自動(dòng)控制原理課程中描述函數(shù)法的教學(xué)探討

余 潔

（上海電力大學(xué)自動(dòng)化工程學(xué)院 上海 200434）

“自動(dòng)控制原理”課程是自動(dòng)化專業(yè)、電類相關(guān)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課，是學(xué)好后續(xù)專業(yè)課程的重要基礎(chǔ)?！白詣?dòng)控制原理”的控制系統(tǒng)包括線性控制系統(tǒng)及非線性控制系統(tǒng)。實(shí)際的系統(tǒng)沒有純粹的線性系統(tǒng)，組成控制系統(tǒng)的元件其靜態(tài)特性都有著不同程度的非線性。因此，掌握非線性系統(tǒng)分析方法是相當(dāng)重要的。“自動(dòng)控制原理”中非線性控制系統(tǒng)的內(nèi)容主要包括:典型非線性特性，描述函數(shù)分析方法和相平面析法，利用非線性改善系統(tǒng)性能等。其中描述函數(shù)法計(jì)算復(fù)雜，常被學(xué)生反映理解、掌握困難。本文作者根據(jù)自己一線教師的教學(xué)實(shí)踐，在本篇論文中探討了新的教學(xué)策略。

一、描述函數(shù)法

描述函數(shù)法是分析非線性系統(tǒng)的一種近似方法，是頻率法在非線性系統(tǒng)分析中的推廣[1]。其思想是用諧波分析的方法，忽略由于對(duì)象非線性因素所造成的高次諧波成分，而僅使用一次諧波（基波）分量來近似描述系統(tǒng)特性。

（一）基本原理

假設(shè)非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖1所示，圖中N及G(s)為非線性元件模型及線性部分的傳遞函數(shù)，r(t)，y(t)為系統(tǒng)的激勵(lì)及響應(yīng)。x1(t)，x2(t)為非線性元件的輸入輸出。

圖1

假設(shè)非線性系統(tǒng)滿足如下條件：

①非線性元件N不是儲(chǔ)能元件；

②非線性元件N的非線性特性是斜對(duì)稱的，f(x1(t))=-f(x1(t))。

③系統(tǒng)的線性部分具有較好的低通濾波器性能，當(dāng)非線性元件輸入正弦信號(hào)x1(t)=Asinωt時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)x2(t)的高次諧波在通過線性部分后將大大衰減，輸出信號(hào)可近似認(rèn)為只有基波分量。

根據(jù)上述假設(shè)條件，x2(t)僅考慮基波部分

仿照幅相頻率特性的定義 ，建立非線性特性的描述函數(shù).其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中:N(A)——非線性部分的描述函數(shù)；A——非線性部分正弦輸入信號(hào)的振幅；Y1——非線性部分輸出信號(hào)中基波分量的振幅；φ1——輸出信號(hào)中基波相對(duì)正弦輸入信號(hào)的相位移；A1——基波中余弦分量的振幅；B1——基波中正弦分量的振幅；

（二）描述函數(shù)進(jìn)行穩(wěn)定性分析

非線性控制系統(tǒng)圖1所示。圖中非線性元件的描述函數(shù)為N(A)，則非線性系統(tǒng)的閉環(huán)頻率響應(yīng)可近似的寫為：

由式（3）可以求得非線性系統(tǒng)的特性方程為

即

圖2

二、教學(xué)方法的探討

為了使學(xué)生能夠理解和掌握描述函數(shù)法，課堂教學(xué)應(yīng)從幾個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn)。

（一）教學(xué)過程將仿真與理論相結(jié)合

結(jié)合Matlab驗(yàn)證相關(guān)理論有助于培養(yǎng)學(xué)生“眼見為實(shí)”的科學(xué)精神。仿真包括負(fù)倒描述函數(shù)曲線及線性部分奈奎斯特曲線的繪制，自激振蕩的驗(yàn)證兩個(gè)方面。以下用一個(gè)案例進(jìn)行闡述。

得出結(jié)論，存在相交情況，為穩(wěn)定的自激振蕩；

②調(diào)節(jié)線性部分的開環(huán)根增益K=32，分析K對(duì)自激振蕩的振幅及頻率的影響，如圖3。由圖可知，系統(tǒng)2（K=32）時(shí)，自激振蕩的頻率不變，但是振幅會(huì)增加一倍。

圖3 自激振蕩的判定

③在SIMULINK環(huán)境中，搭建系統(tǒng)框圖[4]，完成自激振蕩頻率及振幅的判斷。圖4為系統(tǒng)1（K=16）的仿真框圖，參數(shù)設(shè)置和結(jié)果。

圖4 SIMULINK驗(yàn)證框圖

采用上述的教學(xué)方法，學(xué)生易于理解，理解的更為深入。

（二）引入復(fù)雜工程案例，培養(yǎng)學(xué)生解決工程實(shí)際問題的能力

教學(xué)過程應(yīng)緊密圍繞以學(xué)生為中心，以畢業(yè)要求為導(dǎo)向的OBE理念，結(jié)合電力系統(tǒng)及控制系統(tǒng)中的復(fù)雜工程案例，加強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)與工程應(yīng)用的有機(jī)聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用基本理論解決工程實(shí)際問題的能力。在教學(xué)實(shí)踐中，作者以張紹和等發(fā)表的“用描述函數(shù)分析多機(jī)電力系統(tǒng)靜態(tài)穩(wěn)定的一種方法”及廖幻年等發(fā)表的“基于描述函數(shù)法的滾動(dòng)通道自持振蕩研究”[5]兩篇論文涉及的工程案例展開案例教學(xué)，提出問題引發(fā)討論，展開如何結(jié)合描述函數(shù)法的概念解決復(fù)雜工程問題的啟發(fā)性教學(xué)，為學(xué)生利用描述函數(shù)法解決實(shí)際問題提供思路，構(gòu)建基本框架。

實(shí)踐表明，結(jié)合工程案例，對(duì)教學(xué)中涉及的概念、性質(zhì)及理論的運(yùn)用從工程化的角度進(jìn)行分析和闡述，對(duì)提高學(xué)生的分析問題、解決問題的能力都有極大的幫助，也能提高學(xué)習(xí)的樂趣，達(dá)到學(xué)以致用的目的。

（三）將“課程思政”融入教學(xué)，激發(fā)學(xué)生積極向上的學(xué)習(xí)熱情和愛國情懷

在“描述函數(shù)法”課程教學(xué)中應(yīng)融入思想政治教育，以“堅(jiān)持立德樹人”為根本任務(wù)，用好課堂主渠道，向?qū)W生傳遞嚴(yán)謹(jǐn)專業(yè)的科學(xué)精神以及敬業(yè)奉獻(xiàn)的職業(yè)精神。

首先，非線性系統(tǒng)不滿足疊加定理，穩(wěn)定性除與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式和參數(shù)有關(guān)外，還與外作用及初始條件有關(guān)。對(duì)于相同結(jié)構(gòu)和參數(shù)的非線性控制系統(tǒng)，運(yùn)動(dòng)的最終狀態(tài)可以完全不同。這都造成了非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性判定的困難。描述函數(shù)法的提出是基于一定條件下的簡(jiǎn)化分析方法，教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生，對(duì)于學(xué)習(xí)、生活要講究方式方法，常規(guī)方法不行就換個(gè)角度，不要一條道走到黑，換一個(gè)角度解決問題，或許會(huì)柳暗花明。

其次，描述函數(shù)法判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，負(fù)倒描述函數(shù)曲線可以看作是判定穩(wěn)定的邊界。從這一角度啟發(fā)學(xué)生，凡事都有底線，做事做人應(yīng)遵循原則、守住底線，要做一名具備道德意識(shí)、法律意識(shí)，遵守社會(huì)公德，遵守行業(yè)的標(biāo)準(zhǔn)、規(guī)范的接班人。

同時(shí)，結(jié)合描述函數(shù)法在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用進(jìn)行引導(dǎo)教育，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)當(dāng)多關(guān)注國家能源政策的發(fā)展動(dòng)向及發(fā)展趨勢(shì)，為今后從事電力相關(guān)科學(xué)研究?jī)?chǔ)備關(guān)鍵技術(shù)，為國家能源的未來發(fā)展做出自己的貢獻(xiàn)。

三、結(jié)論

本文針對(duì)描述函數(shù)法的課堂教學(xué)提出了教學(xué)改進(jìn)方法，并給出了較為具體的教學(xué)實(shí)施策略。在教學(xué)實(shí)踐中通過采用以上教學(xué)方法，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的融會(huì)貫通，提高課程的教學(xué)質(zhì)量。