的形式，解決了剛體的姿態(tài)跟蹤控制問題，但設(shè)計(jì)的傳統(tǒng)的比例-微分（PD）控制器對(duì)干擾的魯棒性差，且響應(yīng)速度慢，控制精度低。ZHANG 等［1］基于此建模和控制器設(shè)計(jì)思想，采用滑?？刂评碚摻鉀Q了航天器姿態(tài)跟蹤控制問題，但卻沒有考慮模型不確定性和外部干擾。

基于上述國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀介紹與分析，本文針對(duì)存在模型不確定性和外部干擾的剛體航天器姿態(tài)跟蹤控制問題展開研究。首先，在系統(tǒng)存在模型不確定性和外部干擾情況下，通過定義姿態(tài)誤差勢(shì)函數(shù)，推導(dǎo)建立SO（3）上航天器相對(duì)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型；然后，設(shè)計(jì)自適應(yīng)反步控制器對(duì)模型進(jìn)行控制，并對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明；最后，通過數(shù)值仿真驗(yàn)證所提出的控制算法的有效性。

1 姿態(tài)動(dòng)力學(xué)描述

本文研究全驅(qū)動(dòng)剛性航天器的姿態(tài)跟蹤控制問題。首先，為描述航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，定義航天器本體坐標(biāo)系Fb和地球慣性坐標(biāo)系FI。FI的原點(diǎn)為地球質(zhì)心，oxI沿著黃赤交線指向春分點(diǎn)，ozI軸與地球自轉(zhuǎn)軸重合，oyI軸通過右手定則確定；Fb的原點(diǎn)為航天器質(zhì)心，oxb、oyb、ozb三個(gè)坐標(biāo)軸與航天器的三個(gè)慣性主軸重合。航天器的姿態(tài)記為Fb到FI的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣C∈SO(3)。SO（3）為由特殊正交矩陣構(gòu)成的Lie 群，滿 足：SO(3)={C∈R3×3：CTC=I3×3，det(C)=1}，其中，R為實(shí)數(shù)集合；()T為矩陣的轉(zhuǎn)置；I3×3為3×3 的單位矩陣；det()為計(jì)算一個(gè)矩陣的行列式。用方向余弦矩陣描述的航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程為［1］

式中：ω=[ω1，ω2，ω3]T∈R3×1為本體系下航天器本體坐標(biāo)系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的姿態(tài)角速度；J∈R3×3為航天器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；uc∈R3×1為航天器執(zhí)行機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的控制力矩；d∈R3×1為航天器所受的外部干擾力矩。

()×：R3×1→?o(3)為計(jì)算 任意一 個(gè)三維向量x=[x1，x2，x3]T∈R3×1的反對(duì)稱矩陣，具體形式為

式中：?o(3)={A∈R3×3|AT=-A}為SO（3）的李代數(shù)。

記航天器的目標(biāo)姿態(tài)為Cd，且滿足，其中，ωd∈C1∩L∞為航天器的目標(biāo)角速度，則可以得到航天器的姿態(tài)跟蹤誤差和角速度跟蹤誤差為

對(duì)Ce和?求導(dǎo)，并將式（1）代入，可以得到航天器的姿態(tài)誤差運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程為

為解決航天器姿態(tài)跟蹤控制問題，需要設(shè)計(jì)控制器uc，使得ω?=0，Ce=I3×3。然而，SO（3）是一個(gè)具有9 個(gè)元素和6 個(gè)約束的非線性微分流形，姿態(tài)誤差運(yùn)動(dòng)學(xué)中Ce的存在導(dǎo)致在SO（3）上直接進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)比較困難［12］。一種常用的處理方式是通過定義一個(gè)非負(fù)定的誤差勢(shì)函數(shù)，將Ce轉(zhuǎn)化為一個(gè)三維姿態(tài)誤差向量，然后對(duì)姿態(tài)誤差運(yùn)動(dòng)學(xué)方程進(jìn)行修改，再基于修正后的模型進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。本文選用文獻(xiàn)［13］中定義的姿態(tài)誤差函數(shù)：

式中：K=diag(k1，k2，k3)＞0為正定對(duì)角矩陣；tr()為求矩陣的跡；姿態(tài)誤差函數(shù)Ψ(C，Cd)關(guān)于C=Cd局部正定，當(dāng)C=Cd時(shí)，Ψ(C，Cd)=0［13］。

對(duì)Ψ(C，Cd)取導(dǎo)數(shù)，有

利用下述關(guān)系［14］

可以得到

對(duì)ec求導(dǎo)，可以得到修正后的姿態(tài)誤差運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

則航天器姿態(tài)跟蹤控制問題的動(dòng)力學(xué)模型可以用式（4）和式（9）來描述。

此外，由于燃料消耗或釋放載荷等因素影響，在軌運(yùn)行航天器的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量無法精確獲得。因此，需要考慮航天器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的不確定性。記航天器的實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

式中：J0為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的標(biāo)稱部分；ΔJ為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的不確定部分。

則考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定性后，姿態(tài)誤差動(dòng)力學(xué)方程改寫為

本文研究的姿態(tài)跟蹤控制問題，可以由式（10）和式（11）來進(jìn)行描述?？刂颇繕?biāo)：考慮外部干擾和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定性，在?滿足上述假設(shè)情況下，設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器uc，使得姿態(tài)跟蹤誤差ec可以一致漸近收斂到零點(diǎn)附近的小鄰域內(nèi)。

2 自適應(yīng)反步控制器設(shè)計(jì)

本章將通過設(shè)計(jì)自適應(yīng)反步控制器來處理由外部干擾和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定性產(chǎn)生的系統(tǒng)總干擾，并實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)。

步驟1定義下面的反步控制虛擬變量：

式中：α為虛擬控制輸入。

將式（11）、式（12）和式（13）聯(lián)立，可以得到構(gòu)造的虛擬變量z1的動(dòng)力學(xué)方程為

然后，選取Lyapunov 函數(shù)：

對(duì)V1求導(dǎo)，并將式（14）代入，可得

設(shè)計(jì)虛擬控制α為

式中：K1＞0為控制器設(shè)計(jì)參數(shù)。

將式（17）代入式（16），有

步驟2對(duì)式（13）取導(dǎo)數(shù)，并將式（11）代入，可以得到構(gòu)造的虛擬變量z2的動(dòng)力學(xué)方程為

然后，選取Lyapunov 函數(shù)

式中：γ1＞0為待設(shè)計(jì)參數(shù)為系統(tǒng)總干擾的估計(jì)誤差為干擾的估計(jì)值。

對(duì)V2取導(dǎo)數(shù)，得

步驟3設(shè)計(jì)如下的自適應(yīng)反步控制器：

式中：K2＞0、δ＞0為控制器設(shè)計(jì)參數(shù)。

將式（23）代入式（22），得到

為了估計(jì)系統(tǒng)的總干擾dm，設(shè)計(jì)如下的自適應(yīng)控制率：

式中：γ2＞0為控制器設(shè)計(jì)參數(shù)。

將式（25）代入式（24），得到

3 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

為了后續(xù)穩(wěn)定性證明需要，首先給出下面引理。

引理1對(duì)于雙曲正切函數(shù)滿足下述不等式［15］：

結(jié)合步驟1～3，本文研究結(jié)果可以用下述定理進(jìn)行概括。

定理1考慮由式（9）和式（11）描述的航天器姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)，在滿足系統(tǒng)所受總干擾有界假設(shè)條件下，應(yīng)用控制律式（23）和自適應(yīng)律式（25），航天器姿態(tài)跟蹤誤差ec能夠一致漸近收斂到零點(diǎn)附近的小鄰域內(nèi)。

證明選取式（21）的Lyapunov 函數(shù)，經(jīng)過計(jì)算后可以得到式（26）。對(duì)于項(xiàng)來說，滿足

將式（28）代入式（26），并利用引理1，可以得到

注1：對(duì)于本文研究的航天器姿態(tài)跟蹤控制問題來說，最終的控制精度取決于，較小的γ2和較大的δ可以得到較小的χ。尤其是較大的δ可以明顯改善系統(tǒng)對(duì)于干擾的魯棒性。但同時(shí)需要注意，δ越大會(huì)導(dǎo)致tanh 函數(shù)越接近符號(hào)函數(shù)，會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生抖振。因此，在進(jìn)行控制器參數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)，要在穩(wěn)態(tài)精度和系統(tǒng)性能間做好平衡。

注 2：對(duì)于角速度跟蹤誤差來說，ω?=z2+α，由文獻(xiàn)［13］可知，E(C，Cd)有界。因此，根據(jù)z1、z2有界可知，角速度跟蹤誤差ω?也是一致最終有界的。

注3：受航天器姿態(tài)控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性影響，在工程應(yīng)用過程中，需要考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)的輸出飽和問題。因此，實(shí)際的控制輸出為

4 仿真試驗(yàn)及結(jié)果分析

本章將通過數(shù)值仿真分析驗(yàn)證本文所提出的控制方法，可以有效地解決航天器姿態(tài)跟蹤控制問題。仿真過程中航天器參數(shù)如下，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量標(biāo)稱部分為

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定部分為ΔJ=0.15J0，航天器的控制力矩上限為umax=0.5 N·m，航天器所受的外部干擾力矩為

初始時(shí)刻的航天器姿態(tài)信息為：姿態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣C(t=0)=I3×3；姿態(tài)角 速度為ω(t=0)=[0.01-0.01-0.01]T×180/π((°)/s)；航天器的初始目標(biāo)姿態(tài)為

為了驗(yàn)證本文所提出的算法的有效性，主要考慮兩種情況的對(duì)比仿真。

情況1：本文所提出的自適應(yīng)反步控制器式（23）、式（25），控制器參數(shù)設(shè)計(jì)為：K=diag ( [ 1 1 1 ] )；K1=10；K2=8；δ=100；γ1=0.002；γ2=0.001。

情況2：文獻(xiàn)［12］中的類PD 控制器，用來與本文所設(shè)計(jì)的控制器的控制效果進(jìn)行對(duì)比，說明本文所提控制算法的優(yōu)越性，控制器參數(shù)設(shè)計(jì)為：KΩ=2.5。

情況1 仿真結(jié)果如圖1～圖3 所示，仿真時(shí)間設(shè)置為150 s。圖1為航天器姿態(tài)跟蹤誤差，圖2為角速度跟蹤誤差。圖中可見，航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差在30 s內(nèi)收斂到穩(wěn)態(tài)，通過系統(tǒng)狀態(tài)收斂后的曲線放大圖可以看出，姿態(tài)控制精度為：|eci|＜2×10-3°，姿態(tài)角速度控制精度為：。相應(yīng)的控制力矩變化曲線如圖3 所示。圖中可見，在整個(gè)仿真過程中控制力矩沒有超過航天器控制輸出上限，表明了本文所提控制方法具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

圖1 姿態(tài)跟蹤誤差（情況1）Fig.1 Attitude tracking errors（Case 1）

圖2 角速度跟蹤誤差（情況1）Fig.2 Angular velocity tracking errors（Case 1）

圖3 控制力矩（情況1）Fig.3 Control torques（Case 1）

情況2 仿真結(jié)果如圖4～圖6 所示，仿真時(shí)間設(shè)置為300 s。圖4為航天器姿態(tài)跟蹤誤差，圖5為角速度跟蹤誤差。圖中可見，航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差在150 s 左右收斂到穩(wěn)態(tài)，通過系統(tǒng)狀態(tài)在120 s 到150 s，以及收斂后的曲線放大圖可以看出，與本文設(shè)計(jì)的控制器式（22）的仿真結(jié)果相比，無論是誤差收斂時(shí)間還是最后的穩(wěn)態(tài)控制精度，本文所設(shè)計(jì)的控制器均優(yōu)于文獻(xiàn)［12］。

圖4 姿態(tài)跟蹤誤差（情況2）Fig.4 Attitude tracking errors（Case 2）

圖5 角速度跟蹤誤差（情況2）Fig.5 Angular velocity tracking errors（Case 2）

圖6 控制力矩（情況2）Fig.6 Control torques（Case 2）

此外，對(duì)于在軌運(yùn)行航天器來說，能量消耗是決定其在軌運(yùn)行壽命的一個(gè)關(guān)鍵因素。為了進(jìn)一步比較兩種情況的仿真結(jié)果，定義能量消耗函數(shù)為

式中：T=150 s。

兩種情況的能量消耗曲線如圖7 所示。圖中可見，與文獻(xiàn)［12］控制器相比，本文所設(shè)計(jì)的控制方法可以在保證較高的控制性能的同時(shí)，將能量消耗降低72%左右。通過上述兩種情況的仿真結(jié)果及對(duì)比分析可以發(fā)現(xiàn)，在系統(tǒng)存在外部干擾和模型不確定性情況下，本文所提出的控制方法可以有效地解決航天器姿態(tài)跟蹤控制問題，且與傳統(tǒng)的PD 控制器相比，可以實(shí)現(xiàn)更好的控制效果。

圖7 能量消耗Fig.7 Energy consumption

5 結(jié)束語

本文研究了剛體航天器姿態(tài)跟蹤控制問題，在姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)存在模型不確定性和外部干擾情況下，推導(dǎo)了SO（3）上航天器相對(duì)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型。在模型中，采用方向余弦矩陣描述航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，且通過引入非負(fù)定的勢(shì)函數(shù)描述姿態(tài)跟蹤誤差，將動(dòng)力學(xué)模型轉(zhuǎn)換成了易于控制器設(shè)計(jì)的形式，并有效避免了用其他姿態(tài)描述方式表示姿態(tài)時(shí)，引起的奇異或退繞問題?；诖四Ｐ?，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)反步姿態(tài)控制器，保證了閉環(huán)控制系統(tǒng)的最終一致有界收斂，并通過Lyapunov 穩(wěn)定性分析方法，證明了控制系統(tǒng)的收斂特性。最后，對(duì)所設(shè)計(jì)的控制算法進(jìn)行了仿真校驗(yàn)，且與文獻(xiàn)［12］中的PD 控制器進(jìn)行了對(duì)比分析。結(jié)果表明，本文提出的控制方法收斂速度快、控制精度高、能量消耗低，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。此外，本文的研究對(duì)象為剛體航天器，而為了增加航天器的在軌功能，一般都配備有太陽(yáng)電池陣、天線等柔性附件。柔性附件在軌會(huì)發(fā)生振動(dòng)，且振動(dòng)信息一般無法測(cè)量。因此，未來的一個(gè)研究方向是如何將本文設(shè)計(jì)的控制算法用于解決柔性航天器姿態(tài)控制問題。