一道中考數(shù)學(xué)壓軸題的分析與思考

林偉煌

摘要：中考數(shù)學(xué)命題總則是立足本質(zhì)，著眼素養(yǎng)，合理綜合，關(guān)注應(yīng)用，適度創(chuàng)新;注重“四基”，突出能力，關(guān)注理性思維，明晰教學(xué)導(dǎo)向。函數(shù)關(guān)注數(shù)形關(guān)系，著重考查函數(shù)的圖象與本質(zhì)，關(guān)注變量間的依存關(guān)系，關(guān)注利用代數(shù)方法研究幾何問題，強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想。近幾年省考的綜合題都以二次函數(shù)為載體，融入幾何圖形，突出考查用代數(shù)方法解決幾何問題的思想。突破壓軸題不靠一日“拔苗助長”，而要靠日積月累的訓(xùn)練和培養(yǎng)。平時(shí)的教學(xué)應(yīng)注重滲透培養(yǎng)知識(shí)所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，強(qiáng)化在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)化;函數(shù)方程思想;符號(hào)語言

筆者有幸參與了2020年福建省安溪縣中考的閱卷工作，所閱卷的題目是第25題。這是一道壓軸題，得分率較低。筆者感觸頗深，下面就試題的閱卷情況分析及教學(xué)啟示等方面與同行交流。

一、試題呈現(xiàn)

二、思路分析

（1）先根據(jù)條件確定點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式。

（2）思路一：利用反證法證明。

三、試題評價(jià)

本題以函數(shù)及其圖象為切入點(diǎn)，以函數(shù)建模為突破口，以代數(shù)式的轉(zhuǎn)化變形構(gòu)建難點(diǎn);考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí);考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力等;考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等;融代數(shù)與幾何于一體，覆蓋面廣，解法多樣，將運(yùn)算求解能力與推理論證能力的考查有機(jī)結(jié)合，綜合考查學(xué)生的核心素養(yǎng)。

四、答題分析

（一）得分情況（如表1所示）

（二）錯(cuò)因分析

第（1）小題存在以下幾種錯(cuò)誤：

（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)只給出一個(gè)情況;

（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)兩種情況都給出，但不懂得取舍出現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式;

（3）計(jì)算錯(cuò)誤或?qū)c(diǎn)C的兩種情況取舍誤判;

（4）條件“當(dāng)x1>x2≥5時(shí)，總有y1>y2”把握不準(zhǔn)，不懂應(yīng)用;究其原因是對用符號(hào)語言表述函數(shù)性質(zhì)不理解，對函數(shù)圖象性質(zhì)理解不深入。

第（2）小題，許多學(xué)生直接由“k相等”，推出“兩直線平行”;稍好一點(diǎn)的由“k相等b不相等”，得到“兩直線平行”。錯(cuò)誤原因是平時(shí)對這一性質(zhì)熟練應(yīng)用，但只記住圖形的規(guī)律，不知道規(guī)律如何得來。

第（3）小題的錯(cuò)誤現(xiàn)象有：許多學(xué)生不會(huì)根據(jù)條件畫出圖形;一部分學(xué)生假設(shè)線段CE，導(dǎo)致運(yùn)算量較大，半途而終;有學(xué)生不會(huì)求面積，或無法表示出最值;均值不等式掌握不全面，導(dǎo)致錯(cuò)用。究其原因如下：學(xué)生的作圖意識(shí)較弱;解題經(jīng)驗(yàn)不足或?qū)W(xué)過的基礎(chǔ)知識(shí)，基本方法不能靈活運(yùn)用;用代數(shù)方法解幾何問題的意識(shí)與技能不足。

五、教學(xué)啟示

（一）重視數(shù)學(xué)語言的閱讀理解

書本上的定義、性質(zhì)大多結(jié)合圖形以文字命題的形式呈現(xiàn)，教學(xué)時(shí)應(yīng)重視訓(xùn)練“文字語言”“符號(hào)語言”“圖形語言”三種語言的相互轉(zhuǎn)化。如對于二次函數(shù)的性質(zhì)很多同學(xué)都能倒背如流，但考查的不是文字內(nèi)容，而是符號(hào)內(nèi)容。條件“當(dāng)x1>x2≥5時(shí)，總有y1>y2”的應(yīng)用屬中檔難度，它是用符號(hào)語言表述函數(shù)性質(zhì)，把它轉(zhuǎn)化為文字語言即“當(dāng)x>5時(shí)，y隨x的增大而增大”，結(jié)合拋物線的對稱軸就可對第（1）小題的點(diǎn)C進(jìn)行取舍如下：當(dāng)拋物線過點(diǎn)C（9，0）時(shí)，則當(dāng)53時(shí)，y隨x的增大而增大，符合題意。平時(shí)教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生如何對“陌生”的條件進(jìn)行加工提煉，轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的本質(zhì)，注意歸納。兩個(gè)例子說明提高學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中必備的能力，閱讀能力是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，三種數(shù)學(xué)語言的靈活轉(zhuǎn)化是形成數(shù)學(xué)能力必備的能力。

（二）重視知識(shí)的生成過程

平時(shí)教學(xué)時(shí)老師比較關(guān)注的是性質(zhì)的應(yīng)用、解題的技巧，但對性質(zhì)的生成往往容易忽視，學(xué)生知其然不知其所以然。如2017年考到三角函數(shù)性質(zhì)sin2α+sin2（90°-α）=1的證明，2018年考相似三角形的對應(yīng)邊上的中線之比等于相似比的證明，等等。又如有一次筆者命制的試題：“證明：圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)”，學(xué)生幾乎不會(huì)。對于以上這些性質(zhì)、規(guī)律學(xué)生可能了如指掌、應(yīng)用自如，但考到性質(zhì)證明時(shí)，學(xué)生的得分情況不容樂觀。這給我們敲響了警鐘，新授知識(shí)不能重結(jié)論輕過程，應(yīng)設(shè)置一些問題串，引導(dǎo)學(xué)生了解知識(shí)的來龍去脈，經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，從而形成對概念、原理等的深刻理解，對過程中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想的體會(huì)與感悟，有助于發(fā)展學(xué)生的問題意識(shí)、探索精神。問題的設(shè)置應(yīng)在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，要能激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，注重啟發(fā)性，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維能力。

（三）重視函數(shù)的主干地位

函數(shù)知識(shí)是初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，這幾年都以壓軸題的形式出現(xiàn)，常結(jié)合圖形的變換、圖形的運(yùn)動(dòng)、幾何圖形的性質(zhì)，綜合數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)方程思想進(jìn)行命題。函數(shù)部分的內(nèi)容主要可以歸納為以下三類：函數(shù)關(guān)系式的表示、函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)思想的形成，其中第三類往往會(huì)出現(xiàn)在壓軸題中。教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)該多引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)分析圖形，解決問題，注重函數(shù)思想、方程思想的應(yīng)用，研究幾何圖形在運(yùn)動(dòng)變化中的不變量與變量的問題教學(xué)。

（四）重視審題的規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)

綜合題要分析它的邏輯結(jié)構(gòu)，搞清楚各個(gè)小題是“并列”的還是“遞進(jìn)”的，這一點(diǎn)非常重要。并列關(guān)系分別以大題的已知為條件進(jìn)行解題，如（1）的結(jié)論與（2）的解題無關(guān)，這類題目經(jīng)常出現(xiàn)“（1）當(dāng)……時(shí)……”這樣的表述;遞進(jìn)關(guān)系是（1）的結(jié)論是解（2）所必要的條件之一，此類題目常為（1）小題沒有附加條件;或（1）小題有附加條件，（2）小題說明在（1）的條件下。在有些較難的綜合題里這兩種關(guān)系經(jīng)常是兼而有之。

在解綜合題時(shí)，當(dāng)思維受阻時(shí)，要及時(shí)調(diào)整思路和方法，并重新審視題意，注意挖掘隱蔽的條件和內(nèi)在的聯(lián)系，既要防止鉆牛角尖，又要防止輕易放棄。

參考文獻(xiàn)：

[1]魯浩.讓數(shù)形結(jié)合也成為一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣[J].教育科學(xué)論壇，2008（02）.

（責(zé)任編輯：奚春皓）